期末培优：由平行线的性质求角度、由平行线的性质探究角度的数量关系专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行线性质的角度计算与数量关系探究，通过分层例题与变式构建从基础到综合的逻辑训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由平行线的性质求角度|3例+3变式|含动态旋转、折叠情境的基础角度计算|从平行线性质直接应用到结合三角板、折叠等图形变换的综合计算| |由平行线的性质探究角度的数量关系|3例+3变式|含角平分线、多拐点的角度关系推导|从两角关系探究到多角数量关系及代数式表示，深化性质的迁移应用|

期末培优：由平行线的性质求角度、由平行线的性质探究角度的数量关系专项训练 期末培优：由平行线的性质求角度、由平行线的性质探究角度的数量关系专项训练 考点目录 由平行线的性质求角度 由平行线的性质探究角度的数量关系 考点一 由平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）问题背景：直线、、两两相交，交点分别为点、、，，点在直线上，过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)探究：如图1，当点在线段上时，求的度数； (2)应用：如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，的度数是否发生改变？请说明理由； (3)拓展：当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，度数发生改变，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，； （2）根据平行线的性质可得，，从而得出的度数； （3）根据题意先画出图形，同（2）的求解即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解：，度数发生改变； 理由： ，， ，， ； （3）如图所示， ，， ． ， ， ． 例2．（25-26七年级下·山东威海·期中）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 例3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，可得，由（1）得：，利用平行线的性质建立方程求解即可； （3）令，，可得．证明，．结合．再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴令，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）得，， ∴， 解得， ∴． 变式1．（25-26七年级下·广东广州·期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一周． (1)如图1，______； (2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数； (3)在三角板旋转过程中，当时，求的度数． 【答案】(1)105 (2)作图见详解，或 (3)或 【分析】（1）利用平角的定义求解即可； （2）先根据题意作出对应的图形，分情况进行讨论：①当在上方时；②当在下方时，利用平行线的性质，角度和差关系再结合已知条件利用平角的定义即可求出； （3）设，则，分两种情况讨论：①当在左侧时，②当旋转到直线下方时，利用角的和差关系进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：①当在上方时： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当在下方时； ． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或； （3）解：设，则， 此时分情况讨论： ①如图，当在左侧时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； ②如图，当旋转到直线下方时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 变式2．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； (2)【类比应用】如图2，已知，点在直线的上方，点在直线上，连接，，则，，之间有何数量关系?请说明理由； (3)【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的角平分线和的角平分线相交于点，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用两直线平行同位角和内错角相等得到答案； （2）过点作，得，再根据，即可得到答案； （3）依题意，，，由（2）得，可知，得到答案． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，的角平分线和的角平分线相交于点， 平分，平分， ，， 由（2）知， ， ， 同（2）理，可知， 变式3．（25-26七年级下·山西太原·期中）综合与探究 【问题情境】：在数学活动课上，老师让同学们用一张直角三角形纸片进行探究活动，如图1，在三角形纸片中，，，．先将三角形纸片的边与直线重合放置，再将三角形纸片绕点逆时针旋转．为直线下方的一条射线，． 【特例分析】： (1)如图2，当点在上方，且时，求的度数． (2)如图3，当平分时，试判断是否平分，并说明理由． 【综合探究】： (3)当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)或 【分析】（1）可先求出的度数，再通过和求出，先算出，再利用求解． （2）只需证明∠．根据平分，先求出和，再结合进行角度代换． （3）分两种情况，时，利用平行线的性质，可得到或，进而计算的度数． 【详解】（1）解：已知，， ， ， ，， ； （2）解：已知平分，， ， ， ， ， ， ， 平分． （3）情况1：当，且在上方时： 由，得， ． 情况2：当点旋转到直线下方，时： 由，得， ， 综上，的度数为或． 考点二 由平行线的性质探究角度的数量关系 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知直线，直线分别交于点E，F． (1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ； (2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数； (3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)和之间存在的数量关系为 或 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质，内错角相等，求出，利用内错角相等得到，从而得到最终答案； （2）过点T作，利用平行线与角平分线的性质得到对应角相等，再进行等量代换进行求解； （3）因为点在直线上，所以先对点的位置进行分类，再过点作平行于的辅助线，然后利用平行线和角平分线的性质得到对应角相等，最后通过等量代换进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图③，过点T作，则， ∴，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：设， . ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，； ①如图④-1，当点Q在线段EF上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴， ∴． ②如图④-2，当点Q在的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴； ③如图④-3，当点Q在EF的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∴， ∴， 综上所述，和之间存在的数量关系为 或． 例2．（25-26七年级下·陕西安康·期中）直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)与之间存在的数量关系是或或 【分析】（1）过点I作，根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据题意得出，．过点F作，利用平行线的判定和性质得出，过点I作，结合图形即可求解； （3）设，，得出，．确定，，，然后分三种情况分析：①当点I，Q在直线的两侧时，②当点I，Q在直线的左侧时，③当点I，Q在直线的右侧时，作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：过点I作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ，． 如图②，过点F作． ， ，， ，      ， , ， 过点I作， ， ，，      ， ． （3），， ，， 与的平分线交于点Q， 设，， ，． ，，，      ①当点I，Q在直线的两侧时，如图③-1，过点I作． ， ，， ， 过点Q作， ， ，， ， ．      ②当点I，Q在直线的左侧时，如图③-2． 同①，得， ． ．      ③当点I，Q在直线的右侧时，如图③-3． 同①，得，． ． 综上所述，与之间存在的数量关系是或或． 例3．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)180 (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得结论； （2）作．设，，得，得出，，由平行线的性质得，，由可得结论； （3）作，，得出，，推出，，结合，可得，，得，代入相加可得，即． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：如图，作．设，， 则，． 平分、平分， ，， ， ， ， ， ，； 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，， ，， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， 即， ． 变式1．（25-26七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； (2)如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： (3)如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案； （2）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得，结合，，即可获得答案； （3）延长到点，根据“两直线平行，同位角相等”可得，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长到点， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26七年级下·甘肃定西·期中）已知射线射线，P为一动点，平分，平分，且与相交于点E． (1)在图1中，当点P运动到线段上时，． ①直接写出的度数______； ②求证：； (2)当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明； (3)当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，见解析 (3)不成立， 【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据角的和差即可得； ②由①即可证明； （2）过点作，过点作，由（1）得，同理可得，进而求解即可； （3）过点作，过点作，先根据（1）得，再根据平行线的性质得，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ，且点运动到线段上， ， 平分，平分， ， ∵， ， ， ， ， ； ②由①可得，； （2）解：猜想，证明如下： 如图，过点作，过点作， 由（1）得：， 同理可得：， ； （3）解：，证明如下： 如图，过点作，过点作， 由（1）得：， 即， ∵， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， 即． 变式3．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知，直线交，于G，H． (1)如图1，点I在直线与直线之间，请找出、、之间的关系，并说明理由； (2)如图2，点E在直线上，E位于G点右侧，点F在直线上，且在直线上方，点I在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点E在直线上（E在H点左侧），点I在直线与直线之间，与的角平分线交于点Q，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）先过点I作，可得，再证明，可得，然后根据得出答案； （2）作，设可得，再设根据平行线的性质得，进而得出，然后得出，接下来由（1）可得，最后结合，可得求出，则此题可解； （3）根据平行线的性质得，再设，同时设，进而得出，再结合由（1）可得然后得出，则此题可解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过点I作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点F作， 设 ∵ ∴， 设 ∵ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 由（1）可得， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， 设， ∵与的角平分线交于点Q， 设， 如图所示，， 由（1）可得 ∴ ， 综上所述，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：由平行线的性质求角度、由平行线的性质探究角度的数量关系专项训练 期末培优：由平行线的性质求角度、由平行线的性质探究角度的数量关系专项训练 考点目录 由平行线的性质求角度 由平行线的性质探究角度的数量关系 考点一 由平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）问题背景：直线、、两两相交，交点分别为点、、，，点在直线上，过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)探究：如图1，当点在线段上时，求的度数； (2)应用：如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，的度数是否发生改变？请说明理由； (3)拓展：当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出的度数． 例2．（25-26七年级下·山东威海·期中）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 例3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 变式1．（25-26七年级下·广东广州·期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一周． (1)如图1，______； (2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数； (3)在三角板旋转过程中，当时，求的度数． 变式2．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； (2)【类比应用】如图2，已知，点在直线的上方，点在直线上，连接，，则，，之间有何数量关系?请说明理由； (3)【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的角平分线和的角平分线相交于点，求的度数．（用含的代数式表示） 变式3．（25-26七年级下·山西太原·期中）综合与探究 【问题情境】：在数学活动课上，老师让同学们用一张直角三角形纸片进行探究活动，如图1，在三角形纸片中，，，．先将三角形纸片的边与直线重合放置，再将三角形纸片绕点逆时针旋转．为直线下方的一条射线，． 【特例分析】： (1)如图2，当点在上方，且时，求的度数． (2)如图3，当平分时，试判断是否平分，并说明理由． 【综合探究】： (3)当时，直接写出的度数． 考点二 由平行线的性质探究角度的数量关系 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知直线，直线分别交于点E，F． (1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ； (2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数； (3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系． 例2．（25-26七年级下·陕西安康·期中）直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 例3．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 变式1．（25-26七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； (2)如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： (3)如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 变式2．（25-26七年级下·甘肃定西·期中）已知射线射线，P为一动点，平分，平分，且与相交于点E． (1)在图1中，当点P运动到线段上时，． ①直接写出的度数______； ②求证：； (2)当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明； (3)当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系． 变式3．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知，直线交，于G，H． (1)如图1，点I在直线与直线之间，请找出、、之间的关系，并说明理由； (2)如图2，点E在直线上，E位于G点右侧，点F在直线上，且在直线上方，点I在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点E在直线上（E在H点左侧），点I在直线与直线之间，与的角平分线交于点Q，请直接写出与的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $