16.3.2 第1课时 完全平方公式 课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过披萨面积比较的生活情境导入，衔接多项式乘法知识，以探究式学习支架引导学生推导公式、理解几何背景，系统呈现公式结构、口诀及易错点。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，借助图形面积验证公式培养数学眼光，通过公式推导和恒等变形发展数学思维，配套视频、例题及辨析题强化应用，帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 16.3.2 第1课时 完全平方公式 第16章 整式的乘法 16.3.2 第1课时 完全平方公式 总结与练习 一、课时核心知识点 1. 两大完全平方公式（必考核心） 完全平方和公式： $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 完全平方差公式： $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ 2. 公式统一口诀（满分记忆） 首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号跟着中间走 通俗解读： ① 首尾两项各自平方，永远为正； ② 中间项是首尾乘积的2倍； ③ 中间项符号与原式括号内符号一致。 3. 公式推导（理解必备） $$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$$ 4. 公式适用结构 完全平方公式针对两数和/差的平方： 形式：$$(首\pm尾)^2$$，首、尾可以是数字、单项式、多项式。 结果特征：两平方项恒正，中间一项两倍积。 5. 重要恒等变形（考试拔高必考） $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$ $$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$$ $$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$$ 6. 超级易错点（全班最高频扣分点） 1. 致命错误：$$(a+b)^2 e a^2+b^2$$、$$(a-b)^2 e a^2-b^2$$（漏掉中间2ab项）； 2. 平方项漏系数：$$(2a)^2=4a^2$$，不是$$2a^2$$； 3. 中间项忘记乘2：首尾乘积必须×2； 4. 符号混乱：两个平方项永远为正，只有中间项可正可负； 5. 混淆公式：平方差是一正一负两项，完全平方是两正一中间项三项。 7. 简便计算应用 凑整平方：$$101^2=(100+1)^2$$、$$99^2=(100-1)^2$$，快速口算大数平方。 二、课时同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 计算$$(x+3)^2$$的结果是（） A. $$x^2+9$$ B. $$x^2+3x+9$$ C. $$x^2+6x+9$$ D. $$x^2-6x+9$$ 2. 计算$$(2x-1)^2$$正确的是（） A. $$4x^2-1$$ B. $$4x^2-2x+1$$ C. $$4x^2-4x+1$$ D. $$2x^2-4x+1$$ 3. 下列计算正确的是（） A. $$(a+b)^2=a^2+b^2$$ B. $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ C. $$(a+b)^2=a^2+ab+b^2$$ D. $$(a-b)^2=a^2-b^2$$ 4. $$99^2$$简便计算结果是（） A. 9801 B. 9901 C. 9881 D. 10001 5. 若$$(x+m)^2=x^2-6x+9$$，则m的值为（） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 完全平方和公式：$$(a+b)^2=$$________。 7. 完全平方差公式：$$(a-b)^2=$$________。 8. $$(x-5)^2=$$________。 9. $$(3a+2b)^2=$$________。 10. 完全平方展开式中，首尾平方项符号永远为________。 三、解答题（共60分） 11.（20分）基础公式计算： （1）$$(4x-3y)^2$$    （2）$$(-a+2b)^2$$ 12.（20分）简便运算：$$102^2$$ 13.（20分）辨析说理：“$$(a+b)^2=a^2+b^2$$”，判断正误并改正说明理由。 三、参考答案及解析 一、选择题 1. C 解析：$$(x+3)^2=x^2+6x+9$$，注意中间项为2×x×3。 2. C 解析：$$(2x-1)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot1+1^2=4x^2-4x+1$$。 3. B 解析：ACD均漏掉中间项或公式结构错误，B为标准完全平方差公式。 4. A 解析：$$99^2=(100-1)^2=10000-200+1=9801$$。 5. B 解析：$$(x-3)^2=x^2-6x+9$$，对应$$m=-3$$。 二、填空题 6. $$a^2+2ab+b^2$$ 7. $$a^2-2ab+b^2$$ 8. $$x^2-10x+25$$ 9. $$9a^2+12ab+4b^2$$ 10. 正 三、解答题 11. 解： （1）原式$$=(4x)^2-2\cdot4x\cdot3y+(3y)^2=16x^2-24xy+9y^2$$ （2）原式$$=(2b-a)^2=(2b)^2-2\cdot2b\cdot a+a^2=4b^2-4ab+a^2$$ 12. 解： 原式$$=(100+2)^2=100^2+2\times100\times2+2^2=10000+400+4=10404$$ 13. 解：说法错误。 改正：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$。 理由：完全平方公式展开是三项式，两数和的平方等于两数平方和加上两数积的2倍，原式漏掉了关键的中间项$$2ab$$，是本章最典型的公式概念错误。 1. 理解完全平方公式 (a±b)2 ＝ a2±2ab＋b2.(重点) 2. 经历探索完全平方公式的过程，了解完全平方公式的几何背景. 3. 能利用完全平方公式进行简单的计算和推理．进一步培养观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想. (难点) 学习目标 明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？ 大披萨的面积：S = π·32 = 9π . 小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 你发现了什么？ (2 + 1)2 ≠ 22 + 12. 所以不应该同意. 探究点一：完全平方公式 (2) (m + 2)2＝_______________＝___________； (3) ( p－1)2 ＝_______________＝___________； (4) ( m－2)2＝_______________＝___________. 问题1：根据乘方的意义，我们知道：a2 = a · a，据此计算下列各式，你能发现什么规律？ 上面的几个运算都是形如 (a±b)2 的多项式相乘. (1) ( p + 1)2＝ ( p + 1)(p + 1)＝ p2 + 2p + 1； (m + 2)(m + 2) m2 + 4m + 4 ( p - 1)( p - 1 ) p2 - 2p + 1 (m - 2)( m - 2) m2 - 4m + 4 问题2：那么 (a±b)2 应该写成什么样的形式呢？(a±b)2的运算结果有什么规律？ 根据乘方的意义和多项式乘多项式的法则可得： (a－b)2 ＝(a－b)(a－b) ＝a2－ab－ab＋b2 ＝a2－2ab＋b2. (a＋b)2 ＝(a＋b)(a＋b) ＝a2＋ab＋ab＋b2 ＝a2＋2ab＋b2， 探究点一：完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的 2 倍. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 完全平方公式： 探究点一：完全平方公式 思考：你能根据图(1) 和图(2) 中图形的面积说明完全平方公式吗？ b a a b 图(1) ① ④ ② ③ b a a b 图(2) ① ② ④ ③ 探究点一：完全平方公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. b a a b 图(1) ① ④ ② ③ 方法一 大正方形的边长为 a＋b，面积就是(a＋b)2. 方法二 ①②③④ 四个部分，它们的面积分别为 a2，ab，ab，b2 整个面积为 a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2. 分析：如何用不同的方法表示大正方形的面积？ 探究点一：完全平方公式 方法一 图 ② 中正方形 ① 的边长为 a－b，面积为 (a－b)2. b a a b 图(2) ① ② ④ ③ 分析：如何用不同的方法表示正方形①的面积？ 方法二 把正方形 ① 的面积看成大正方形的面积 a2 减去右边和上边两个长为 a ，宽为 b 的长方形面积之和，即 2ab ，此时重复减了 ④ 的面积，即 b2 ，应将其补上，也就是 a2－2ab＋b2. (a－b)2 ＝a2－2ab＋b2. 探究点一：完全平方公式 积的次数和项数 相同的项 不同的项 和的完全平方公式 差的完全平方公式 问题3：观察这两个公式，回答下列问题. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. 二次三项式 二次三项式 a2，b2 a2，b2 +2ab -2ab 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式还可以表示多项式吗？ 探究点一：完全平方公式 点击视频观看 探究点一：完全平方公式 例1 运用完全平方公式计算： 解：(4m + n)2 = = 16m2 (1) (4m + n)2； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (4m)2 + 2×(4m) · n + n2 + 8mn + n2. (2) . 探究点二：运用完全平方公式进行计算 (2) . 解： = y2 - 2 · y · + ( )2 = y2 - y + 【练一练】1.利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2. (3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2. (2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. (1) 1022； 解：(1) 1022 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. (2) 992. (2) 992 = (100 – 1)2 = 10000 - 200 + 1 = 9801. 例2 运用完全平方公式计算： 方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 【练一练】2.利用乘法公式计算： (1) 982－101×99； (2) 20252－2025×4048＋20242. ＝(2025－2024)2＝1. 解：(1) 原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1＝－395. (2) 原式＝20252－2×2025×2024＋20242 例3 已知 x－y＝6，xy＝－8. 求： (1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值. ＝36－16＝20. 解：(1) ∵ x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy (2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4. 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x＋y)2－2xy， (x－y)2＝(x＋y)2－4xy. 思考：① (a＋b)² 与 (－a－b)² 相等吗? ② (a－b)² 与 (b－а)² 相等吗? ③ (a－b)² 与 a²－b² 相等吗？为什么? ③ (a－b)² 与 a²－b² 不一定相等. 只有当 b＝0 或 a＝b 时，(a－b)²＝a²－b². 解：① (－a－b)²＝(－a)²－2·(－a)·b＋b² ＝a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²， 所以 (a＋b)² 与 (－a－b)² 相等. ② (b－а)²＝b²－2ba＋a²＝a²－2ab＋b²＝(a－b)²， 所以 (a－b)² 与 (b－а)² 相等. 1. 给出下列算式： ； ； ； .其中错误的 有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 中考考法 20 2. 如果,则 的值是( ) A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 【点拨】 , , , . D 返回 中考考法 3. 如图，可验证的乘法公式是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 22 4.若，则 的值为____. 5.若，则代数式 为______. 6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式 的值是___. 8 返回 中考考法 23 完全平方公式 两个数的_________的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的_____. 字母表示：(a±b)2 = a2±2ab＋b2 和 (或差) 2 倍 课堂小结 $