河北NT20名校联合体2025-2026学年高一下学期7月期末巩固训练数学试题

7月高一期末巩固训练 数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部为 A．1 B．-1 C．i D．-i 2．已知向量，，且，则等于 A．-2 B． C． D．2 3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是 A．无解 B．一解 C．两解 D．无法确定 5．某校为了解高一学生的月阅读时间（单位：小时），得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为0.1，在内的频率为0.2，在内的频率为0.4，在内的频率为0.2，在内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为 A．200 B．300 C．400 D．500 6．一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，若连续抛掷两次，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 A． B． C． D． 7．在中，，，若点满足，则的最小值为 A． B． C． D． 8．在边长为1的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，，则下列结论正确的是 A．为纯虚数 B． C． D．若是实系数方程的一个根，则另一个根为 10．某同学进行了5次掷骰子（点数1~6）试验，得到一组整数数据，关于这组数据的统计量，有四个说法： ①若平均数为3，则方差可能为2.4； ②若中位数为2，则众数可能为3； ③若平均数为4，则极差可能为2； ④若中位数为3，则方差可能为2.8． 其中正确的说法是 A．① B．② C．③ D．④ 11．如图，在矩形中，，，点在边上，且，将沿翻折至，使得平面平面．设点在平面内的投影为，连接，，则下列结论正确的是 A．点在直线上 B．直线与直线所成角的余弦值大于 C．线段的长度为 D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示） 13．已知复数满足，且，则复数在复平面内对应的点的坐标为________． 14．在平面直角坐标系中，已知点，，，点是内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知两个不共线的向量，，设，，． （1）若，求实数，的值； （2）设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 16．（本小题满分15分） 某校高一年级共有学生600人，其中男生360人，女生240人，为了解学生周末体育锻炼时间（单位：小时），学校采用分层随机抽样的方法，按性别比例分配样本，抽取了一个容量为50的样本，男生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.5小时，方差为1.2，女生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.0小时，方差为0.8，另外，在该样本中，将体育锻炼时间达到3小时及以上定义为“运动达标”．统计发现，男生样本中有6人运动达标，女生样本中有4人运动达标． （1）求样本中男生和女生各有多少人，并计算样本中所有学生体育锻炼时间的平均值和方差； （2）用样本中男、女生的运动达标率分别估计全校男、女生的运动达标率，现从全校高一年级中随机抽取2名学生（假设每次抽取相互独立，且性别比例与全校一致），若运动达标率与性别相互独立，求这2名学生中至少有1名女生且恰有1人运动达标的概率． 17．（本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 18．（本小题满分17分） 一个盒子里装有3个完全相同的球，分别标有数字1、2、3，现进行两次独立试验：每次从盒中随机摸出一个球，记录数字后放回．设第一次摸出的数字为，第二次摸出的数字为．定义事件：是奇数为事件，是质数（注：1不是质数，2和3是质数）为事件，是偶数为事件． （1）求，，； （2）判断事件与是否相互独立，并说明理由； （3）求事件“与至少有一个发生，且发生”的概率． 19．（本小题满分17分） 在凸四边形中，对角线平分，，，，． （1）证明：； （2）求； （3）求； （4）点为的中点，线段的垂直平分线交于点，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7月高一期末巩固训练 数学参考答案 1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．BCD 10．ACD 11．AD 12． 13． 14．． 15．解：（1）因为，所以． 2分 因为，不共线，所以由平面向量基本定理得 4分 解得 6分 （2）因为，，三点共线，且，，，所以存在实数使得． 8分 又，且，不共线， 10分 所以， 根据向量表示的唯一性，得，解得， 故实数的值为． 13分 16．解：（1）样本中男生有（人），女生有（人） 2分 样本平均值（小时）． 4分 样本方差． 6分 （2）由题意知，男生运动达标率，女生运动达标率．全校学生中，男生比例为0.6，女生比例为0.4． 9分 记事件为“抽取的2名学生中至少有1名女生”，则． 11分 记事件为“抽取的2名学生中恰有1人运动达标”，由于男女生达标率均为0.2， 则． 13分 由于达标率与性别相互独立，故所求概率， 故这2名学生中至少有1名女生且恰有1人运动达标的概率为0.2048． 15分 17．（1）证明：因为点，分别为，的中点，所以在中，． 因为平面，平面，所以平面． 2分 在矩形中，为中心，则为的中点． 因为为的中点，所以在中，． 因为平面，平面，所以平面． 4分 又因为，，平面，所以平面平面． 6分 （2）解：如图，连接，过点作于点．因为底面，点在线段上，所以底面． 8分 在底面内过点作于点，连接． 因为，，，所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即． 10分 设，，则． 因为，所以． 在矩形中，，，则，，点到的距离． 因为，，当时，点在线段上． 由相似三角形可得，． 12分 在中，． 由得，解得． 13分 若，则点落在线段上，二面角为钝角，与矛盾． 故，即的值为． 15分 18．解：（1）记摸出的数字为，样本空间，样本点总数． 事件的结果与第二次抽中的结果无关，而三个数中有两个奇数，故． 事件的结果与第一次抽中的结果无关，而三个数中有两个质数，故． 4分 事件发生即，奇偶性相同： 当，均为奇数时，，共4个； 当，均为偶数时，，共1个． 所以事件包含5个样本点，故． 6分 （2）事件与相互独立． 7分 理由如下：事件表示“第一次摸出奇数且第二次摸出质数”，包含的样本点为，，，，共4个，所以． 9分 因为，所以， 故事件与相互独立． 11分 （3）“事件与至少有一个发生”记为事件． 由题意知其对立事件，即“不是奇数且不是质数”， 即，，对应样本点为， 可知包含除之外的所有8个样本点． 13分 又事件， 观察可知，事件中的所有样本点均属于， 所以， 15分 故． 17分 19．（1）证明：在中，因为，设，． 由三角函数定义得． 在中，由于平分，故． 由正弦定理，得， 2分 整理得， 即． 4分 （2）解：在中，由内角和定理得． 则． 由题意，代入得， 整理得． 将代入上式得，， 6分 整理得． 由于，上式变为，提取公因式得． 因为，故，即． 由于四边形为凸四边形，则，故． 8分 （3）解：由（1）知，则． 由得，， 所以． 10分 在中，由余弦定理， 解得． 因为，故． 13分 （4）解：以为原点，射线为轴正方向建立如图平面直角坐标系，则点坐标为，点坐标为． 14分 因为点为的中点，则点坐标为． 设点坐标为． 因为在的垂直平分线上，则， 即，解得， 15分 故． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $