16.3.2 完全平方公式 课件 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式及添括号法则，通过回顾多项式乘法、平方差公式搭建学习支架，引导学生从旧知自然过渡到新知，系统呈现公式推导、几何解释及应用过程。 其亮点在于融合几何直观与推理能力，借助正方形面积证明公式培养数学眼光，通过例3代数式求值等实例发展运算能力，结合“练一练”“变式训练”强化模型意识。小结归纳公式变形结论，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学流程与丰富实例，提升教学效率。

第十六章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释. 2.灵活应用完全平方公式进行计算. 难点 重点 完全平方公式的推导及应用. 灵活应用完全平方公式进行计算. 学习重难点 2 回顾旧知 1. 多项式与多项式相乘 (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 2. 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 3 新课讲授 知识点 完全平方公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 4 (1) 用多项式乘法法则证明 (a-b)2 =(a-b)(a-b) (a+b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 公式证明 5 (2) 借助几何图形证明 如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 . 它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和， 所以(a+b)2=a2+2ab+b2 b a a b a2 ab ab b2 即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 . 6 它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即 如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 . 所以(a-b)2=a2-2ab+b2. (2) 借助几何图形证明 (a-b)2 (a-b2) a-b b b a-b ab ab b2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 a2 7 完全平方公式 （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的2倍放中间” 公式特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 8 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2 (2) (x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 练一练 9 例1 运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2； (a +b)2= a2 + 2 ab + b2 (4m)2 +2•(4m) •n +n2 +8mn +n2； 例题解读 10 (a - b)2= a2 - 2 ab + b2 y2 (2) (y- )2. =y2 -y + 解： (y- )2= + ( )2 -2•y• 11 利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； 针对训练 12 (1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10 404. (2) 992. 992 = (100 –1)2 =1002-2×100×1+12 =9 801. 例2 运用完全平方公式计算： 利用完全平方公式时注意： (1)先选择公式； (2)准确代入公式； (3)化简． 总结 13 利用乘法公式计算： (1)982－101×99； (2)20252－2025×4048＋20242. ＝(2025－2024)2＝1. 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20252－2×2025×2024＋20242 针对训练 例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝36－16＝20； 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4. 熟练掌握完全平方公式的变形： 总结 16 思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么? (-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，（a-b)2=a2-b2. 17 完全平方公式 法则 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 常用 结论 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2 小结 18 (1) (6a+5b)2； (2) (4x-3y)2 ； (3) (2m-1)2 ； (4)(-2m-1)2 . 1. 运用完全平方公式计算: 随堂小测 解：原式=36a2+60ab+25b2； 解：原式=16x2-24xy+9y2； 解：原式=4m2-4m+1； 解：原式=4m2+4m+1. 19 2. 已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2 . 分析：先将m2+n2，(m-n)2变形为用m+n, mn表示的式子，然后将已知整体代入求值. 解：因为m+n=8，mn=6， 所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52， m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40. 解决此类题目应先利用乘法公式将待求值的式子进行恒等变形，然后将已知整体代入求值. 20 3. 已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 21 第十六章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 第2课时 添括号法则 学习目标 1.利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力. 2.会运用乘法公式进行整式变形. 难点 重点 掌握添括号法则. 灵活应用乘法公式进行整式变形. 学习重难点 23 回顾旧知 2. 完全平方公式 1. 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a±b)2= a2 ±2ab+b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 24 知识点 添括号法则 a+(b+c) = ; a- (b+c) = . a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 利用去括号法则去括号： 把上面两个等式的左右两边反过来，就得到添括号法则： 新课讲授 a+b+c a - b – c 探究 25 添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）. 26 例1 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. 解: (1) 原式 = [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. 第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. 总结 例题解读 27 运用乘法公式计算: (1) (a－b＋c)2 ; (2) (1－2x＋y)(1＋2x－y). 解：（1）原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc； （2）原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] ＝12－(－2x＋y)2 ＝1－4x2＋4xy－y2. 变式训练 28 添括号法则 法则 注意 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面） 课堂小结 29 随堂小测 1. 在等号右边的括号内填上适当的项： （1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） b-c b-c b+c -b-c 2. 判断下列运算是否正确． （1）2a-b-c=2a-（b-c） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c-5） × × × √ 能否用去括号法则检查添括号是否正确? 30 3. 计算：(1)(a－b－c)2； (2)(z－2x＋y)(z＋2x－y)． ＝z2－4x2＋4xy－y2. 解：(1)原式＝[(a－b)－c]2 ＝(a－b)2＋c2－2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2－2ac＋2bc； (2)原式＝[z＋(－2x＋y)][z－(－2x＋y)] ＝z2－(－2x＋y)2 $