精品解析：贵州省安顺市2025-2026学年第二学期期末教学质量监测高一数学试题

全市普通高中2025—2026学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 3.请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. 0 C. 1 D. i 【答案】C 【解析】 【详解】，故的虚部为. 2. 已知，是不共线的两个向量，，，若，则k的值为（） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】与共线，则存在唯一实数，使得， . 由于是两个不共线的向量，，得. 3. 数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（ ） A. 79 B. 54 C. 50 D. 41 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数的计算公式直接求解即可. 【详解】第一步，将数据从小到大排列为：35，36，46，54，60，73，85，89 第二步，， 第三步，由于为整数，故第75百分位数为排序后第6个数与第7个数的平均数，即， 即第75百分位数为79. 4. 已知，，是空间中三个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】满足条件的两直线可能平行、相交或异面，A错误；根据垂直于同一条直线的两平面互相平行判断B；根据面面垂直的性质判断C；满足条件的两直线可能平行、相交或异面，D错误. 【详解】在空间中垂直于同一条直线的两条直线可能的位置关系：平行、相交、异面，A错误； 垂直于同一条直线的两平面互相平行，B正确； 根据面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面. C选项中缺少条件或，所以C错误； 若，，，则两条直线可能的位置关系：平行、相交、异面，D错误. 5. 已知事件A，B满足，，且A与B相互独立，记，，则（ ） A. 0 B. 0.24 C. 0.14 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 6. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【详解】选项A，横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，错误. 选项B，横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，正确. 选项C，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，错误. 选项D，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的函数为，错误. 7. 在四面体中，平面，，，，则四面体外接球的体积为（ ） A. 9π B. 12π C. D. 36π 【答案】C 【解析】 【详解】因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，所以由勾股定理可知， 故可将其补形为长宽高分别为的长方体，其外接球半径为， 故其外接球的体积为. 8. 如图，在边长为4的菱形中，，M为的中点，若N为该菱形内任意一点（含边界），则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用表示出，设，然后计算数量积即可得最大值. 【详解】易知，因为点为菱形内任意一点，所以可设， 则， 又因为，故当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 故的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若满足，则 C. 是方程的一个根 D. 若为纯虚数，则也为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的概念、乘除法运算及模长公式逐个判断即可. 【详解】对于A：，故，故A正确； 对于B：设，则，则， 则，故B错误； 对于C：对于方程，利用求根公式，可得， 是方程的一个根，故C正确； 对于D：若为纯虚数，设且，则， 则，为实数，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据5，7，8，8，9，10，13，14的众数是8 B. 若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C. 若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D. 若数据的平均数为7，，则的方差为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A，通过众数的定义求解. B，通过新数据与原数据间的数量关系求解新数据的平均数. C，分别求出新数据的平均数和方差后求解总体的方差. D，通过方差公式求解. 【详解】选项A，8出现了2次，次数最多，因此众数为8，正确； 选项B，因为，所以，正确； 选项C，新数据平均数，方差， 所以10个数据平均数为，新方差，正确； 选项D，，错误. 11. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥的侧面积为，下列结论正确的是（ ） A. 随着B点位置的改变，直线与平面所成角的大小在改变 B. 底面圆O的面积为4π C. 三棱锥体积的最大值为 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A，通过线面垂直求得线面角后求解.B，通过圆的面积公式求解.C，通过求出底面面积最大值来求得体积最大值.D，通过将两线段之和转化为两点之间距离问题求解. 【详解】因为侧面积为，设底面半径为，，所以， 解得. 对于A，因为平面，所以即为与平面所成角， ，所以恒为，故A错误； 对于B，因为，所以底面圆O的面积，故B正确； 对于C，因为，所以面积最大即可， 而当时，， 所以，故C正确； 对于D，，故为等腰直角三角形，故. 因为，所以为等边三角形. 将沿摊平为如下图， 要使最小，只需使点为与的交点即可. 如图作于点，因，则，， 故可得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式和两角和正弦公式计算得到结果； 【详解】已知，，所以 则. 13. 已知圆台的上底面半径和下底面半径分别为1，2，且该圆台的体积为14π，则该圆台的母线长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式和已知信息，求出圆台的高，再运用勾股定理即可得解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径，高为，代入圆台的体积公式， 得，解得，故该圆台的母线长. 14. 在中，，，，为的中点，点在线段上（不含端点）.若为的中点，且，则的最小值为________.当为的中点，且与交于点时，_______. 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】利用三点共线定理，得到，再运用基本不等式中的乘“1”法，即可得的最小值；将转化为与所成角，再将用基底来表示，再运用向量夹角余弦公式，即可得解. 【详解】 由题可知，. 由三点共线定理可知，若点在线段上，故存在， 使得，代入，得 已知 ，由平面向量基本定理可知，，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为； 由余弦定理可知，，代入，解得， 因为，故，即. 由图可知，即与所成角，， ， ，， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校计划依托人工智能大模型搭建答疑系统，帮助学生解决学习中遇到的问题.该校利用该人工智能大模型完成100份不同模拟试卷的作答，收集作答准确率并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并计算准确率在内的频数； （2）估计这100份试卷准确率的众数和中位数； （3）若要从这100份试卷中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取20份进行深入分析，求应从准确率在，这两组中分别抽取的试卷份数. 【答案】（1），40 （2）， （3）2份、4份 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得， 则准确率在内的频数为. 【小问2详解】 这100份试卷的众数为最高矩形区间左右端点的平均值为，所以. 中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计这100份试卷准确率的中位数为. 【小问3详解】 这100份试卷中，准确率在内的试卷数量为， 在内的试卷数量为. 若要从这100份试卷中，随机抽取20份进行深入分析，则抽样比例为，因此，应从准确率在内抽取份，从准确率在内抽取份. 故应从准确率在，这两组中分别抽取试卷2份、4份. 16. 已知向量，，，，设函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）若不等式在上有解，求m的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】(1)通过数量积定义以及图像的性质求解其表达式，并进一步求出单调递增区间. (2)将不等式转化为交点问题求解. 【小问1详解】 ， 则，，所以，. 由，，得，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 若不等式在上有解，则. 由，得， 则当时，，所以， 故的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为线段上的动点. （1）若E，F分别为线段，的中点，证明：平面. （2）若，证明：平面. 【答案】（1）取的中点，连接，. 因为E，M分别为，的中点， 所以在中，且. 又四边形为矩形，为边的中点，所以且， 则且，所以四边形为平行四边形， 从而. 又平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 又底面为矩形，所以. 又平面，平面，，所以平面. 又平面，所以. 在中，，，， 满足，变形得 ， 又 (公共角)，， ，即， 又平面，平面，，所以平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，逐步证明即可得证； （2）通过证明平面证得，再通过三角形相似，证得，即可得证. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 18. 如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D，E是边上的两个动点，，且. （1）求角A，B； （2）若，求内切圆的半径； （3）若，求面积的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理与余弦定理，即可得解； （2）由（1）可知，易得，由可知为中点，易求得，再运用等面积法，即可得解； （3）设，结合正弦定理写出关于的表达式，表示出面积后，即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理及，可得， 易知在中，，故，所以， 又，所以. 由及，可得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知.因为，所以，， 因为，所以是的中点，则， 所以. 设内切圆的半径为. 由题意可知，则. 【小问3详解】 由（1）可知，在中，. 设，，则，，. 由正弦定理可得，则， 同理，则. ，. 当时，取得最大值，故取得最小值， 则面积取得最小值. 19. 如图1，在矩形中，，，是的中点，现沿，进行翻折，使点D，C重合于点P，得到如图2所示的三棱锥. （1）求点P到平面的距离. （2）求二面角的大小. （3）点N在线段上，是否存在一个过点N且平行于和的截面，使其截三棱锥所得截面的面积为？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，当为的中点时. 设截面为，如图2所示. 因为平面，平面， 平面平面，所以. 同理，，. 由（1）可知四边形为矩形. 设，，则，， 所以，. 由得 即当为的中点时，平行于和的截面截三棱锥所得截面的面积为. 【解析】 【分析】(1)证明线面垂直后通过等体积法求解距离. (2)通过垂直关系判断出二面角并利用线段长度求解. (3)通过平行判定相似三角形来求解点存在性. 【小问1详解】 设点到平面的距离为. 由，，得，. 因为平面，平面，，所以平面. 因为，所以. 由，得，. 因为，所以， 则，则，即，解得. 【小问2详解】 如图1，取的中点，连接，. 由，，得. 由，，得. 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角. 由(1)可知平面.因为平面，所以， 则是直角三角形. 由题意可知，，则，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全市普通高中2025—2026学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 3.请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. 0 C. 1 D. i 2. 已知，是不共线的两个向量，，，若，则k的值为（） A. 6 B. C. 3 D. 3. 数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（ ） A. 79 B. 54 C. 50 D. 41 4. 已知，，是空间中三个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知事件A，B满足，，且A与B相互独立，记，，则（ ） A. 0 B. 0.24 C. 0.14 D. 0.1 6. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 7. 在四面体中，平面，，，，则四面体外接球的体积为（ ） A. 9π B. 12π C. D. 36π 8. 如图，在边长为4的菱形中，，M为的中点，若N为该菱形内任意一点（含边界），则的取值范围为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若满足，则 C. 是方程的一个根 D. 若为纯虚数，则也为纯虚数 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据5，7，8，8，9，10，13，14的众数是8 B. 若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C. 若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D. 若数据的平均数为7，，则的方差为 11. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥的侧面积为，下列结论正确的是（ ） A. 随着B点位置的改变，直线与平面所成角的大小在改变 B. 底面圆O的面积为4π C. 三棱锥体积的最大值为 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则_______. 13. 已知圆台的上底面半径和下底面半径分别为1，2，且该圆台的体积为14π，则该圆台的母线长为_________. 14. 在中，，，，为的中点，点在线段上（不含端点）.若为的中点，且，则的最小值为________.当为的中点，且与交于点时，_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校计划依托人工智能大模型搭建答疑系统，帮助学生解决学习中遇到的问题.该校利用该人工智能大模型完成100份不同模拟试卷的作答，收集作答准确率并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并计算准确率在内的频数； （2）估计这100份试卷准确率的众数和中位数； （3）若要从这100份试卷中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取20份进行深入分析，求应从准确率在，这两组中分别抽取的试卷份数. 16. 已知向量，，，，设函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）若不等式在上有解，求m的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为线段上的动点. （1）若E，F分别为线段，的中点，证明：平面. （2）若，证明：平面. 18. 如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D，E是边上的两个动点，，且. （1）求角A，B； （2）若，求内切圆的半径； （3）若，求面积的最小值. 19. 如图1，在矩形中，，，是的中点，现沿，进行翻折，使点D，C重合于点P，得到如图2所示的三棱锥. （1）求点P到平面的距离. （2）求二面角的大小. （3）点N在线段上，是否存在一个过点N且平行于和的截面，使其截三棱锥所得截面的面积为？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $