精品解析：贵州毕节市2025-2026学年高二下学期期末质量检测数学试卷

2026年高二年级期末质量检测 数学 注意事项： 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. R B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 8 4. 若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（ ） A. R B. C. D. 5. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，体积为28，则它的侧棱长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 6. 已知是第二象限角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 学校文艺晚会共9个节目，第1个和第9个已固定为曲艺节目，第5个已固定为小品节目．需在其余位置安排3个不同音乐节目和3个不同舞蹈节目，且同类节目不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 72 D. 144 8. 已知定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度（均在之间，单位：）并整理如下表： 纤维长度区间 频数 8 12 19 30 24 7 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 这100根棉花的纤维长度的众数的估计值为235 B. 这100根棉花中纤维长度不足205的棉花占比超过 C. 这100根棉花的纤维长度的第一四分位数落在区间内 D. 这100根棉花的纤维长度的平均数的估计值大于265 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间单调递增 D. 若，且，则的最小值为 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆与l相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，，则__． 13. 已知函数，若有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________． 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和． 16. 一个车间有3台自动化设备，其中A型号1台，B型号2台．A型设备发生故障的概率为，每台B型设备发生故障的概率为，它们各自独立工作，设在一段时间内发生故障的设备台数为X． （1）求该段时间内恰有2台设备发生故障的概率； （2）求该段时间内发生故障设备台数X的分布列及数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，，，E为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点的切线方程； （2）求证：当时，． 19. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记点M的轨迹为曲线C．过点且斜率为k的直线l与曲线C交于不同的两点A，B． （1）求曲线C的标准方程； （2）求弦长关于k的表达式，并写出k的取值范围； （3）记的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最大值，并求此时直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二年级期末质量检测 数学 注意事项： 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. R B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题，，则 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法直接计算即可. 【详解】由题，，对应点为，在第一象限. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，所以，解得. 故选：D 4. 若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（ ） A. R B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 5. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，体积为28，则它的侧棱长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由棱台体积公式求出棱台的高，再利用正四棱台的结构特征求出侧棱长. 【详解】在正四棱台中，作于，则即为棱台的高， 由棱台的体积为28，得，解得， 在等腰梯形中，， 所以该正四棱台的侧棱长为. 6. 已知是第二象限角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为第二象限角，因此， 故， ， 则. 7. 学校文艺晚会共9个节目，第1个和第9个已固定为曲艺节目，第5个已固定为小品节目．需在其余位置安排3个不同音乐节目和3个不同舞蹈节目，且同类节目不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 72 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列要求，分析排列不同情况，进而确定不同部分的排列数，即可求解. 【详解】9 个节目中，位置 1、9 固定为曲艺，位置 5 固定为小品，剩余需安排节目的空位为位置 2、3、4 、6、7、8， 需要安排3 个不同的音乐节目和3 个不同的舞蹈节目，要求同类节目不相邻， 由于两段中间被小品（位置 5）隔开，因此仅需保证每段内部同类不相邻即可， 对于 3 个连续位置，要满足同类节目不相邻，只能是如下两种情况， 情况一：2 个音乐 + 1 个舞蹈， 情况二：2 个舞蹈 + 1 个音乐， 结合总节目数（3 音乐 + 3 舞蹈），左右两段的类型组合仅有两种可行情况， 情况一：位置5的左侧为2 音 1 舞（音 - 舞 - 音），位置5的右侧为1 音 2 舞（舞 - 音 - 舞）， 情况二：位置5的左侧为1 音 2 舞（舞 - 音 - 舞），位置5的右侧为2 音 1 舞（音 - 舞 - 音）， 第 1 种组合，音乐节目共 3 个，对应 3 个不同的位置（位置 2、4、7），不同节目排列个数为种， 舞蹈节目共 3 个，对应 3 个不同的位置（位置 3、6、8），不同节目排列个数为种， 因此第 1 种组合的排法总数种， 第 2 种组合（左舞 - 音 - 舞、右音 - 舞 - 音）与第 1 种对称，排法同样为 36 种， 故一共有种. 8. 已知定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得在R上单调递增，然后利用基本不等式，换底公式，可完成大小比较. 【详解】因定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，则在R上单调递增. ， 注意到，又由基本不等式可得， 则，从而； ，从而. 则，得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度（均在之间，单位：）并整理如下表： 纤维长度区间 频数 8 12 19 30 24 7 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 这100根棉花的纤维长度的众数的估计值为235 B. 这100根棉花中纤维长度不足205的棉花占比超过 C. 这100根棉花的纤维长度的第一四分位数落在区间内 D. 这100根棉花的纤维长度的平均数的估计值大于265 【答案】ABC 【解析】 【详解】A选项，众数的估计值为频率最高区间的中点，频率最高的区间是[205，265)，中点为，A正确； B选项，纤维长度不足205的频数为8+12+19=39，占比为，B正确； C选项 第一四分位数（25%分位数）的位置为， 累计频数： [25，85)：8 ， [85，145)：8+12=20 ，[145，205)：20+19=39 ， 25落在累计频数20到39之间，故第一四分位数在[145，205)内，C正确； D选项，平均数的估计值为各组中点与对应频率的乘积的和： 即 ，D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间单调递增 D. 若，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换，化简函数表达式，根据正弦型函数参数的几何意义，即可判断选项正误. 【详解】根据三角恒等变换，， 对于Ａ：因为，故函数的最小正周期为π，故A选项正确， 对于Ｂ：函数的对称轴所对应的的值应满足，， 即，当时，，故B选项错误， 对于Ｃ：当，时，函数单调递增， 即时，函数单调递增， 故时，，则C选项正确， 对于Ｄ：当函数值为1时，， 因此应有或，， 即或， 故的最小值为，则D选项正确. 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确；    选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，，则__． 【答案】 【解析】 【详解】由，得． 13. 已知函数，若有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为的图象与直线有三个不同的交点，画出图象，结合图象求解即可. 【详解】如图所示分段函数图象，若有三个不相等的实数根，则函数与函数的图象有三个交点， 因为，所以. 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量表示出对应线段长度，即可求解最值. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方形的边长为且两平面垂直，则各顶点的坐标为， ，，，，，， 因此，，该方向上的单位向量为， 由题意得，点坐标为， 同理，，该方向上的单位向量为， 故点坐标为， 则， 故当时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意设公差为，根据等比数列的性质得到方程，求出，即可得解； （2）对于“等差数列等比数列”型数列，运用错位相减法，即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，，，成等比数列，， 即，解得或（舍去）， . 【小问2详解】 ， ① ② ②①得， 得. 16. 一个车间有3台自动化设备，其中A型号1台，B型号2台．A型设备发生故障的概率为，每台B型设备发生故障的概率为，它们各自独立工作，设在一段时间内发生故障的设备台数为X． （1）求该段时间内恰有2台设备发生故障的概率； （2）求该段时间内发生故障设备台数X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）恰有2台设备发生故障，包含A型设备发生故障1台，B型设备发生故障1台和A型设备发生故障0台，B型设备发生故障2台，分别求概率，然后求和. （2）由题得X的可能取值有0，1，2，3，求出对应的概率，从而得分布列，进而计算数学期望． 【小问1详解】 A型设备发生故障1台，B型设备发生故障1台的概率为， ； A型设备发生故障0台，B型设备发生故障2台的概率为， . 所以该段时间内恰有2台设备发生故障的概率为， . 【小问2详解】 X的可能取值有0，1，2，3. ； ； ； . 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，，，E为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）连接，在中， 由余弦定理得 ， . 又，. 由侧棱底面，底面， . 又平面，平面 平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而证得； （2）建立空间直角坐标系，由面面角的向量求法求得平面与平面的夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立空间直角坐标系如图所示，则 ，，，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得平面的一个法向量为. 又底面，平面，所以平面平面. 因为平面平面，平面， 所以平面. 所以平面的一个法向量为 平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点的切线方程； （2）求证：当时，． 【答案】（1） （2） 当时，，， 令，， ，易知在单调递增， ，， 存在唯一，使得， 即，， 且时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，取得最小值， 最小值为， 恒成立，即. 【解析】 【分析】（1）利用切点函数值、导数求切线斜率，代入点斜式直接整理切线方程； （2）先放缩锁定临界参数构造新函数，通过隐零点代换消去指数与对数，化简最小值表达式证明恒正. 【小问1详解】 当时，， ，切点为 又， 由整理得 曲线在点的切线方程为 【小问2详解】 略 19. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记点M的轨迹为曲线C．过点且斜率为k的直线l与曲线C交于不同的两点A，B． （1）求曲线C的标准方程； （2）求弦长关于k的表达式，并写出k的取值范围； （3）记的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）,或 （3）的最大值为，此时直线l的方程为： 【解析】 【分析】（1）利用圆锥曲线第二定义列式，平方化简直接得到椭圆标准方程； （2）直线与椭圆联立后用判别式锁定斜率范围，结合韦达定理和弦长公式批量计算弦长表达式； （3）面积拆为弦长×点线距离，换元后用基本不等式求最值，验证等号可取条件得到最终直线方程. 【小问1详解】 由题意有，化简整理即得曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 设直线l的方程为：，，， 联立化简整理得， 由，解得或， ，， ， ，或； 【小问3详解】 设原点O到直线l的距离为d，则， ， 当且仅当即时，等号成立， 的最大值为，此时直线l的方程为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $