精品解析：北京市第三十五中学2025-2026学年第二学期期末试卷高二数学

学校2025—2026学年度第二学期期末试卷 高二数学 2026.7 本试卷共分为卷一、卷二两部分，卷面总分共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列函数中，存在极值点的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得选项中各个函数的导数，得出函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【详解】对于A，由函数，可得，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，所以A符合题意； 对于B，由函数，可得， 所以函数在上单调递增，所以没有极值点，所以B不符合题意； 对于C，由函数，可得其定义域为，且， 所以在上单调递减，没有极值点，所以C不符合题意； 对于D，由函数，可得其定义域为，且， 所以在上单调递增，没有极值点，所以D不符合题意； 2. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A， 即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况， 则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×= 故选B. 3. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，现甲、乙各投篮一次，记为甲命中的次数，为乙命中的次数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定X、Y均服从两点分布，利用两点分布方差公式列不等式，求解后结合p的取值范围得到结果. 【详解】由题意可知，甲投篮一次命中次数X服从参数为的两点分布，则. 同理，. 已知，则，整理得，解得. 4. 某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设初始产能， 从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为， 所以两边约去， 得， 从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为 ， 所以答案是B. 5. 已知是无穷等差数列，“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则， 但不存在正整数，使得，故必要性不成立， 则“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的充分不必要条件. 6. 已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知曲线在点处的切线方程为，则， ，则， ，则， 故切线斜率为0，过点，切线方程为． 7. 若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，和三种情况讨论的值域即可求解. 【详解】当时，， 时，， 时，，则，所以在上单调递增，， 此时的值域为，值域不是，舍去， 当时， 当时，，开口向上，对称轴为， 所以， 趋向时趋向，故段取值范围为； 当时，，则，所以在上单调递增，， 此时的值域为，缺少部分，值域不是，舍去， 当时， 当时，，开口向下，对称轴为，所以 当时，，则，令，解得：， 令，解得 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以要使函数的值域为，则， 即，解得：， 综上，实数的取值范围是. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 9. 已知函数，的导函数为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】易得，则 10. 已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为（）， 因为，所以，解得， 则. 11. 某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二种、第三种产品受欢迎的概率分别为，，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为 0 1 2 3 则__________；__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为，所以， 设事件表示“第种产品受欢迎”，， 由题意得，且相互独立， 根据题意， 化简得，即， 又，化简得， 所以. 12. 中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为，设，则数列的前11项中，最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题设可得，通项公式，然后由指数函数单调性可判断单调性，据此可得答案. 【详解】由题可得当，且为正奇数时，， 则中所有奇数项，构成以为首项，公比为的等比数列， 则为奇数时，，则当为偶数时，. 从而当为奇数时，； 当为偶数时，. 因为R上减函数，则当为奇数时，，取等号时， 当为偶数时，，取等号时. 注意到，则数列的前11项中，最大值是. 13. 已知无穷数列满足，，给出下列四个结论： ①对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列； ②对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列； ③对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等； ④不存在实数和，使得数列为等比数列（公比）， 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】对于①，当数列是公差为0的等差数列时满足条件； 对于②，将数列为单调递增数列转化为在上大于零恒成立， 即可判断； 对于③，将数列的每项都小于0且互不相等转化为在上恒成立，即可判断； 对于④，假设存在实数和，使得数列为等比数列（公比），可得，，是三次方程的根，利用三次方程根与系数关系即可求解. 【详解】对于①，当数列是公差为0的等差数列时，此时， 则，解得：， 所以对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列；故①正确； 对于②,若数列为单调递增数列，则 即， 即恒成立， 令， 所以恒成立，等价于在上大于零恒成立， 由于，令，解得：， 令，解得：或 令，解得： 所以在和上单调递增，在单调递减， 由于当时，， 所以只要选取足够大，使得即可， 故对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列；故②正确； 对于③，数列的每项都小于0且互不相等，则，且，则等价于当时，恒成立， 由于，令，解得：， 令，解得：或 令，解得： 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 只要取足够小的时，的值都是小于0的， 由于方程的根，等价于的根，所以只要不取该方程的根即可， 综上，只要取足够小的且不为方程的根时，对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等；故③正确， 对于④，假设存在实数和，使得数列为等比数列（公比）， 所以恒有， 即 因为，，， 所以，，是三次方程的根， 所以， 若数列为等比数列，则， 所以，因为， 所以在实数范围内无解， 综上，不存在实数和，使得数列为等比数列（公比），故④正确. 三、解答题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 14. 已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足__________，求数列的前项的和. 从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）. （2）选择任意条件答案相同，的前项和为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，代入，得，求出的值即可得数列的通项公式； （2）选择①，可得，，且数列是以2为周期的周期数列，求出的通项公式，利用分组求和求解即可; 选择②，可得，用分组求和及等比数的求和公式求解即可; 【小问1详解】 因为是和的等差中项， 所以，即， 所以， 解得或（舍）， 所以， 所以； 【小问2详解】 选择①，，， 则有，解得， 且， 所以， 所以数列是以2为周期的周期数列， 所以， 设数列的前项的和， 则 ； 选择②，， 则，， 所以， 设数列的前项的和， 则 ； 15. 智能手机的普及推动了人们对电池续航与寿命的更高要求.电池健康度作为衡量电池实际性能与剩余寿命的核心指标，通常以百分比呈现. 为评估市场上甲、乙、丙三种型号手机的电池耐用性，某评测机构对这三种型号手机各随机选取8台设备，每台均执行完全相同的1000次充放电循环测试.随后，使用专业设备检测并记录每台手机的当前电池健康度. 下表为三种型号手机在完成1000次充放电循环后的具体电池健康度数据： 型号 电池健康度（%） 甲 85.2 86.5 84.8 79.1 85.9 86.2 83.9 79.4 乙 82.1 81.3 79.7 79.5 77.4 83.0 83.6 77.2 丙 76.9 82.8 78.1 79.0 82.0 79.6 77.2 82.7 假设忽略其余因素对电池健康度的影响，用频率估计概率. （1）根据上述数据，若随机选择一台全新的甲型号手机，试估计其在完成1000次充放电循环后，电池健康度低于80%的概率； （2）若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各一台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这3台手机中，电池健康度低于80%的手机数目为，求的分布列和数学期望； （3）若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各100台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这三种型号手机电池健康度低于80%的手机数目分别为，，，试比较，，的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 分布列为： 0 1 2 3 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）由统计表格中的数据值，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）求得甲、乙、丙三种型号手机电池健康度低于的概率，以及变量的可能取值，根据概率的乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）根据题意，得到变量分别服从二项分布，，，结合二项分布的方差公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由统计表格中的数据值，甲型号手机共8台，其中电池健康度低于的有2台， 所以甲型号手机电池健康度低于的概率为. 【小问2详解】 解：由题意知，甲、乙、丙三种型号手机电池健康度低于的概率分别为： ， 随机变量的可能取值为， 可得； ； ； ， 所以变量的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 【小问3详解】 解：由题意知，变量分别服从二项分布，，， 可得，， ， 因为，所以. 16. 盒子里有大小相同的12个球，其中有个红球，其余为白球，从中任取3个球，记为恰好取到2个红球的概率. （1）求的值； （2）当为何值时，取得最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式计算； （2）推导出的表达式，进而求得最大值对应的值。 【小问1详解】 由题可知，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 取得最大值，也即是取最大值， 所以，解得，所以 17. 已知函数，． （1）若为函数的极值点，求的值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若函数的图象恒在轴的下方，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，从而求出的值，再验证时是否满足题意即可； （2）求，分和两种情况分析，再结合二次函数的性质，及求根公式求解即可； （3）将条件转化为在上恒成立，结合（2），分，和三种情况分析，结合二次函数的性质，构造函数求出时的的取值范围，进而结合分离参数，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 由，，则， 又为函数的极值点，则，解得， 验证：时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以为函数的极大值点，即满足题意． 故． 【小问2详解】 由，， 令，， 当时，，即，所以在上单调递增； 当时，是开口向下的二次函数，且其对称轴为， 又，则存在唯一正根， 则当时，，即，所以在上单调递增； 当时，，即，所以在上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问3详解】 由函数的图象恒在轴的下方，即在上恒成立． 结合（2）， 当时，有在上单调递增，且时，，不符合题意； 当时，是开口向上的二次函数，且其对称轴为， 则当时，，即，所以在上单调递增， 且时，，不符合题意； 当时，在处取得最大值，则只需即可， 又，得， 则，得， 即，整理得， 所以， 令，， 则， 即在上单调递增，且， 所以时，解得，即时，解得， 又，即，， 又是开口向上的二次函数，且其对称轴为， 则在上单调递增， 则当时，，所以， 故的取值范围为． 18. 给定正奇数，设为首项为，公差为()，项数为的等差数列，将中各项按如下规则排成一个有行，列的数阵． （1）若，，写出数阵，并计算； （2）求证：数阵中每一行所有数的和为同一定值； （3）设，从数阵的第1列开始，在每一列中，分别取出第行，第行，，第行，第1行，第2行，，第行的数，将取出的个数相加，记得到的和为．求证：对给定的数阵，的取值有且只有两种可能． 【答案】（1）数阵为， （2）由为首项为，公差为()，项数为的等差数列，则， 在数阵中，记第行第列的数为，，， 则的通项公式为， 则第行的所有数为，，，，，，，，， 令 ， ， 所以， 即第行的所有数的和与无关，为定值，得证． （3）结合（2），可知的通项公式为， 则所取的个数分别为： ，，，，，，，，，，，， 当为奇数时， ， ， 所以； 当为偶数时， ， ， 所以． 故对给定的数阵，有， 即的取值有且只有这两种可能，得证． 【解析】 【分析】（1）根据一个有行，列的数阵形式即可写出一个有行，列的数阵，再根据数列的通项公式直接计算即可； （2）记第行第列的数为，先根据题中的数阵的通项公式，从而得到第行的所有数，再根据分组求和，及等差数列的前项和公式即可求出，进而得证； （3）结合（2）中的通项公式，列出所取的个数，进而分为奇数和为偶数两种情况，结合分组求和，及等差数列的前项和公式计算出，进而得证． 【小问1详解】 由，，则有行，列的数阵为， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 卷二 一、选择题.共2小题，每小题4分，共8分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 19. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本函数导数公式可得答案. 【详解】因，则. 20. 已知等差数列中，，，则公差的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式的项差与公差的对应关系求解公差. 【详解】已知等差数列中，，， 则. 二、解答题.共1小题，共12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知函数，，，且. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）单调递增区间为和，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再代入求解即可； （2）将代入，利用导数求解即可； （3）由题意可得，根据（2）确定函数在上的单调性，求出其最小值，代入求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，解得； 【小问2详解】 因为，所以，， 令，得， 所以当或时，单调递增； 当时，单调递减； 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问3详解】 由（2）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校2025—2026学年度第二学期期末试卷 高二数学 2026.7 本试卷共分为卷一、卷二两部分，卷面总分共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列函数中，存在极值点的函数是（ ） A. B. C. D. 2. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A. B. C. D. 3. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，现甲、乙各投篮一次，记为甲命中的次数，为乙命中的次数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是无穷等差数列，“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 9. 已知函数，的导函数为，则__________. 10. 已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 11. 某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二种、第三种产品受欢迎的概率分别为，，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为 0 1 2 3 则__________；__________. 12. 中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为，设，则数列的前11项中，最大值是__________. 13. 已知无穷数列满足，，给出下列四个结论： ①对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列； ②对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列； ③对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等； ④不存在实数和，使得数列为等比数列（公比）， 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 14. 已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足__________，求数列的前项的和. 从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 15. 智能手机的普及推动了人们对电池续航与寿命的更高要求.电池健康度作为衡量电池实际性能与剩余寿命的核心指标，通常以百分比呈现. 为评估市场上甲、乙、丙三种型号手机的电池耐用性，某评测机构对这三种型号手机各随机选取8台设备，每台均执行完全相同的1000次充放电循环测试.随后，使用专业设备检测并记录每台手机的当前电池健康度. 下表为三种型号手机在完成1000次充放电循环后的具体电池健康度数据： 型号 电池健康度（%） 甲 85.2 86.5 84.8 79.1 85.9 86.2 83.9 79.4 乙 82.1 81.3 79.7 79.5 77.4 83.0 83.6 77.2 丙 76.9 82.8 78.1 79.0 82.0 79.6 77.2 82.7 假设忽略其余因素对电池健康度的影响，用频率估计概率. （1）根据上述数据，若随机选择一台全新的甲型号手机，试估计其在完成1000次充放电循环后，电池健康度低于80%的概率； （2）若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各一台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这3台手机中，电池健康度低于80%的手机数目为，求的分布列和数学期望； （3）若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各100台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这三种型号手机电池健康度低于80%的手机数目分别为，，，试比较，，的大小.（结论不要求证明） 16. 盒子里有大小相同的12个球，其中有个红球，其余为白球，从中任取3个球，记为恰好取到2个红球的概率. （1）求的值； （2）当为何值时，取得最大值. 17. 已知函数，． （1）若为函数的极值点，求的值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若函数的图象恒在轴的下方，求的取值范围． 18. 给定正奇数，设为首项为，公差为()，项数为的等差数列，将中各项按如下规则排成一个有行，列的数阵． （1）若，，写出数阵，并计算； （2）求证：数阵中每一行所有数的和为同一定值； （3）设，从数阵的第1列开始，在每一列中，分别取出第行，第行，，第行，第1行，第2行，，第行的数，将取出的个数相加，记得到的和为．求证：对给定的数阵，的取值有且只有两种可能． 卷二 一、选择题.共2小题，每小题4分，共8分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 19. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 20. 已知等差数列中，，，则公差的值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、解答题.共1小题，共12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知函数，，，且. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $