精品解析：河北石家庄市辛集市2025-2026学年第二学期期末教学质量监测高一数学试题

辛集市2025-2026学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1考试时间120分钟，另附加卷面分5分. 2答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应的位置. 3全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上的无效. 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 设复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 3. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（ ） A. 该题被攻克的概率为 B. 该题未被攻克的概率为 C. 该题至少被一人攻克的概率为 D. 该题至多被一人攻克的概率为 5. 某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ） A. 图中一组的频率为0.015 B. 估计样本数据的众数 C. 估计样本数据的分位数为88.75 D. 由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7000人 6. 柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 8. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题6分，共18分.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，则下列关于复数z的结论正确的是（　 　） A. B. 复数z的共轭复数为＝﹣1﹣i C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限 D. 复数z是方程x2+2x+3＝0的一个根 10. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ） A. B. 平面． C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角为 11. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 三､填空题（每小题5分，共计15分） 12. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球，3个黄球，从中随机抽取2个球，则取出的2个球中至少有1个白球的概率是___________. 13. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________. 14. 直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 四､解答题（本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）已知的面积为，求的周长． 17. 甲､乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲､乙每局比赛的结果互不影响. （1）求三局比赛结束的概率； （2）求四局比赛结束且甲获胜的概率； （3）若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率. 18. 长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面平面. （2）求三棱锥的表面积. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辛集市2025-2026学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1考试时间120分钟，另附加卷面分5分. 2答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应的位置. 3全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上的无效. 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 设复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算得到复数，再求得模长得解 【详解】, 故选：D 【点睛】本题考查复数的除法运算及模长，属于基础题. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】计算的坐标，再利用计算得出，再利用求模公式计算. 【详解】由题意得，， 因，则，得， 则，则. 故选：B 3. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 4. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（ ） A. 该题被攻克的概率为 B. 该题未被攻克的概率为 C. 该题至少被一人攻克的概率为 D. 该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，结合选项，即可求解. 【详解】A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误； B.该题未被攻克的概率为，故B错误； C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确. 故选：D 5. 某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ） A. 图中一组的频率为0.015 B. 估计样本数据的众数 C. 估计样本数据的分位数为88.75 D. 由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7000人 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图及众数、分位数的求法依次判断各项的正误. 【详解】由图知，可得，故一组的频率为，A错； 由，， 所以众数为，B错； 由上分位数位于，设为，则， 所以，C对； 由题设，80分以上的占比有，所以人，D错. 故选：C 6. 柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果. 【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设， 根据其对称性可知，过点， 又该八面体为正八面体，则面，又面，故； 显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，， 则，在直角三角形中，； 由可得，则； 故该八面体的表面积. 故选：D. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得，而， 得到，在中，，， 由余弦定理得，解得，故B正确. 故选：B. 8. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求. 【详解】取、的中点、，连接、、， 则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则， ，得，， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：A. 二､多选题（每小题6分，共18分.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，则下列关于复数z的结论正确的是（　 　） A. B. 复数z的共轭复数为＝﹣1﹣i C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限 D. 复数z是方程x2+2x+3＝0的一个根 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】由，得． ；， 复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限； ，复数不是方程的一个根． 故选：ABC． 10. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ） A. B. 平面． C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用勾股定理得到，再由平面，得到，结合线面垂直判定定理，证得平面，即可判定A正确；由，得到，结合，即可证得平面，可判定B正确；把异面直线与所成角转化为与所成角，在直角，可判定C不正确；根据线面角的定义，得到为与平面所成角，在直角中可判定D不正确. 【详解】根据题意，设，则， 对于A中，由余弦定理可得， 所以，所以， 因为平面，且平面，可得， 又由且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以A正确； 对于B中，由，因为，可得， 又由平面，且平面，可得， 又由且平面，所以平面，所以B正确； 对于C中，由底面为平行四边形，可得， 所以异面直线与所成角，即为与所成角，设， 在直角，可得，所以. 所以C不正确； 对于D中，因为底面，所以为与平面所成角， 可得，所以， 即直线与平面所成角为，所以D不正确. 故选：AB. 11. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则，又，所以， 解得，又，故，故A错误； 对于B，因为，外接圆的半径为2， 所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 三､填空题（每小题5分，共计15分） 12. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球，3个黄球，从中随机抽取2个球，则取出的2个球中至少有1个白球的概率是___________. 【答案】##0.7 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式即得. 【详解】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球，3个黄球，设2个白球，3个黄球为，从中随机抽取2个球， 基本事件为共有10种， 其中取出的2个球中至少有1个白球的事件有7种， 故取出的2个球中至少有1个白球的概率为. 故答案为：. 13. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据线面角的定义，可得圆锥的母线与底面半径的等量关系，利用扇形面积公式以及圆的面积公式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 在圆锥中，易知，且为母线与底面所成的角， 由母线与底面所成的角的余弦值为，则， 在中，，可得，则， 圆锥的体积，解得，则， 圆的周长为，则圆锥侧面展开图的面积， 圆锥底面面积，所以圆锥的表面积. 故答案为：. 14. 直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【小问1详解】 由整理得，又， 代入得，解得， 则； 【小问2详解】 因为， 又， 所以. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）已知的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，整理化简等式，根据和角公式，可得答案； （2）由余弦定理得：，由三角形面积公式得，从而得解. 【小问1详解】 由正弦定理得：． ， 由得， 又因为，解得； 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理得：①． 又因为② 联立①②得：， 的周长． 17. 甲､乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲､乙每局比赛的结果互不影响. （1）求三局比赛结束的概率； （2）求四局比赛结束且甲获胜的概率； （3）若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算得解. （2）利用相互独立事件的概率公式计算得解. （3）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算得解. 【小问1详解】 比赛三局，甲获胜的概率；乙获胜的概率， 所以三局比赛结束的概率为. 【小问2详解】 四局比赛结束且甲获胜，则前3局甲输1局，第4局胜，其概率为. 【小问3详解】 第一局甲获胜，最终乙赢得比赛的事件为，乙连赢3局的概率为， 第2，3，4局乙输1局，第5局赢的概率为， 所以. 18. 长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据各个小长方形的面积之和即频率之和为1，列式计算即可求出值； （2）根据频率分布直方图求平均数的公式计算即可； （3）先根据分层抽样的特点计算出评分在，内应抽取的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能结果，再根据古典概型的计算公式计算即可. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 ， 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为分； 【小问3详解】 评分在的人数为人， 评分在的人数为人， 按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在中抽取人，分别为表示； 从评分在中抽取人，分别用表示， 则从这6人中随机抽取2人的所有结果为 共15种. 则恰有1人评分在内，另1人在内的所有结果为 共8种， 所以选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率为. 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面平面. （2）求三棱锥的表面积. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）的性质，结合直角三角形面积公式求出表面积. （3）求出点到平面的距离。再利用公式法求出线面角的正弦. 【小问1详解】 在三棱锥中，由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）得，而， 则， 所以三棱锥的表面积. 【小问3详解】 由平面，得点到平面的距离为， 由为棱的中点，得点到平面的距离， 由（2）知，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $