湖北黄冈市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2026年春季高一年级期末供题 数学试题答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C2.B3.D4.B5.D6.B7.A8.D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 3V21-9189-9 12.5 13.3 14. 2(或2) 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 三-（1-ai)3-4i)_(3-4a）-(4+3a)i 15.【解析】(1)3(3+41)3-41 25 ,3分 …22 4）-0 -(4+30+0 1是纯虚数， 25 125 5分 (2)依题意，（1-i-p(1-ai)+3=0.(4-a2-p)+a(p-2)i=0 即(4-a2-p)=0且a(p-2)=0,10分 [a=0a=±2 即p=4或D=2 .13分 注：掉一组解扣2分， 16.【详解】(1)因为各组频率之和为1，组距为10， 所以10×(0.01+0.025+a+0.02+0.01)=1 解得a=0.035.4分 (2)因为10×(0.01+0.025)=0.35<0.5,10×(0.01+0.025+0.035)=0.7>0.5 所以中位数位于第三组[75,85)中， 设中位数为x,则0.1+0.25+0.035(x-75)=0.5 =75+ 0.15 ≈79.3 解得 0.035 ,所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3.10分 (3)由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.1+0.25+0.35=0.7， 故估计在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为10×0.7=7次.15分 17.解析：(1)由AB·AC=ac+BA·BC得cbcosA=aC+cacosB, 两边同时约去c,并由正弦定理得：sin BcosA=sinA+sin Acos B, 所以sin Bcos--sin 4cosB=sinA,即sin(B-A=sinA.4分 在△ABC中，因为A,C为内角，所以B-A=A,或B-A=元-A. 若B-A=元-A,则B=兀（舍去）. 故B-A=A,即B=2A.证毕.7分 b=asin B=asin24-2ac0s4=4c0A (2)由(1)知B=2A,由正弦定理得，sin A sinA ,8分 又d=asin B=2sin2A,9分 b+4d=16cos4+8sin24=8+8(cos24+sin 24)=8+8/sin24+ 所以 4 .11分 由三角形内角A,B,C均为正数，即A>0,B=2A>0,C=元-3A>0,解得 2A+T∈T1lr） 所以， +4(4’12)13分 2A+ π=A=刀 故当 42即”8时b2+4d取最大值8+8√2.15分 18.解析：(1) 2x-π 0 3 π-2 2π 5π 2π 11π 6 12 12 7 y 1 3 1 -1 3分 图象如右： B=(131.3 3n/2 om)3 5分（注：点位置标错扣2分） (2)由 a-2m2引2引月 +2hm<2x-<5弧+2km(k∈Z）不+hm<x< 可得6 36 ，解得4 π+km(k∈Z 12 商W小2e任沿kjG-Z (3)当∈(0，时，3 <2x-<5n 33 因为，名∈(0，)，3 )-,2}m2 =π 5π 24-3+2x3,所以 x+x2= 6,13分 因为<七，所以 2na引-9 15分 n6-m怎-2-m任别fx引4 17分 19.【解析】(1)由PA=4,AB=8,PB=4V5,可知PA+AB2=PB2, 故PA⊥AB: 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PAC平面PAB, 故PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,故PA⊥BC, 又AC⊥BC,AC∩PA=A,AC,PAc平面PAC, 故BC⊥平面PAC,BCC平面PBC, 故平面PBC⊥平面PAC;4分 (2)由(I)知PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 故PA⊥AB,而AC⊥BC,底面ABCD是平行四边形， AC=4,AB=8,AD=BC=V82-42=43 ×4×8=16 2 设点D到平面PAB的距离为d, 'a-pa=p4am=24AcD】 -p4c0-g4445- 得3 23 3, 解得d=25,7分 sin0=d 设直线PD与平面PAB所成角为B,则PD,而PD=VPA+AD2=8, ∴.sin0= 255 8 4.10分 (3)作AM⊥PC于M,作MN1PB于N,连接AN, D 由于平面PBC⊥平面PAC,平面PBC∩平面PAC=PC, AMC平面PAC,故AM⊥平面PBC,PBc平面PBC, 故AM⊥PB,而MN⊥PB,MN∩AM=M,MN,AMc平面AMN, 故PB⊥平面AMN,则∠ANM即为二面角A-PB-C的平面角：12分 设AC=x,2≤AC≤4，则2≤x≤4， PC=P+AC=6+x, 由rSse=PMx4c-PCA81 AM=- 4x ,可得 V16+x213分 △PHB= =PAXAB=。PB×AWAW=A5=4X8_8V5 又 2 ,则PB 45 5,14分 故在Rt△AMN中， sina= AM4x5_V51 aN16+x×8=2X6 设∠AWM=a, .15分 1s16 1 由于2≤x≤4. ，故2 5sinasv 4. 1V10 即二面角A-PB-C的正弦值的取值范围为2’4了. 17分 2026年春季高一年级期末考试 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的虚部为 A．i B． C．1 D．2 2．下列关于平面向量的描述正确的是 A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 3．某班级10名学生的数学测验成绩（单位：分）为：72，78，80，90，75，82，95，85，88，92，则这组数据的分位数是 A．85 B．86.5 C．88 D．89 4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为 A．12 B． C．6 D． 5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 6．已知，则 A． B． C． D． 7．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2 m的筒车按逆时针方向每40 s转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则 A． B． C． D． 8．如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数据，，，（且）的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，，，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则 A． B． C． D． 10．如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则正确的有 A．该多面体有14个面 B．该多面体有24条棱 C．该正方体的棱长为2 D．该多面体表面积为 11．点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是 A．若，则点O是的外心 B．若，则点O为的垂心 C．若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的最大值为________． 13．如果向量，满足，，，则与的夹角是________． 14．如图所示，三个半径为r的小球装入半径为的半球中，三个小球两两相切并与半球内切，小球与半球底面相切，则小球半径________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，（，i是虚数单位）． （1）若是纯虚数，求； （2）若是实系数一元二次方程的根，求实数a和p的值． 16．（15分）某软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，一用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”．该软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计后，将数据分成了，，，，（单位：s）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示： （1）求图中a的值； （2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85 s的次数． 17．（15分）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，． （1）求证：； （2）若d为的边上的高，求的最大值及相应的A的值． 18．（17分）已知函数． （1）用五点作图法作出函数在上的简图； （2）求的解集； （3）关于x的方程在区间上有两个解，且，求． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，． （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $