知识点5 分式 讲义-2026年初升高数学衔接

知识点5 分式 一、分式定义 1. 定义：一般地，如果、（）表示两个整式，且中含有字母，那么式子叫做分式。例如， 。 2. 有意义条件：分母时，分式有意义。如，当时分式有意义。 3. 值为零条件：分子且分母时，分式。例如，当时，分式值为。 二、分式性质 1. 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变。即，（）。可用于约分和通分。 2. 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去。如。 3. 通分：利用分式基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式。关键是确定最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作公分母。 三、分式运算 1. 乘法：。例如 。 2. 除法：。如。 3. 加减法： · 同分母：。例如。 · 异分母：先通分，化为同分母分式，再加减。如。 4. 乘方：（为正整数）。例如。 四、分式方程 1. 定义：分母里含有未知数的方程。如。 2. 解法： · 去分母化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母。 · 解整式方程。 · 检验，将整式方程的解代入最简公分母，若不为，则是原分式方程的解；若为，则是增根，原分式方程无解。 专题训练 一、选择题 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式 有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 化简 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 计算 的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若分式 的值为 0，则 的值为（ ） A. 1 B. - 1 C. D. 0 二、填空题 1. 当 ______ 时，分式 无意义。 2. 化简 ______ 。 3. 计算 ______ 。 4. 若 ，则 ______ 。 5. 化简 ______ 。 三、解答题 1. 计算： 2. 先化简，再求值：，其中 。 3. 解方程： 答案 一、选择题 1. B 解析：分式是指分母中含有字母的式子。A、C、D 选项分母均为常数，只有 B 选项 的分母含有字母 ，所以是分式。 2. B 解析：要使分式有意义，则分母不为零。对于分式 ，分母 ，解得 。 3. A 解析：对分子进行因式分解，，所以 。 4. A 解析：同分母分式相加，分母不变，分子相加。。 5. B 解析：要使分式的值为 0，则分子为 0 且分母不为 0。由分子 ，即 ，解得 。又因为分母 ，即 ，所以 。 二、填空题 1. 3 解析：当分母为 0 时，分式无意义。对于分式 ，令 ，解得 。 2. 解析：约分，分子分母同时约去公因式 ，得到 。 3. 解析：先通分， 与 的最简公分母是 ，则 。 4. 解析：将 变形为 ，已知 ，所以 。 5. 解析：先对分子分母分别因式分解，分子 ，分母 ，则 。 三、解答题 1. 解： · 先对括号内的分式通分，。 · 再与后面的式子相乘，，因为 ，所以 。 2. 解： · 化简： · 对分子分母分别因式分解，。 · 将除法变为乘法，即 。 · 约分后得到 。 · 求值：当 时，原式的值为 5。 3. 解： · 方程两边同时乘以最简公分母 ，得到： · 。 · 去括号：。 · 移项合并同类项：，即 。 · 解得 。 · 检验：当 时，。 · 所以原方程的解是 。 | 学科网（北京）股份有限公司 $