2026-2027学年初升高数学衔接资料：12.分式方程讲义

第12讲 分式方程 知识点1：列分式方程并求解 知识点2：分式方程的实际应用 知识点1 分式方程的概念 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程. 知识点2 分式方程的解法 1.列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2.要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型一:去分母化分式方程为一元二次方程 【典例1】解方程 ． 【解析】：原方程可化为： 方程两边各项都乘以得， 即， 整理得：，解得：或． 检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根． 所以，原方程的解是． 【归纳总结】：(1)去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验． 题型二：用换元法化分式方程为一元二次方程 【典例2】解方程 【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程． 【解析】：设，则原方程可化为： 解得或． (1)当时，，去分母，得； (2)当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，，都是原方程的解． 【归纳总结】：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想 题型三：分式方程的实际应用 【典例3】开学在即，由于新冠疫情学校决定共用6000元分两次购进口罩2200个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是 元． 【知识点】分式方程的实际应用 【详解】解：设第二次购买口罩的单价是x元， 则第一次购买口罩的单价是1.2x元， 依题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故答案为：． 1．在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程一定有实数解的是 （   ）． A． B． C． D．（为常数） 3．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入 个红球． 5.解方程． 6．解方程：． 7.解方程 ． 8.解方程 第12讲 分式方程答案 1.【答案】D 【详解】解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 2.【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； B、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； C、当，即时，方程没有实数根，不符合题意； D、∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故选：D． 3.【答案】C 【详解】解：设读前一半时，平均每天读x页，则读后一半时平均每天读页，由题意，得：，即：； 故选C． 4.【答案】2 【详解】解：设需往布袋里加入个红球． 由题意可得：，解得：． 经检验，是分式方程的解． 答：需往布袋里加入2个红球． 故答案为2． 5.【答案】 【详解】设，则 原方程可化为：． ①当时，； ②当时，． 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是 6.【答案】 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 7.【答案】 【详解】原方程可化为： 方程两边各项都乘以得， 即， 整理得：，解得：或． 检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根． 所以，原方程的解是． 8.【答案】 【详解】设，则原方程可化为： 解得或． ①当时，，去分母，得； ②当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，，都是原方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $