精品解析：贵州省安顺市普通高中2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题

全市2024—2025学年度第二学期普通高中质量监测考试 高一年级数学试题 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册5.5—5.7，必修第二册． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1200，1500．现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级中抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层随机抽样的概念计算求解即得. 【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1200，1500，所以高一、高二、高三年级的学生人数之比为， 所以从高三年级抽取的学生人数为． 故选：C. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出,即可得到. 【详解】, , 故虚部为， 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数，复数的虚部，属于容易题. 3. 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把代入原式，逆用两角和的正切公式即可求得答案． 【详解】 故选：B. 4. 设m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC可举出反例；D选项，利用平行关系和线面垂直得到D正确. 【详解】A选项，若，，则或相交或异面，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，若，，则与相交或或，C错误； D选项，若，，由平行和垂直关系可得，D正确 故选：D 5. 已知向量，，若⊥，则与的夹角为（ ） A. 45° B. 135° C. 30° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量垂直得到方程，求出，进而得到，，利用向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】因为⊥，所以，解得， ，， 设与的夹角为，则， 所以. 故选：A 6. 若，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ） A. 事件A与B相互独立但不互斥 B. 事件A与B互斥但不相互独立 C. 事件A与B相互独立且互斥 D. 事件A与B既不相互独立也不互斥 【答案】A 【解析】 【分析】利用相互独立事件的判断方法即，而互斥事件是不可能同时发生，从而可得到判断. 【详解】因为，所以，则， 又因为，所以，则事件A与B相互独立， 由于，则事件A与B可以同时发生，即它们不是互斥事件，故A只有正确， 故选：A 7. 如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中利用正弦定理求得的值，在中根据即可求解 【详解】由题可知，在中，，，故， 由正弦定理，得， 因为. 所以， 因为在中，. 故选：C. 8. 某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，∴，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加法法则及向量的数量积的运算，结合诱导公式即可求解. 【详解】∵，∴，进而得， 即，即 ，即． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（ ） A. 这8名女生的数学成绩的极差为14 B. 这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67 C. 为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是 D. 这20名学生的数学成绩的方差是33 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差定义判断A，根据百分位数定义即得判断B，应用方差性质及分层抽样的方差公式计算判断C，D. 【详解】12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73， 则这8名女生的数学成绩的极差为，A选项正确； 8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80，因为，则这8名女生的数学成绩的第25百分位数是，B选项正确； 12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，， 现在把这12名男生的成绩换算成150分制，则这12名男生数学成绩换算后的方差是，C选项错误； 因为这20名学生的数学成绩平均数，这20名学生的数学成绩的方差是，D选项正确； 故选：ABD. 10. 下列对函数的判断中，正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 当，时，的图象可以通过的图象向左平移个单位长度而得到 C. 当，时，若，则 D. 当，时，若当时，取到最大值，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用辅助角公式得到，得到最大值；B选项，由辅助角公式得，应该向右平移，B错误；C选项，在B基础上得到，利用余弦二倍角公式得到C错误；D选项，由辅助角公式得到，其中，，从而利用诱导公式得到. 【详解】A选项，，其中， 故的最大值为，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，当，时，， 的图象可以通过的图象向右平移个单位长度而得到，B错误； C选项，由B知，，若，则， 即，所以，C 错误； D选项，当，时，， 其中，， 若当时，取得最大值，即，， 所以，由于，即， 所以，D正确. 故选：AD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当G为棱中点时，直线平面 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 若H是棱上的动点，则的最小值为 D. 若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到平面，平面，得到面面平行，进而得到线面平行；B选项，三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径和表面积；C选项，将两平面展开到同一平面内，利用勾股定理求出最小值；D选项，作出平面MEF截正方体所得截面图形，求出周长. 【详解】A选项，取的中点，又G为棱中点，E，F分别是棱，的中点， 故，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面，A正确； B选项，显然两两垂直， 故三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球， 设外接球半径为，则， 故外接球表面积为，B错误； C选项，将正方形和矩形沿着棱展开，如图， 连接与相交于点，的最小值即为的长度， 其中，， 由勾股定理得，C正确； D选项，取的中点，的中点，的中点， 连接，可证得，六点共面， 平面MEF截正方体所得截面图形即为正六边形，边长为， 故周长为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知纯虚数z满足，则z可以是______． 【答案】（答也可以） 【解析】 【分析】利用先设纯虚数，代入求模，即可求得参数，从而得解. 【详解】设纯虚数，，， 由于，所以或， 即或， 故答案为：（也可以答） 13. 某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5，则该圆台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直角梯形来求台体的高，再利用台体体积公式即可求得圆台体积. 【详解】如图，圆台的轴截面，分别为上、下底面圆的圆心， 由圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5， 可得：， 解直角梯形可得：， 由圆台体积公式得：， 故答案为：. 14. 某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，分析可知最大温差为，由题意得，再利用基本不等式运算求解. 【详解】因为， 且的最小正周期为，即正好为一个满周期， 可知的最大值为，最小值为， 所以最大温差为， 由题意得，即 又因为为正实数， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）直接写出样本空间即可； （2）先计算出事件A，B，C发生的概率，进而得到事件A，B，C均没有发生的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 事件为，包含6个基本事件， 由（1）知，样本空间中共12个基本事件，故， 事件为，包含3个基本事件，故； 事件为，包含4个基本事件，故， 事件A，B，C均没有发生的概率为， 故事件A，B，C中至少有一个发生的概率为. 16. 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用共线向量的坐标性质化简得，再结合角A的范围即可求得结果； （2）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 ，，． ， ， ， 【小问2详解】 由（1）得， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取等号，解得， 所以 所以的周长的最大值为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，D为棱上的动点． （1）证明：． （2）当D为棱的中点时，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出⊥平面，得到⊥，结合正方形得到⊥，从而得到线面垂直，得到线线垂直； （2）取的中点，连接，由勾股定理和余弦定理，面积公式得到，，设二面角的大小为，则，进而求出正切值. 【小问1详解】 直三棱柱，，故， 即， 又⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，故四边形为正方形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 取的中点，连接，则⊥平面，， 因为平面，所以⊥，⊥， ，故， ，由勾股定理得，， 故，， 在中，由余弦定理得, 故，， 其中， 设二面角的大小为，则， 所以，. 18. “文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； （3）市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 【答案】（1），71； （2）不需要调整，理由见解析； （3）82% 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并根据平均数的定义进行求解； （2）计算出区间内的频率，和0.8比较后得到结论； （3）约有500人回答了第一个问题，这500人中约有250人回答了“是”，从而求出约有410人在第二个问题中回答了“是”，第二个问题被问到的人数也约为500，从而得到答案. 【小问1详解】 由题意得， 解得， ， 估计该市市民打分的平均数为71； 【小问2详解】 该市“创建文明城市”工作不需要调整，理由如下： 区间内的频率为 ， 所以该市“创建文明城市”工作不需要调整； 【小问3详解】 两个问题被问的概率相等，故约有500人回答了第一个问题， 由于手机尾号是奇数和偶数的概率相等，故这500人中约有250人回答了“是”， 所以约有人在第二个问题中回答了“是”， 第二个问题被问到的人数也约为500， 故估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比为=82%. 19. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）若，，求的模； （2）若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； （3）在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值． 【答案】（1）； （2）不正确，理由见解析； （3），的最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求； （2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，并求得的范围，即可得到的最小值. 【小问1详解】 因为，， 所以两边平方得， 故； 【小问2详解】 不正确，理由如下， 因为，则， 又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的. 【小问3详解】 因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以， 所以， 又因为，所以， 则， 所以 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全市2024—2025学年度第二学期普通高中质量监测考试 高一年级数学试题 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册5.5—5.7，必修第二册． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1200，1500．现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级中抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 设m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知向量，，若⊥，则与的夹角为（ ） A. 45° B. 135° C. 30° D. 60° 6. 若，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ） A. 事件A与B相互独立但不互斥 B. 事件A与B互斥但不相互独立 C. 事件A与B相互独立且互斥 D. 事件A与B既不相互独立也不互斥 7. 如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，∴，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（ ） A. 这8名女生的数学成绩的极差为14 B. 这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67 C. 为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是 D. 这20名学生的数学成绩的方差是33 10. 下列对函数的判断中，正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 当，时，的图象可以通过的图象向左平移个单位长度而得到 C. 当，时，若，则 D. 当，时，若当时，取到最大值，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当G为棱中点时，直线平面 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 若H是棱上的动点，则的最小值为 D. 若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知纯虚数z满足，则z可以是______． 13. 某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5，则该圆台的体积为______． 14. 某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 16. 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的最大值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，D为棱上的动点． （1）证明：． （2）当D为棱的中点时，求二面角的正切值． 18. “文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； （3）市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 19. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）若，，求的模； （2）若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； （3）在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $