空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量工具解决立体几何三大角问题，以题载法构建从概念到应用的逻辑链条，培养空间观念与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线线角的向量求法|2例+2变式|涵盖正方体、四棱锥等几何体，涉及动态点及证明与计算结合|从异面直线定义出发，通过向量夹角转化，建立坐标系求向量坐标是核心| |线面角的向量求法|3例+3变式|包含三棱锥、四棱锥、翻折问题，涉及体积与线面角综合|基于线面角定义，转化为直线方向向量与平面法向量夹角的余角，强调法向量求解| |面面角的向量求法|3例+3变式|涉及几何体拼接、直棱柱、圆柱等，注重二面角与证明综合|依据二面角定义，通过两平面法向量夹角求解，体现空间几何直观与逻辑推理|

空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 面面角的向量求法 考点一 线线角的向量求法 例1．（25-26高二上·重庆黔江·阶段检测）正方体中，，点在线段上. (1)当时，求异面直线与所成角的取值范围； (2)已知线段的中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意引入参数，建立适当的空间直角坐标系，将问题转换为两直线方向向量夹角的余弦的范围，然后结合异面直线角的范围即可得解. （2）引入参数，利用等体积法转换为求的体积，只需求到平面的距离以及即可得表达式，从而进一步得解. 【详解】（1）由题意正方体的三条棱长两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： ，由题意不妨设， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 令， 当时，， 当时，， 综上，， 所以异面直线与所成角的取值范围为. （2）如图所示： 由题意线段的中点是，，不妨设， 所以， 取平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 而 ， 所以三棱锥的体积为， 所以当且仅当时，三棱锥的体积取最小值. 例2．（2026·云南·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：平面； (2)若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，得到，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，由，求得，再由，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，因为， 可得，所以， 因为，且，平面， 所以平面. （2）解：在中，因为， 可得，所以， 由（1）知：平面，平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设，可得， 因为，可得， 可得，解得，即，所以， 又由，可得 设异面直线与所成的角为， 可得. 变式1．（2024·江苏南通·一模）如图，四边形为菱形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值． 【答案】(1) ∵平面且平面 ∴， 在菱形中，，且平面， ∴平面 又∵平面 ∴平面平面. (2). 【分析】（1）通过线面垂直得出线线垂直，再证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）由二面角定义得到平面角的大小，由菱形和直角三角形的边角关系得出线段长度，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值 【详解】（1）略 （2）∵平面且平面，平面， ∴，，即二面角是， ∴， 取与交点为，设， 则， ∴，∴， 以为坐标原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ∴. 所以所成角的余弦值为.      变式2．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平行六面体中，，.      (1)求证：四边形为正方形； (2)求体对角线的长度； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用向量相等证明四边形为平行四边形，再证明邻边垂直即可得证； （2）利用空间向量的数量积计算模长即可； （3）利用空间向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1）因为，， 所以，而不共线，所以四边形为平行四边形， 又， 所以，即，所以四边形为正方形； （2）由题意易知， 所以， 因为，， 所以，， 所以，即； （3）因为，， 所以 ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 考点二 线面角的向量求法 例1．（2026·上海黄浦·三模）如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证； （2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值。 【详解】（1）因为， 所以为等边三角形，则. 同理，因为， 所以为等边三角形，则，所以. 因为为的中点，所以. 又因为,为的中点，所以. 因为平面， 所以平面, 因为平面， 所以. （2）不妨设由（1）可知. 在中，，， 所以. 因为为的中点，所以，. 在中，， 所以 在中，， 所以. 由（1）知平面，且平面， 所以， 故两两垂直. 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 则 所以,. 因为， 所以 所以. 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 例2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在四棱锥中，，点，分别在棱，上，且三棱锥和三棱锥均是棱长为4的正四面体. (1)求四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据锥体体积公式求得正确答案. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）如图，连接，因为三棱锥和三棱锥均是棱长为的正四面体， 故，，且四边形为菱形，为的中点， 所以，所以，所以. 因为，，，故， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面， 设等边三角形中心为，则, 连接,由于三棱锥是正四面体，平面， 所以，所以，同理可得，则. 设四棱锥的高为，且， 菱形的面积为， 故四棱锥的体积为. （2）由（1）知四边形是菱形，可知，故，，三条直线两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故. 设平面的法向量为， 则， 故可设. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 例3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线面垂直，即证明垂直于底面上的两条相交直线和，最终推导出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系将几何问题代数化，利用空间向量求出平面的法向量，通过计算法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，直接得到线面角的正弦值. 【详解】（1）取BE的中点为O，连接，OC，OD， 由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE， 且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且， 因为＝2，所以，所以， 又由△正三角形性质，可得， 因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，所以平面BCDE， 又因为平面，所以平面平面BCDE． （2）取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形， 且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE， 以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的正弦值为． 变式1．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在四棱台中，四边形是正方形，，平面，点满足，，且平面. (1)求实数； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，根据直线的方向向量和平面的法向量垂直可求的坐标，从而确定实数的值； （2）利用向量法可求线面角的正弦值. 【详解】（1）设， 因为四边形为正方形，故，而平面， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设，则，， 设平面的法向量为， 则即，取， 因为平面，故，故即， 故为的中点，故，故. （2）由（1）可得， 设平面的法向量为， 则即，取， 设直线与平面所成的角为， 则. 变式2．（2026·山东淄博·二模）如图，在等腰梯形ABCD中，，，E是AD的中点.现将△ABE沿BE翻折至△PBE，此时，三棱锥的体积首次达到. (1)求证：； (2)若点G在线段PC上且，求GD与平面PBE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明如下： 因为为中点，所以，则为等边三角形，则. 又且，故是平行四边形，因此， 取中点，连接，为等边三角形，故，. 在中，，，， 由余弦定理得，满足，故. 由，，平面，得平面， 又平面，故， 又，因此. (2) 【分析】（1）根据三角形的性质以及余弦定理得到，，再根据线面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求GD与平面PBE所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）三棱锥的体积，解得. 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，平面为平面， 则. 在上，令，则的坐标为. 由得，即， 化简得，故. 向量. 设平面的法向量，， 则，解得法向量，. 设与平面所成角为，则. 变式3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正四棱柱的底面边长为1，点分别在边上，且． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而可证线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，可得， 且平面，平面，所以平面. （2）以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 考点三 面面角的向量求法 例1．（2026·山东济南·模拟预测）如图，在几何体中，平面平面，，，，，为中点，点，在直线两侧． (1)求证：平面； (2)已知，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面. 取的中点，连接. 因为，所以， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 可知三点共线，所以， 所以平面. (2) 【分析】（1）由面面垂直得平面；取中点，由得，结合中位线可证共线，从而，故平面 ； （2）建系，利用已知长度求出各点坐标，分别计算平面与平面的法向量，代入夹角公式计算可得结果. 【详解】（1）略. （2） 由（1）知平面，平面，所以. 又因为，， 则以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 连接，由（1）知平面 ，平面， 所以 ，，又， 所以. 又， 所以，，. 因此，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，则. 易得平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 例2．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点在线段上． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴， 建立空间直角坐标系，设，根据已知求得，计算即可求得结果； （2）分别求得平面与平面的法向量，利用向量法求解即可. 【详解】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系． 由题意可取，，，，． 设，，， 则． 于是，． 由可得． 即． 整理得， 所以． 因此． （2）由（1）可知． 平面中，，． 取平面的一个法向量为． 平面中，，． 取平面的一个法向量为 设平面与平面所成二面角为，则． 所以． 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 因为M为的中点，N为的中点，所以，． 有． 平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则， 又，则， 而平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量证明线面平行即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求平面与平面的夹角即可． 【详解】（1）略 （2）易得平面的一个法向量为． 在平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则． 设平面与平面所成角为， 则， 因此， 即平面与平面所成二面角的正弦值为． 变式1．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，．点为棱的中点，点为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由题意可取，，， ，，， 为的中点，E为的中点， ，，故， 平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，且不在平面内， 平面． (2) 【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标及相关向量坐标，求出平面法向量，进而利用法向量与垂直证明结论； （2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而求出二面角正弦值． 【详解】（1）略 （2）易知平面的一个法向量为， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则 ， 设平面与平面所成二面角为，则， ． 变式2．（2026·福建南平·二模）如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)思路一： 由BC是直径可知，则是等腰直角三角形，故， 由圆柱的特征可知平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面，则平面， 而平面，则， 因为，则，所以， ， 所以， 所以，即， 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，故平面平面. 思路二：因为，则，，， 所以， 所以，即， 同理可证， 在二面角中且， 所以为二面角的平面角， 由思路一知，所以二面角为直二面角，即平面平面 (2) 【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证，，再由线线垂直得线面垂直，进而根据线面垂直的性质可得面面垂直；或根据定义证得为二面角是直二面角，进而得面面垂直. （2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 由（1）知平面，故平面的一个法向量是， 设是平面的一个法向量， 则有，取，可得 设平面与平面夹角为， 所以， 则平面与平面夹角的大小为. 变式3．（2026·湖南·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，AC与BD交于点O．    (1)求证：平面ABCD； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面是菱形，， 所以为等边三角形，，，， 又，为中点， 故，， 已知，则， 则，故，           因为，平面， 所以平面． (2)． 【分析】（1）利用线面垂直的判定条件即可证明； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，通过求出两个平面的法向量即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知    两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系．    如图所示，则，，，，， 设平面的法向量为， ，， 则，即，令，得，     设平面的法向量为， ，， 则，即，令，得， 设平面与平面的夹角为，且为锐角， 则， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 面面角的向量求法 例1.(25-26高二上·重庆黔江·阶段检测)正方体ABCD-EFGH中，AB=2,点M,N在线段AB,BF上. G 考点 线线角的向量求法 E F (I)当AM=FN时，求异面直线EM与GN所成角的取值范围； (2)已知线段HN的中点是K,当AM+FN=2时，求三棱锥E-MWK的体积的最小值 例2.(2026云南模拟预测)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD,AB‖CD,AB=2CD=3,AD=AS=4, SB=5 SD=42 B (1)求证：AB⊥平面SAD: 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 (2)若SB=4SM,求直线BD与直线MC所成角的余弦值. 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 变式1.(2024江苏南通·一模)如图，四边形ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD (I)证明：平面PAC⊥平面PBD: (2)若PA⊥PC,二面角A-BP-C的大小为120，求PC与BD所成角的余弦值. 变式2.(2024江西南昌模拟预测)如图，在平行六面体 1CD-4BCD中，MB=D=4=1 ∠A,AB=∠AAD=∠BAD=60° D A B B BDD B (1)求证：四边形 为正方形： AC (2)求体对角线的长度； AB BD (3)求异面直线与 所成角的余弦值 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 考点二 线面角的向量求法 例1. (2026:上海黄浦三模)如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°，E 为BC的中点. (1)证明：BC⊥DA: (2)点F满足EF=DA,求直线AF与平面DAB所成角的正弦值. 例2.(2026安徽阜阳二模)如图，在四棱锥Q-ABCD中，AC∩BD=O,点E,F分别在棱QA,QC上，且 三棱锥E-ABD和三棱锥F-BCD均是棱长为4的正四面体， 0 E D名 .8: A 6 (1)求四棱锥Q-ABCD的体积； (2)求直线OQ与平面BFQ所成角的正弦值： 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 例3.(25-26高二下湖南长沙期中)如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形：其 中BICD,BD=DC=CB=l,现在沿若B把△ABE折起到A4B AC,AD 的位置，连接 ,且使得4C-2,如 图2所示. A B 图1 图2 ABE⊥BCDE (1)求证：平面 与平面4CD A (2)求直线 角的正弦值. 变式1.(2026河南开封模拟预测)如图，在四棱 ABCD-ABCD中，四边 ABCD是正方形， AB=2AB=2AAAA⊥ 面8CD,点P满足=2C,0<1<1,且4P/平面CDDC 平面 D B D P B (1)求实数九： AD ADP (2)求直线与平面 所成角的正弦值 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 变式2.(2026山东淄博二模)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=CD=2AD=2,∠A=60,B是AD的 5 中点现将△ABE沿BE翻折至△PBE,此时，三棱锥P-ABE的体积首次达到2· D D G B (I)求证：PC⊥CD: (2)若点G在线段PC上且GB=GC,求GD与平面PBE所成角的正弦值. ABCD-ABCD 变式3.(2026陕西咸阳模拟预测)已知正四棱柱 的底面边长为1，点BF分 分别在边D、CD 2 上，且AE=3 ,CF= 3 D C B E B ()证明：AC1/ BEF 平面 2若14= 2,求直线BB与平面BEF所成角的正弦值. 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 考点三 面面角的向量求法 例1.(2026~山东济南模拟预测)如图，在几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ACEF,AC⊥AB,AC⊥AF, ACIIEF,AB=AC=2EF=2,DA=DC,M为BC中点，点B,D在直线AC两侧. M (I)求证：DM⊥平面ACEF: ②已知F=6,DE=3 ,求平面CDE与平面ABF夹角的余弦值. 例2.(2026·河北唐山模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=1,AD=2,PA⊥平 面ABCD,PA=2.点E在线段PD上 P E PE (I)若BE⊥PC,求ED: (2)在(1)的条件下，求平面EBC与平面PBC所成二面角的正弦值. 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 ABCD-ABCD ABCD 例3.(2026·山西忻州模拟预测)如图，在直四棱柱 中，底面 为直角梯形，满足4B/CD ADL4B,48-2 CD-1 AD-3 A4=2 ·点M为D。 BB 的中点，点N为的中点. D M MNIl ABD (1)证明： 平面 (2)求平面CMN与平面ABCD所成二面角的正弦值. 变式1.(2026山东青岛模拟预测)如图，在直三棱柱 8C-ABG中，B=1C=M=2,∠BAC=0.点D 为楼8的中点，点E为线段4C的中点 E A 6 B (1)证明： DE平面 ABC (2)求平面CDE与平面ABC所成二面角的正弦值. 空间向量与立体几何：线线角、线面角、面面角的向量求法专项训练 变式2.(2026福建南平·二模)如图所示，圆柱的一个轴截面为矩 BCCB,BC是圆柱底面的直径，O为底面 AA AB=AC=AA=2 圆心， 为圆往的一条母线，E为C的中点，且 A B (1)求证：平面A0E⊥平面A0B; ABE与平面 BOE (2)求平 夹角的大小 变式3.(2026·湖南·三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°， PB=PD=V5PA=V5,AC与BD交于点O. DAs----- B (I)求证：PO⊥平面ABCD: (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 10