精品解析：安徽省六安市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题A

高一数学A 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用复数的模长公式求解. 【详解】因为，所以. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由，得，即，解得. 3. 某科技公司为测试新推出的智能手环健康监测功能，随机抽取了7名测试者，记录他们连续一周的日均步数（单位：千步）分别为：6，7，7，8，9，9，10.则这组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以第60百分位数为从小到大排列的数的第5个数9. 4. 已知：，：.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为且求解. 【详解】：，所以，解得，即条件对应的集合为； ：，解得，即，即条件对应的集合为. 因为是的充分不必要条件，则对应集合满足且， 由可得，解得. 当时，集合，此时，是的充要条件，不符合题意，故舍去. 因此，的取值范围是，即. 5. 如图，在正四面体中，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用线线夹角的定义求解. 【详解】不妨设四面体的棱长为2，取中点， 连接，，则， 所以（或补角）即为异面直线与所成角. 则，， 由余弦定理可得. 6. 一个在竖直平面内的水上游乐转轮半径为，转轮中心距离水面，已知转轮按逆时针方向转动，每120秒转一圈.当转轮上点到达最高点时开始计时，当秒时，点离水面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用余弦型函数的图象与性质求解. 【详解】由题知转轮转动的角速度为，因为转轮的半径为3，转轮中心距离水面为6，设点到水面的高度为，根据匀速圆周运动的数学模型有：，当秒时，，所以点离水面的高度是. 7. 现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用几何扇形弧长计算，结合圆台的几何特征计算即可. 【详解】设圆台的上下底面半径分别为，，由题知扇面的外径为，内径为， 所以圆台的母线长，上弧长，则， 下弧长，则， 则圆台的高. 8. 已知的外接圆圆心为，且满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定为直角三角形，再确定，最后由投影向量计算公式即可求解. 【详解】已知，得， 因此，即. 因此是的中点，为外接圆的直径. 设外接圆半径为，则（半径），（直径）. 又，故. 在中，， 因为（三角形内角且为锐角），所以. ， 则向量在向量上的投影向量为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】使用线面平行判定定理，线面垂直性质定理，面面平行性质定理求解. 【详解】垂直于同一平面的两条直线平行（线面垂直性质定理），A正确； 若，，则或与相交或与异面，故B错误； 若，，缺少，与可能异面，故C错误； 设直线与平面交于点.过点作直线.因为，且，所以. 又因为，且经过垂足，由线面垂直的性质可知，直线必须在平面内（即）. 因为，，且，由线面平行的判定定理可得.故D正确. 10. 某光伏企业对钙钛矿薄膜组件进行抽样检测，随机抽取3块组件，定义事件：“3块组件全部合格”，“3块组件全部不合格”，“3块组件不全合格”.已知单块不合格的概率为，且每块组件合格与否相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意得与不可能同时发生，所以与是互斥事件，故A正确； 而表示全部不合格，表示不全合格，发生时，一定发生， 所以与不是互斥事件，故B错误； 与互斥，且样本空间，符合对立事件定义，故C正确； 因为是互斥事件，且，， 所以，故D正确. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式、诱导公式可得，由正弦定理求得的外接圆的半径，即可求得外接圆的面积，判断A；由正弦定理求得的范围，判断B；根据余弦定理及锐角三角形的特征求得的取值范围判断C；由二倍角的正弦公式及正弦定理可得，由题意求得的取值范围，从而得到的范围，判断D. 【详解】因为，所以， 即，即. 因为，所以，所以. 若，所以的外接圆的直径，所以， 所以的外接圆的面积为，故A正确； 若有两解，则，解得，故B错误； 锐角三角形的充要条件是三个角均为锐角，即每个角的余弦值大于0. 已知，，所以，所以，故必为锐角， ①若为最大角（即时），由余弦定理的推论得， 即，即，解得； ②若为最大角（即时）， 由余弦定理的推论得，，即， 即，解得，综上所述，故C正确； 若，由正弦定理得，即， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用运算的定义，结合不等式的性质可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】依题意得， 由得，所以 所以，所以. 当时，不等式有解，所以， 即实数的取值范围是. 14. 如图，三棱锥的外接球的体积为，为的中点，平面，，则球被平面截得的截面面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得为等边三角形，作出辅助线，找到外接球球心的位置，并求得到平面的距离；根据球的体积求出球的半径，由勾股定理求出截面圆的半径，从而得到截面面积. 【详解】平面，，∵为的中点，， 又，是等边三角形. 取中点为，连接交于，则是外心. 设为外心，连接，，， 易知平面，平面， 则四边形是矩形，. 连接，，设外接圆半径，设球半径为. 球的体积为，，即. 在中，， 球被平面截得的截面面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中，为虚数单位. （1）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； （2）若复数对应的点在直线上，求复数的共轭复数； 【答案】（1） （2）当时，，共轭复数；当时，，共轭复数. 【解析】 【分析】（1）根据第二象限点的坐标特征，列出相应的不等式组，求解可得； （2）由直线上的点的横纵坐标互为相反数，即对应复数的虚部与实部互为相反数，列出相应的方程，求解可得的值，从而求得复数，由共轭复数的定义可求得其共轭复数. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的点的坐标为， 因为该点位于第二象限，所以， 由①得，解得； 由②得，解得或； 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 直线上的点的横纵坐标互为相反数， 即对应复数的虚部与实部互为相反数，即， 化简得：，即， 解得或. 当时，，其共轭复数； 当时，，其共轭复数. 16. 为测验设备性能，在卫星测控任务中启用甲、乙、丙三套地面测控系统.已知每次测试中，三套系统相互独立工作，且各次测试结果相互独立，成功捕获目标信号的概率依次为，，. （1）求甲、乙、丙三套系统恰有两套捕获信号的概率； （2）测试规定：若至少两套系统成功捕获信号，则单轮测试合格；若单轮测试不合格，则按相同标准立即进行且仅进行一次复测.求前两轮测试内就能得出合格结果的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用独立事件概率公式求解； （2）使用独立事件概率公式，互斥事件概率公式求解. 【小问1详解】 设甲、乙、丙三套系统成功捕获信号分别为事件，，， 则，，. 甲、乙、丙三套系统恰有两套捕获信号，等价于恰有一套未捕获信号，其概率为 ； 【小问2详解】 前两轮测试内就能合格包含首轮直接合格和首轮不合格，第二轮复测合格两种情况， 计算三套都捕获的概率：， 计算单轮测试合格的概率：， 计算“首轮不合格且复测合格”的概率：， 所以前两轮测试内就能得出合格结果的概率. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长； （3）在（2）的条件下，若点为的中点，求中线的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理边化角求解； （2）使用三角形面积公式和余弦定理求解； （3）使用向量法求解. 【小问1详解】 由，得， ， 由于，所以， 化简得， 又，； 【小问2详解】 由三角形面积公式：， 代入，，得. 由余弦定理：， 代入，，得， ，. 的周长为； 【小问3详解】 点为的中点，根据向量中点公式得 ， 由（2）问可知，，代入得： . 18. 为了了解青少年对人工智能（AI）科普知识的掌握情况，某校开展了AI科普知识挑战赛，从所有参赛学生中随机抽取了100人的成绩（均为整数，满分100分）作为样本，整理后绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）先求的值，并估计本次参赛学生成绩的平均数（四舍五入取整）； （2）采用分层抽样法，从和中抽取5个样本，再从中随机选取2个对人工智能科普知识的获取渠道进行分析，求这2个样本中最多有1个来自区间的概率； （3）若规定成绩在80分及以上认定为“掌握情况良好”.现已知原始样本数据中，“掌握情况良好”的学生成绩的平均数为88，方差为18，若成绩在内的平均数为86，方差为2，求成绩在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，总体样本方差为，则总体样本平均数；总体样本方差） 【答案】（1），平均数为72 （2） （3）平均数为94，方差为18 【解析】 【分析】（1）通过频率分布直方图面积之和为1，求得，再由平均数计算公式即可求解； （2）通过分层抽样和列举法确定样本空间，再由古典概型概率计算公式即可求解； （3）根据分层抽样比，结合总体方差和平均数的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图面积之和为1， 可得，解得 平均数为； 【小问2详解】 由题意成绩在，的频率分别为， 且， 故抽取5个样本，其中成绩在内的有3个，记为、、， 成绩在内的有2个，记为、； 从这5个样本中随机抽取2个，试验的样本空间 ，； 记事件“2个样本中最多有1个来自区间”， 则，， 所以2个样本中最多有1个来自区间的概率为； 【小问3详解】 由题意成绩在内的为“掌握情况良好”， 成绩在内占成绩在的比例为， 成绩在内占成绩在的比例为， 设成绩在内的平均数和方差分别为、， 由分层随机抽样的平均数公式可得，解得， 由分层随机抽样的方差公式可得，解得. 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，二面角为. （1）证明：平面平面； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为，，， 所以，且 所以四边形为平行四边形， 又，， 所以平行四边形为正方形，所以， 因为为中点，所以且， 故四边形为平行四边形，得， 所以， 因为平面，平面，所以. 又，、平面，所以平面， 由平面，所以平面平面； （2）存在，当为中点时满足条件， （3） 【解析】 【分析】（1）使用线面垂直判定定理与面面垂直判定定理证明； （2）使用面面平行判定定理，面面平行性质定理求解； （3）使用二面角与线面角的定义求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，为中点，此时，证明如下： 连接，连接， 由（1）知四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 因为，分别为，中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为，，平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； 【小问3详解】 因为平面，平面， 所以. 又，，所以. 因为，，平面， 所以平面，从而. 故为二面角的平面角，即， 在中，. 由（1）知，平面平面，交线为. 在平面内，过点作于点，则平面. 所以为点在平面内的射影，为直线在平面内的射影. 根据线面角的定义，为与平面所成的角. 在中，，，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学A 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 某科技公司为测试新推出的智能手环健康监测功能，随机抽取了7名测试者，记录他们连续一周的日均步数（单位：千步）分别为：6，7，7，8，9，9，10.则这组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知：，：.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正四面体中，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个在竖直平面内的水上游乐转轮半径为，转轮中心距离水面，已知转轮按逆时针方向转动，每120秒转一圈.当转轮上点到达最高点时开始计时，当秒时，点离水面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆圆心为，且满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 某光伏企业对钙钛矿薄膜组件进行抽样检测，随机抽取3块组件，定义事件：“3块组件全部合格”，“3块组件全部不合格”，“3块组件不全合格”.已知单块不合格的概率为，且每块组件合格与否相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 13. 在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 14. 如图，三棱锥的外接球的体积为，为的中点，平面，，则球被平面截得的截面面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中，为虚数单位. （1）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； （2）若复数对应的点在直线上，求复数的共轭复数； 16. 为测验设备性能，在卫星测控任务中启用甲、乙、丙三套地面测控系统.已知每次测试中，三套系统相互独立工作，且各次测试结果相互独立，成功捕获目标信号的概率依次为，，. （1）求甲、乙、丙三套系统恰有两套捕获信号的概率； （2）测试规定：若至少两套系统成功捕获信号，则单轮测试合格；若单轮测试不合格，则按相同标准立即进行且仅进行一次复测.求前两轮测试内就能得出合格结果的概率. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长； （3）在（2）的条件下，若点为的中点，求中线的长度. 18. 为了了解青少年对人工智能（AI）科普知识的掌握情况，某校开展了AI科普知识挑战赛，从所有参赛学生中随机抽取了100人的成绩（均为整数，满分100分）作为样本，整理后绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）先求的值，并估计本次参赛学生成绩的平均数（四舍五入取整）； （2）采用分层抽样法，从和中抽取5个样本，再从中随机选取2个对人工智能科普知识的获取渠道进行分析，求这2个样本中最多有1个来自区间的概率； （3）若规定成绩在80分及以上认定为“掌握情况良好”.现已知原始样本数据中，“掌握情况良好”的学生成绩的平均数为88，方差为18，若成绩在内的平均数为86，方差为2，求成绩在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，总体样本方差为，则总体样本平均数；总体样本方差） 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，二面角为. （1）证明：平面平面； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； （3）求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $