暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练-2026年七升八暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦平行线判定与性质的综合应用，通过分层例题与变式构建“计算-证明”递进体系，渗透辅助线添加与模型思想，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求角度|3例+3变式|过拐点作辅助线、角平分线性质应用、动态旋转角度计算|从静态角度计算到动态变式，结合三角板旋转等情境，深化性质应用的几何直观| |证明|3例+3变式|猪蹄模型应用、判定与性质综合推理、角平分线与平行关系互推|从模型归纳到综合证明，通过补全图形、探究数量关系，培养逻辑推理与表达能力|

暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 考点一 利用平行线的判定与性质求角度 考点目录 利用平行线的判定与性质求角度 利用平行线的判定与性质证明 例1.(2526七年级下·湖北武汉期末)已知AB∥CD,点P,卫分别在直线AB,CD上，点E在直线AB, D之间，且在点P,0的左侧.连接PE,QE,∠PE0=60」 CD B Q 图1 图2 图3 (1)如图1，直接写出∠APE+∠CQE的大小： (2)如图2，作∠BPE的平分线PF和∠DQE的平分线QG,G与PF的反向延长线相交于点G,求∠QGP的大小： (3)如图3，点N在线段CQ上，点M在射线EQ上，连接MN,作∠APE和∠NME的平分线，它们相交于点H, 直接写出∠PHM与∠CNM之间的数量关系. 【答案】(1)60° (2)30° (3)∠CNM-2∠PHM=120°或∠CWM+2∠PHM=240° 【分析】(I)过点E作EH∥AB,可得EH∥AB∥CD,从而得到∠APE+∠CQE=∠PEH+∠QEH=∠PE0,即 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 可求解： (2)过点G作GK∥AB,可得GK∥AB∥CD,从而得到∠KG0+∠DQG=180,∠FGK=∠FPB,再结合角平分 线的定义可得<QGP=∠KGQ-∠FGK=1S0P-(DOE+∠BPE),由（山）得：∠APE+∠COE=60,即可求解， (3)分两种情况：当点M在线段EQ上时，当点M在线段EQ的延长线上时，结合平行线的性质解答即可. 【详解】(1)解：如图，过点E作EH∥AB, A P B E<-----H D 图1 AB∥CD, ∴.EH∥AB∥CD, .∠APE=∠PEH,∠CQE=∠QEH, .∠APE+∠CQE=∠PEH+∠QEH=∠PEQ, .·∠PEQ=60° ∠APE+∠CQE=60°： (2)解：如图，过点G作GK∥AB, G ------K B D ∴.GK∥AB∥CD ∠KGO+∠DOG=180°，∠FGK=∠FPB, 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠KG0=180°-∠DQG. :PF为∠BPE的平分线，QG为∠DOE的平分线， A∠DQG=∠DOE,∠FPB=BPE, 2 ·∠KG0=180°-)∠DOE,∠FGK=∠BPE. 2 :∠QGP=∠KGQ-∠FGK=180-)∠DOE-)∠BPE=180-)(∠DOE+∠BPE). 由(1)得：∠APE+∠CQE=60° .∠DQE=180°-∠CQE,∠BPE=180°-∠APE, ∠DQE+∠BPE=180°-∠CQE+180°-∠APE=360°-（∠CQE+∠APE)=300° :∠0GP=180P-(<D0E+∠BPE)-180e-x30=30, 2 (3)解：如图，当点M在线段EO上时，过点H作HL∥AB,过点M作MR∥AB, A -B H M D 设∠APH=x,∠EMH=y.ZHMR=z, AB∥CD, .AB∥CD∥HL∥MR, ∠PHL=∠APH=x,∠LHM=∠HMR=z,∠RMN+∠CNM=180°，∠COE=∠EMR=y+z, .∠PHM=∠PHL+∠LHM=∠APH+∠HMR=x+z, .∠APE和∠NME的平分线交于点H, .∠APE=2∠APH=2x,∠HMN=∠EMH=y,∠EMN=2∠EMH=2y, .∠RMN=∠HMN-∠HMR=y-z, 3 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 .∠CWM=180°-∠RMN=180°-y+z, 由(1)得：∠APE+∠CQE=60°，即2x+y+z=60°， .y=60°-2x-z, ∠CNM=180°-(60°-2x-z）+z=120°+2(x+z)=2∠PHM+120° 如图，当点M在线段EO的延长线上时，过点H作HW∥AB,过点M作MW∥AB, A H 一B CN型 D M 图3 设∠APH=a,∠EMH=B,∠HMW=Y, ,AB∥CD. .AB∥CD∥HW∥MW, .∠PHW=∠APH=a,∠JHM=∠HMW=y,∠WMN+∠CNM=180°，∠CQE=∠EMW=B+Y, .∠PHM=∠PHW+∠IHM=∠APH+∠HMW=a+Y, ,∠APE和∠NME的平分线交于点H, ∠APE=2∠APH=2a,∠HMN=∠EMH=B, .∠WMN=∠HMW-∠HMN=Y-B, .∠CNWM=180°-∠WMN=180°-y+B, 由(1)得：∠APE+∠CQE=60°，即2a+B+y=60°， B=60°-2a-y, 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠CWM=180°-y+60°-2a-y=240°-2(a+y）=240°-2∠PHM 即∠CNM+2∠PHM=240°： 综上所述，∠PHM与∠CNM之间的数量关系为∠CWM=2∠PHM+120°或∠CNM+2∠PHM=240°， 例2.(25-26七年级下·贵州黔东南期末)动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣 的结论.小嘉与小祥两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，GH∥MN」 若点A,B在直线GH上，点E,F在直线MN上. G G H M E F W -N M 图1 备用图 备用图 【操作一】 以如图1为其初始位置，小祥固定三角板DEF不动，小嘉将三角板ABC绕点A以每秒6°的速度逆时针旋转，设时 间为秒， (1)当t=2时，∠CAH= ；当t=7时，∠CAH= (2)当BC与DF第一次平行时，求t的值. 【操作二】 (3)以如图1为其初始位置，小嘉和小祥同时旋转两块三角板，小嘉将三角板ABC绕点A以每秒6°的速度逆时针旋 转，小祥将三角板DEF绕点E以每秒1°的速度逆时针旋转，设时间为t秒，且O≤1≤60，当DF与BC平行时，直 接写出t的值. 【答案】(1)18°：12° 25 0 (3)15或51 【分析】)根据慰意解答即可； (②)延长CA交MN于点P,延长FD交C4的延长线于点O,利用平行线的性质可得∠CPN=∠C=6-30°， ∠CPN=∠DEF=45°，再列方程解答即可； (③)分BC在GH上方且DF∥BC和BC在GH下方且DF∥BC两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的判定 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 和性质解答即可 【详解】(1)解：由题意可得，当t=2时，∠CAH=30°-6°×2=18°；当=7时，∠CAH=6°×7-30°=12°： (2)解：如图所示，延长CA交MN于点P,延长FD交CA的延长线于点Q, B Ab H 、D M P E -N R 由题意知，∠CAH=61°-30°， ,GH∥MN .∠CPN=∠CAH=6°-30°， :BC∥DF, ∠C=∠CQF=90° ,∠PQF=90° .∠PQF=∠EDF=90 .CP∥DE, .LCPN=∠DEF=45°， .61°-30°=45°， 解得125 2 六当BC与DF第一次平行时，1=25 Γ2 (3)解：当BC在GH上方且DF∥BC时，如图，延长ED至P交GH于点T,延长BC至L交EP于点K, B C.P A/ H D F M E N 由题意得，∠CAH=61°-30°，∠FEN=t°， .∠DEN=LDEF+∠FEN=45°+°， 6 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 GH II MN .∠PTH=∠DEN=45°+i°， :DF∥BC, .∠DKL=∠EDF=90°， .∠ACB=∠DKB=90°， .EP AC. .∠PTH=∠CAH, 45°+1°=61°-30°， 解得t=15: 当BC在GH下方且DF∥BC时，如图，延长ED交GH于点T,延长BC至K交ET于点P, G H P M- E 由题意得，∠BAH=360°-61°，∠FEN=1°， .∠CAH=∠BAC+∠BAH=30°+360°-6t°=390°-6t°，∠DEN=∠DEF+∠FEN=45°+t°， .GH∥MN. ∠ETH=180°-∠DEN=180°-(45°+t)=135°-t° :DF∥BC, ∠BPD=∠EDF=90°， :∠ACB=90°. .∠ACP=90°， .LBPD=∠ACP, .ET∥AC, .∠ETH=∠CAH, .135°-1°=390°-61°， 解得t=51: 综上，t的值为15或51 例3.(25-26七年级下·云南昆明期末)如图，AB∥CD,∠CEF的平分线EG交AB于点G. > 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 G G F N G B B D 一D E M P E 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠DEF=64°，求∠EGF的度数： (2)如图2，射线ED上有一点M,过点M作MN∥EF交AB于点N,连接EN,∠ENG的平分线NH交EG于点H, 试探究LEH与∠ENM之间的数量关系，并说明理由： (3)如图3，射线EC上有一点P,过点P作PO∥EG交AB于点O,线段EG上有点Q,满足∠EFO=3∠GF0,若 ∠DPO-∠ERF 在直线EG上有一动点R,使得∠QFR+∠POF=90°，则∠GFR 的值为 【答案】(1)58 (2)解：∠ENM+2∠EHHN=180°，理由如下： 如图所示，过点H作HL∥AB, G B D EM AB II CD HL∥AB∥CD, ∠NHL=∠GNH,LEH=∠CEG. ∴.∠EHN=∠NHL+∠EHL=∠GNH+∠CEG, :∠CEF和∠ENG的平分线相交于点H, :∠CEF=2∠CEG=2LGEF,LENG=2LGNH=2∠ENH. AB II CD .∠MNB=∠CMN, .MN∥EF, 8 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∴.∠CEF=∠CMN, .∠CEF=∠MNB. .∠ENG+∠ENM+∠MNB=180°. .2∠GNH+∠ENM+2LCEG=180°， .2∠WHL+∠ENM+2∠EHL=180°， .∠ENM+2∠EHN=180°： 1 (3)3或5 【分析】(1)先根据邻补角互补求出∠CEF的度数，然后根据角平分线以及平行线的性质求解即可； (2)过点H作HL∥AB,则HL∥AB∥CD,那么∠EHN=∠NHL+∠EHL=∠GNH+∠CEG,由ABICD,得到 ∠MNB=∠CMN,由MN∥EF,得到∠CEF=∠CMN,，而∠ENG+∠EWM+∠MNB=180°，再根据角平分线的定义， 进行等量代换证明即可： (3)分两种情况讨论，点R在FQ下方或点R在FO上方，过点R作RI∥CD，,再结合平行线的性质以及角平分线 的定义，结合已知条件求解即可. 【详解】(1)解：：∠DEF=64°，∠DEF+∠CEF=180°， .∠CEF=180°-64°=116°， .EG平分∠CEF, A∠CEG=∠GEF=∠CEF=580 AB∥CD .∠EGF=∠CEG=58°： (2)略 (3)解：如图所示，当点R在FO下方时，过点R作RI∥CD, \G 6 C 2入35 -D PE 9 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 .ABII CD AB IICD川RI, ∠I=∠2，∠3=∠6，∠GFE=∠5，∠GFR=∠FRI, .PO∥EG ∠2=∠3. ∴.∠1=∠2=∠3； ,∠CEF的平分线是EG, ∠3=∠4， .1=∠2=∠3=∠4=∠6： 设∠GF0=∠7=x, .∠EFQ=3∠GFg. .∠EFQ=3x, .∠GFE=∠5=4x, ∠3+∠4+∠5=180° ∠3=4-180,4r=90°-25. 2 ∠QFR+∠1=90°. ∠QFR=90°-(90°-2x)=2x ·.∠ERF=∠6+∠FRI =∠3+∠GFR =90°-2x+(∠7+∠QFR) =90°-2x+(x+2x) =90°+x, 10 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠DP0-∠ERF180°-∠2-(90°+x)180°-(90°-2x)-(90°+x)1 ∠GFR x+2x 3x 如图所示，当点R在FO上方时，过点R作RI/CD, R…I O\G A 7 -B 4 2入35 P -D .ABII CD ABIICDI‖RI, 同理可得，∠I=∠2=∠3=∠4=∠IRE,∠5=∠GFE,∠GFR=∠FRI, 设∠GF0=∠7=x, :∠EFQ=3∠GFQ, .∠EF0=3x, .∠GFE=∠5=4x, ∠3+∠4+∠5=180° ∠3=∠4=1809，-4r=90°-2x 2 .∠QFR+∠1=90°， ∠QFR=90°-(90°-2x)=2x .∠ERF=∠ERI-∠FRI =∠3-∠GFR =90°-2x-(∠QFR-∠7) =90°-2x-(2x-x) =90°-3x, 11 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠DP0-∠ERF180°-∠2-(90°-3x）_180°-(90°-2)-(90°-30=5. ∠GFR 2x-x ∠DPO-∠ERF 1 综上 ∠GFR 的值为3或5. 变式1.(2526七年级下·浙江丽水：期末)如图，直线MNI‖PO,三角形ABC的顶点A在直线MN上，顶点B和 顶点C在两条平行线之间，其中∠CAB=28°，∠B=76°.∠NAB的平分线AD交直线PD于点D,设∠NAB的度 数为2x M 图1 图2 备用图 (I)如图1，若BC∥AD,求x的值. (2)过点C的直线分别交MN,PO于点E,F(点E不与点A重合). ①如图2，若∠EFD=180°-2x°，请判断EF与AB的位置关系，并说明理由. ②若∠EAC的角平分线交直线PO于点G,求∠AGF的度数（用含x的代数式表示）· 【答案】(1)76： EFI‖AB (2)① 理由如下： .MN II PO. .∠NEF+∠EFD=180°， .∠EFD=180°-2x, ∠NEF=180°-(180°-2x) .∠NEF=2x, ∠NAB=2x, 、∠NEF=∠NAB. EFMB,②76-或+149 【分析】(1)先由角平分线的定义得<D4B<NMB=r,再根据平行线的性质即可求解， 12 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 (2)①由MNPO得∠NEF+∠EFD=180°，结合己知∠EFD=180°-2x推出∠NEF=2x,又∠NAB=2x,同 位角相等判定EF∥AB ②分E在A左侧、E在A右侧两种情况讨论；先表示∠EAC,由角平分线得∠EAG,结合MN I PO,利用两直线 平行内错角相等求∠AGF 【详解】(1)解：：AD平分∠NAB,∠NAB=2x .·.DAB=1∠NAB=x°， 2 BC∥AD,∠B=76°， ∴.∠DAB=∠B, .x=76: (2)解：①略： ②情况1：点E在点A左侧时，如图， M E G F :∠MAW=180°，∠NAB=2x .∠EAC=180°-∠CAB-∠NAB=180°-28°-2x=152°-2x :AG平分∠EAC, <E46=<B4c-1522-760-, 2 ·MWIP2, ∠AGF=∠EAG=(76-x) 情况2：点E在点A右侧时，如图， M E一N B F GDO .∠NAB=2x,∠CAB=28°， 6 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠EAC=∠NAB+∠CAB=(2x+28)° :AG平分∠EAC, 1 ∠EAG=5∠EAC= (2x+280=(x+14)° 2 .MN PO ∠AGF=∠EAG=(x+14)° ∠AGF=(76-x)°.(x+14)° 综上， 或 变式2.(25-26七年级下河北廊坊期末)已知4B‖CD,点M,N分别是AB,CD上的点，点G在AB、CD 之间，连接MG,NG, E B M M B G D 图1 图2 图3 (I)如图1，若GM⊥GN,求∠AMG+∠CNG的度数： (2)如图2，若点P是CD下方的一点，MG平分∠BMP,ND平分∠GNP,已知∠BMG=30°，∠GND=a,求 ∠MGN+∠MPN的度数： (3)如图3，若点E是AB上方的一点，连接EM,EN,且GM的延长线MF平分∠AME,NE平分∠CNG, 2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数. 【答案】(1)90° (2)90° (3)50° 【分析】(1)过G作GH‖AB,依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数： (2)过G作GK∥AB,过点P作PO∥AB,设∠GND=a,利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得 14 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠MGN=30°+a,∠MPN=60°-a,即可得到∠MGN+∠MPN=90°： (3)过G作GK∥AB,过E作ET∥AB,设∠AMF=x,∠GND=y,利用平行线的性质以及角平分线的定义， 可得∠MEBN=∠7EN-∠TEM=90--2x,∠AMGN=x+y,再根韬2∠MEN+∠MGN=105,计第即可求解， 【详解】(1)解：如图1，过G作GH‖AB, M B -H D 图1 ·AB∥CD .GH∥AB∥CD, .∠AMG=∠HGM,∠CNG=∠HGN, MG⊥NG. :LMGN=∠MGH+∠NGH=LAMG+∠CNG=90°， (2)解：如图2，过G作GK∥AB,过点P作PQIl AB,设∠GND=&, B 图2 ·GKI∥ABAB∥CD GK∥CD, .∠KGN=∠GND=a, GK∥AB,∠BMG=30°， .∠MGK=∠BMG=30°， :MG平分∠BMP,ND平分∠GNP, ∠GMP=∠BMG=30°， ∴∠BMP=60°， 15 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ·PQ∥AB ∠MPQ=∠BMP=60° ND平分∠GNP, .∠DNP=∠GND=&, AB∥CD, .PQ∥CD .∠QPN=∠DNP=a .∠MGN=30°+a,∠MPN=60°-a, ∠MGN+∠MPN=30°+a+60°-&=90°： (3)解：如图3，过G作GK∥AB,过E作ET∥AB,设∠AMF=x,∠GND=y, E --------T M 一B K------>G 交于，平分 -D 图3 ·AB,FG M MF ∠AME .∠FME=∠FMA=∠BMG=x, ∠AME=2x, GK∥AB. ∴.∠MGK=∠BMG=x, ET∥AB, .∠TEM=∠EMA=2x, GK∥AB∥CD ∠KGN=∠GND=y .∠MGW=x+y 16 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠CND=180°，NE平分∠CNG, ∠CNG=180°-y,∠CNE=5∠CwG=90 1 2 2, :ET∥AB∥CD ∠TEN=∠CNE=900 2, ∠MEN=∠IEN-∠TEM=90--2x,∠MGN=x+y, 2∠MEN+∠MGN=105°， 290y-2xx+y=10s .x=25° ∴.∠AME=2x=50° 变式3.(25-26七年级下湖南郴州期末)如图1，AB∥CD,EF分别交AB,CD于点E,F,且∠EFD是锐角 FG平分LEFD交AB于点G,设∠EGF=a. 图1 图2 图3 (1)若a=30°，则∠EFD= 度； (a如图2，∠CG的平分我与∠ABr的平分线相交于点M试谈明∠AF=90+0, (3)如图3，点9是线段FG上一点（不与点F,G重合），连接E0,∠CFG的平分线与∠GE0的平分线所在的直 线相交于点N.设∠FEO=P,探究∠ENF与a,P的数量关系. 【答案】(1)60 (2)如图，过点M作MH∥AB, E G 一B M D 17 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 :AB∥CD, .AB∥CD∥MH, .∠AEM=∠EMH,∠CFM=∠FMH .∠EMF=∠EMH+∠FMH=∠AEM+∠CFM, :AB∥CD，,∠EGF=a, .∠DFG=∠EGF=a,∠AEF=∠EFD, .∠CFG=180°-∠DFG=180°-a, :FG平分∠EFD, ∠EFD=2∠DFG=2a, .∠AEF=2C, :∠CFG的平分线与∠AEF的平分线相交于点M, :∠AEM=)∠AEF=&,∠CFM=}∠CFG=90-& 2 :∠EMr=∠AEM+∠CFM=a+90e-a=90+)a, 1 2 B)∠EF=a+E 1 2 2 【分析】(1)根据平行线的性质可得∠DFG=∠EGF=30°，再由角平分线的定义，即可求解： (2)过点M作MH∥AB,可得AB∥CD∥MH,从而得到∠EMF=∠AEM+∠CFM,根据平行线的性质可得 ∠DFG=∠BGF=a'∠ABF=∠BFD:再由角平分线的定义，可得∠AEM-ABF=a. 2 2CM-CrG=90-.即可求解 (3)过点N作NK∥AB,设直线NE,FG交于点L,可得AB∥CD∥NK,∠DFG=∠AGF=a, ∠AEF=∠EFD∠KNF=∠CFN,∠KNE=∠GEL∠CFG=180°-∠DFG=180°- ,再由角平分线的定义，可 得<GBL=KNE=0-a-,∠K=0 20，即可求解。 【详解】(1)解：：AB∥CD,∠EGF=a=30°， ∴.∠DFG=∠EGF=30°， 18 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 :FG平分∠EFD, ∴.∠EFD=2∠DFG=60°. (2)略 (3)解：如图，过点N作NK∥AB,设直线NE,FG交于点L, E G B D .AB∥CD .AB∥CD∥K,∠DFG=∠AGF=a,∠AEF=∠EFD, ∠KNF=∠CFN,∠KNE=∠GEL,∠CFG=180°-LDFG=180°-&， :FG平分∠EFD, .∠EFD=2∠DFG=2a, .∠AEF=2a, .∠QEG=180°-∠AEF-∠FE0=180°-2a-B, :∠CFG的平分线与∠GE的平分线所在的直线相交于点N, 2GEL=i0G=080-2a-)=0-a-5A,2cN-crG=90r 2a, 2KNE=90-a-2P,∠KNF=90°- 2, r-Kr-E-(0-0o-aP+58 10 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 考点二 利用平行线的判定与性质证明 例1.(25-26七年级下北京顺义期末)如图，ABI‖CD,点E,F在AB上，点G在CD上，连接FG,FK平分 ∠BFG CD EH FG GH∥FK∠AEH ∠HGC 交直线于点K, 的角平分线与 的角平分线相交于点M E B H (1)依据题意，补全图形： (2)若∠BFG=120°，求∠EMG,∠FGM的大小： (3)当点G在直线CD上运动（点G不与点C重合）时，用等式表示∠EMG和∠FGM之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)解： E A B M D G K (2)60°：90° E明：∠EMG=90°-写FGM或∠EMG=∠FGM:理由如下： 当∠BFG为钝角时，设LBFG=Q;FK平分∠BFG, ∠GK-∠BK-BG-0,AG1s0-∠rG-180r-a 2 :EH∥FG. ∠AEH=∠AFG=180°-a,∠FEH=∠BFG=a, :ME平分∠AEH, CZAEM=∠HEM=乙AEH=90°- 2, 20 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 :AB∥CD 1 ∴.∠FKG=∠BFK=。a .GH FK ∠FGH=∠GFK=)a,∠FKG=∠HGC=2, 1 1 2, E F A B H M 平分 C G K D.:MG ∠HGC ·∠MGC=∠MGH=∠HGC= 2 40, ∠FGM=∠FG+∠MG气)a+La=3 4, .∠FEM=∠HEF+∠MEH=a+90°-1a =90°+1 2 2a=90°-1 ∠EMG=360-180P+a-3a-90°- 4 0: ∠EMG=90-SFGM, 当∠BFG=90°时，FK平分∠BFG, ZBFK-7ZBFG=4SAFG=180P EH∥FG, .∠AEH=∠AFG=90°，∠FEH=∠BFG=90°， :ME平分∠AEH, 24Bw=∠EM-ABH=45。 AB∥CD ∠FKG=∠BFK=45°， .GH FK 21 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 .∠FGH=∠GFK=45°，∠FKG=∠HGC=45° E F A B H M 平分 K .MG ∠HGC .∠MGC=∠MGH=22.5 ∴∠FGM=∠FGH+∠MGH=67.5°， ∴.∠FEM=∠HEF+∠MEH=135° ∠EMG=360°-135°-90°-67.5°=67.5°： :∠EMG=∠FGM: 当∠BFG为锐角时，设∠BFG=P;FK平分∠BFG, ∠GFK=∠BnK-BrG-,∠AFG=18rP-∠BrG=180e-A- :EH∥FG, ∴.∠AEH=∠AFG=180°-B∠FEH=∠BFG=B ME平分∠AEH, ∴∠AEM=∠HEM=ABH=0P-B. AB∥CD, 1 FKG=∠BFK=5B, :GH‖FK 1 LFGH=∠GFK=P,∠FKG=∠HGC= 1 E F A -B M 平分 -D G K .MG ∠HGC 22 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 1 ∠MGC=ZMGH=ZHGC=4P 3 ∠FGM=∠FGH+∠MGH=iB+4B=B, ∠PEM=∠HF+EH=月+0-9=0P+, ∠BMG=36w-150+R-8-90-8=90-: 2 2EMG=90-号FGM, 【分析】(1)根据角平分线的定义，补全图形即可： (2)根据平行线的性质，角的平分线，四边形内角和，求解即可； (3)分∠BFG是锐角，直角，钝角三种情况，根据平行线的性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：∠BFG=120°，FK平分∠BFG, ∠GFK=∠BFK=∠BG=60，∠AFG=180r-∠BrG=60, EH∥FG. .∠AEH=∠AFG=60°，∠FEH=∠BFG=120°， :ME平分∠AEH, .∠AEM=∠HEM=L∠AEH=30° 2 AB∥CD .∠FKG=∠BFK=60°， .GHFK ∠FGH=∠GFK=60°，∠FKG=∠HGC=60°， E F A -B H M 平分 D G .MG ∠HGC 23 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 1 .∠MGC=∠MGH= ∠HGC=30° ∴.∠FGM=∠FGH+∠MGH=90°， ∴.∠FEM=∠HEF+∠MEH=120°+30°=150°， ∠EMG=360°-∠FEM-∠FGM-∠EFG=60°： (3)略 例2.(2526七年级下·湖北孝感期末)如图，已知∠BAD=∠C,AB∥CD,E为射线CB上一点，DE平分 ∠ADC E B 图1 图2 (I)如图1，当点E在线段CB上时. ①求证：AD∥BC: ②求证：∠DEC=∠EDC: (2)如图2，当点E在线段CB延长线上时，若∠DAE=5∠BAE,∠AED=45°，求∠DEC的度数. 【答案】(I)①证明：AB∥CD, .∠BAD+∠ADC=180° :∠BAD=∠C, ∠C+∠ADC=180°， AD∥BC: ②证明：由①知，AD∥BC, .∠ADE=LDEC, :DE平分∠ADC, ∠ADE=LEDC, .∠DEC=∠EDC, (2)60° 【分析】(1)①根据AB∥CD,可得∠BAD+∠ADC=180°，从而得到∠C+∠ADC=180°，即可解答；②由 ①知，AD∥BC,从而得到∠ADE=∠DEC,再由DE平分∠ADC,可得∠ADE=∠EDC,即可解答： (2)设∠BAE=x,则∠DAE=5x,∠DAB=4∠BAE=4x,根据AB∥CD,可得 24 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠ADC=180°-∠BAD=180°-4x,∠ADE=∠DEC,∠DAE+LAEC=180°，再由DE平分∠ADC,可得 ∠DEC=90°-2x,从而得到5x+45°+90°-2x=180°，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：∠DAE=5∠BAE. .可设∠BAE=x,则∠DAE=5x, .∠DAB=4∠BAE=4x, :AB∥CD, ∴.∠ADC=180°-∠BAD=180°-4x,∠ADE=∠DEC,∠DAE+∠AEC=180°， :DE平分∠ADC, ∠EDC∠ADC=90°-2R ∴.∠DEC=90°-2x, .∠AED=45°. .5x+45°+90°-2x=180°， 解得x=15°， ∴.∠DEC=90°-2x=60° 例3.(25-26七年级下江西上饶期末)【模型引入】图1是平行线几何中经典猪蹄模型，依托平行线性质，过拐 点作辅助平行线是破解此类角度计算的通用方法.如图1，己知AB∥CD,直线AB与CD之间有一点P(点P在 直线AC的右侧)，连接AP,CP. B A D 图1 图2 图3 (1)【特例探究】 在图1中，若∠A=35°，∠APC=60°，则∠C的度数为： (2)【总结归纳】 探究图1中∠A,∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由： (3)【拓展应用】 已知1B∥CD,点从，N分别在直线4B,CD上，点P,月均在直线W的右侧，连接P,P,M,识 25 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 MP 且'平分∠BMP O如图2，若点P,与在直线4B和CD之间，9平分DNP,且∠MPN=10°，求MPN ,求 的度数： ②如图3.若点P在直线4B和CD之间，点P在直线CD的下方.ND平分∠P.设2BM=“,且0<u<90 ∠MRN+∠MPN 请直接写出 的度数（用含“的代数式表示）· 【答案】(1)25 (2)解：∠APC=∠A+∠C,理由如下： 过点P作PE∥AB,如图1所示， A B E D 图1 :AB∥CD AB∥PE∥CD, ∴.∠APE=∠A,∠CPE=∠C, ∴∠APE+∠CPE=∠A+∠C,即∠APC=∠A+∠C: 8O50,@∠MPN+Z∠Pw=3a 【分析】(1)过点P作PE∥AB,则AB∥PE∥CD,根据平行线的性质得到∠APE=∠A=35°，∠CPE=∠C, 据此求出LCPE的度数即可得到答案： (2)过点P作PE∥AB,则AB∥PE∥CD,根据平行线的性质得到∠APE=∠A,∠CPE=∠C,则可证明 ∠APC=∠A+∠C: (3)①由(2)的结论得∠MPN=∠BMP+∠DNP,∠MPN=∠BMR+∠DNR 则由角平分线的定义可推出 ∠MPN=2∠BMP+2∠DNP ∠BMP+∠DNP=50°，∠MRN=5 ，据此可得 ,则 0.②过点P作PF∥1B,由角平分 线的定义得 ∠BMP=2∠BMR=2a.设2RD=∠PD=B.证明B/PF∥CD,得到∠MPF=∠BMP=2a, 26 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠NPF=∠PND=B ∠MPN=2a-B ∠MRN=∠BMR+∠PND=a+B ,则 ,由(2)的结论得 据此可得结论. 【详解】(1)解：过点P作PE∥AB,如图1所示. A B E P C D 图1 :AB∥CD .ABI PE I CD .∠APE=∠A=35°，∠CPE=∠C, :∠CPE=∠APC-∠APE=25°， ∠C=25° (2)略 (3)解：①由(2)的结论得∠MPN=∠BMP+∠DNP∠MPN=∠BMR+∠DNP ~M平分∠BMP,识平分DNP, :.∠BMP=2∠BMP∠DNP=2∠DNP .∠MPN=2∠BMP+2∠DNP ∠MPN=100°， 1 ∠BM+∠DNP=2MPN=50°， ∴.∠MPN=∠BMP+∠DNP=50° ②过点P作PF∥AB,如图2所示 M B D 平分 图2 .MP ∠BMP ∠BMP=a& 27 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 .∴∠BMP=2∠BMP=2a :ND平分 PNP …设 ∠RND=∠PND=B :AB∥CD,PF∥AB, AB∥PF∥CD, ∴∠MPF=∠BMP=2a∠NPF=∠PND=B ∴.∠MPN=∠MPF-∠NPF=2a-B ∠MPN=∠BMR+∠PND=&+B 由(2)的结论得 ∴.∠MPN+∠MPN=a+B+2a-B=3a 变式1.(25-26七年级下北京昌平期末)如图，ABI川CD,射线EF交AB,CD于点E,G,点P是射线EF上 一点，连接PB,PD. G C D D M E B 图1 图2 (I)如图1，点P在线段EG上，求证：∠BPD=∠B+∠D: (2)∠ABP与∠CDP的平分线分别是BM和DN, ①如图2，点P在线段EG上，BM和DN交于点Q,猜想∠BPD与∠BOD的关系，并证明： ②点P在何处时，BM DN,并证明. 【答案】(I)证明：如图，过点P作PH∥CD, 28 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 D …H B 图1 AB II CD .AB∥CDI/PH, ∴.∠D=∠DPH,∠B=∠HPB. ,∠BPD=∠HPB+∠DPH, .∠BPD=∠B+∠D ∠BPD=2∠BQD (2)① ,证明如下： 由(I)得，∠BPD=∠PBA+∠CDP. 同理可证：∠BQD=∠QBA+∠CD0, :∠ABP与∠CDP的平分线分别是BM和DN, .∠PBA=2∠QBA,∠CDP=2∠CD0, .∠BPD=2∠BQD ②如图，当点P为射线BD与射线EF的交点时，BM IIDN,证明如下： N F M C G D A E B .ABI CD ∴∠PDC=∠PBA, :∠ABP与∠CDP的平分线分别是BM和DN, ∴.∠PBA=2∠PBM,∠PDC=2∠PDN, ∴.∠PBM=∠PDN 29 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 .BM II DN 【分析】(I)过点P作PH∥CD,则AB∥CDI/PH,由平行线的性质可得D=∠DPH,∠B=∠HPB,再根据 ∠BPD=∠HPB+∠DPH即可得证； (2)①由(1)得，LBPD=∠PBA+∠CDP,同理可证∠BOD=∠QBA+∠CDQ,再根据角平分线的定义可得 ∠BPD=2∠BQD ②当点'为射线BD与射线F的交点时， BM DN ∠PDC=∠PBA ，由平行线的性质得 ,再 根据角平分线的定义得∠PBM=∠PDN,即可得证. 【详解】(1)略 (2)略 变式2.(25-26七年级下福建厦门期末)如图，MNI‖P№，点A,D在直线MN上，将线段AD平移得到线段 BC PO CD CD AE、PQ BE∠DCQ ,使得点B在直线上，连接，E是上一点，射线正交”于点F,连接， 的平分线交 AF于点G,∠BEC=∠FCG」 M D M 备用图 (I)证明：BE平分∠ABC: (2)∠BED的平分线EH交直线MN于点H,若∠DHE+∠EBC+∠AEH=90°，试判断线段CE和CG的大小关系， 并说明理由. 【答案】(I)证明：AD平移得到BC, AB∥DC, .∠ABE=LBEC, .CG ∠DCQ 平分 ∴.∠FCG=∠GCE, ∠BEC=∠FCG, ∠BEC=∠GCE, 30 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∴BE∥CG, ∴∠EBC=∠FCG, ·∠ABE=∠EBC, BE平分∠ABC: (2)解：①当H在A的左侧，CG<CE,②当H在A的右侧，CE<CG, 理由如下： ①如下图，当H在A的左侧，过点E作EK∥MN, M HA G P B F Q:EK∥MN,PQ∥MN .EK∥PQ ∴.∠DHE=∠HEK,∠EBC=∠KEB ∠DHE+∠EBC+∠AEH=9O°， .∠HEK+∠KEB+∠AEH=9O°， ∴∠AEB=90° :CG∥BE. ∴∠CGE=∠BEA=90°，即CG⊥AF, 根据垂线段最短，有CG<CE: ②如下图，当H在A的右侧， M AH D K G 设∠ABE=∠EBC=a, AB∥DC, ∴.∠ABE+∠BED=180° .∠BED=180°-， :EH平分∠BED, 31 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 ∠BEH= ∠BED=90°-_ 20, 同①的解法可得，∠DHE+∠EBC=∠BEH=90°- 2, :∠DHE+∠EBC+∠AEH=90°， ∴.∠AEH=5a 2 ∴∠AEB=∠BEH-∠AEH=90O°-a, ∠ABE=∠BEC=a, ∴.∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°，即CE⊥AF, 根据垂线段最短，有CE<CG 【分析】(1)判定AB∥DC,BE∥CG,根据平行线的性质证∠ABE=∠EBC,即可得答案： (2)分两种情况，当H在A的左侧和H在A的右侧，分别证CG⊥AF和CE⊥AF,根据垂线段最短，即可得答 案 【详解】(1)略 (2)略 变式3.(25-26七年级下北京石景山期末)如图，直线MN‖P,点A,B分别在直线MW,P2上，连接AB, 点C在线段AB上，点D在射线AW上，连接CD,作∠NDC的角平分线DF交直线PO于点F,点E是直线PO上 一动点（不与F重合），连接CE,设 DCE=au(0°<a≤90) -M M D -N 图1 图2 备用图 (1)当a=90°时，依题意补全图1，并求证：∠ADC+∠BEC=90°； (2)作∠CEF的角平分线交线段DF于点O.依题意补全图2，并用含Q的代数式表示∠DOE的大小. 【答案】(1)补全图形： D M B 32 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 证明：过点C作CH∥MN, M D 、C --H .MNI PO ∴CH∥PQ ∴.∠ADC=∠DCH,∠BEC=∠HCE :∠DCE=∠DCH+∠HCE=90°， ∠ADC+LBEC=90°； (2)补全图形： M A D M C B E F 图1 图2 ①当点E在点F左侧时，如图1， ∠DOE=180°- 2 ②当点E在点F右侧时，如图2， ∠D0E=90°+C 【分析】(1)作∠DCE=90°交PQ于点E即可，过点C作CH∥MN,根据平行线的性质及推论得到 ∠DCH=∠ADC,∠HCE=∠BEC 即可： (2)分两种情况：点E在点F左侧时，和点E在点F右侧时，利用平行线的性质结合(1)得到∠DOE的大小. 【详解】(1)略 (2)解：补全图形： M A D M A D ①当点在点左侧时，如图1， P Q B E B 图1 图2 E F 33 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 :DF平分∠NDC,EO平分∠CEF, A∠NDF=)∠CDN,∠OEF=i∠CEF 2 由(1)知∠DCE=∠ADC+∠BEC=&, :∠ADC+∠CDN=180°，∠BEC+∠CEF=180° ∠CDN+∠CEF=180°-∠ADC+180°-∠BEC=360°-（∠ADC+∠BEC)=360°-a :AN0+40Er-cDN+5cEBF-(060-a）=I8o-号， 由(1)同理得∠D0E=∠NDF+∠OEF=180°- 2; ②当点E在点F右侧时，如图2， :DF平分∠NDC,EO平分LCEF, :∠CDF=1 CDN∠OEr-5<CEF. 由(1)知∠DCE=∠ADC+LBEC=a, :∠ADC+∠CDN=180°， ∠CDF=2080-∠ADC)=90-7∠ADC. 2 :∠ADF=∠ADC+∠CDF=∠ADC+90°-号∠ADC=90°+∠ADC. 2 由1)月理得∠D0E=∠ADF+∠B0=90+号4DC+BBC=90+4DC+∠BC)=90+ 2 2 ∠D0E=90°+ 2. 34暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 暑假培优复习：利用平行线的判定与性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 考点目录 利用平行线的判定与性质求角度 利用平行线的判定与性质证明 考点一 利用平行线的判定与性质求角度 例1．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，且在点，的左侧．连接，，． (1)如图1，直接写出的大小； (2)如图2，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的大小； (3)如图3，点在线段上，点在射线上，连接，作和的平分线，它们相交于点，直接写出与之间的数量关系． 例2．（25-26七年级下·贵州黔东南·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论．小嘉与小祥两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图所示摆放，其中，，，，若点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】 以如图为其初始位置，小祥固定三角板不动，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒． (1)当时，________；当时，________； (2)当与第一次平行时，求的值． 【操作二】 (3)以如图为其初始位置，小嘉和小祥同时旋转两块三角板，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小祥将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，直接写出的值． 例3．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，，的平分线交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线上有一点M，过点M作交于点N，连接，的平分线交于点H，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，射线上有一点P，过点P作交于点O，线段上有点Q，满足，若在直线上有一动点R，使得，则的值为________． 变式1．（25-26七年级下·浙江丽水·期末）如图，直线，三角形的顶点在直线上，顶点和顶点在两条平行线之间，其中，．的平分线交直线于点，设的度数为． (1)如图，若，求的值． (2)过点的直线分别交，于点，（点不与点重合）． ①如图，若，请判断与的位置关系，并说明理由． ②若的角平分线交直线于点，求的度数（用含的代数式表示）． 变式2．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）已知，点，分别是，上的点，点在、之间，连接，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是下方的一点，平分，平分，已知，，求的度数； (3)如图3，若点是上方的一点，连接，，且的延长线平分，平分，，求的度数． 变式3．（25-26七年级下·湖南郴州·期末）如图1，，分别交，于点E，F，且是锐角．平分交于点G，设． (1)若，则________度； (2)如图2，的平分线与的平分线相交于点M，试说明； (3)如图3，点Q是线段上一点（不与点F，G重合），连接，的平分线与的平分线所在的直线相交于点N．设，探究与，的数量关系． 考点二 利用平行线的判定与性质证明 例1．（25-26七年级下·北京顺义·期末）如图，，点E，F在上，点G在上，连接，平分交直线于点K，，，的角平分线与的角平分线相交于点M． (1)依据题意，补全图形； (2)若，求，的大小； (3)当点G在直线上运动（点G不与点C重合）时，用等式表示和之间的数量关系，并证明． 例2．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，已知，，E为射线上一点，平分． (1)如图1，当点E在线段上时． ①求证：； ②求证：； (2)如图2，当点E在线段延长线上时，若，，求的度数． 例3．（25-26七年级下·江西上饶·期末）【模型引入】图1是平行线几何中经典猪蹄模型，依托平行线性质，过拐点作辅助平行线是破解此类角度计算的通用方法．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)【特例探究】 在图1中，若，，则的度数为_____； (2)【总结归纳】 探究图1中，与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 已知，点，分别在直线，上，点，均在直线的右侧，连接，，，，且平分． ①如图2，若点，均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 变式1．（25-26七年级下·北京昌平·期末）如图，，射线交，于点E，G，点P是射线上一点，连接，． (1)如图1，点在线段上，求证：； (2)与的平分线分别是和， ①如图2，点在线段上，和交于点，猜想与的关系，并证明； ②点在何处时，，并证明． 变式2．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，，点A，D在直线上，将线段平移得到线段，使得点B在直线上，连接，E是上一点，射线交于点F，连接，的平分线交于点G，． (1)证明：平分； (2)的平分线交直线于点H，若，试判断线段和的大小关系，并说明理由． 变式3．（25-26七年级下·北京石景山·期末）如图，直线，点A，B分别在直线上，连接，点在线段上，点在射线上，连接，作的角平分线交直线于点，点是直线上一动点（不与重合），连接，设． (1)当时，依题意补全图1，并求证：； (2)作的角平分线交线段于点．依题意补全图2，并用含的代数式表示的大小． 2 学科网（北京）股份有限公司 $