精品解析：贵州遵义市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试卷

遵义市2026年高二年级卷库试卷二 数学 （满分：150分时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．选择题答题时，须用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，所以. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】，. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为的展开式为， 令，即，则. 所以. 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可知，即， 因为，所以，所以. 6. 在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象及其性质，即可得出，，进而根据，即可求出的值，即可得出答案. 【详解】 因为是的中点，所以，. 又因为是的中点， 所以，， 又，所以，，所以． 故选：A． 7. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断数列的周期性，结合周期性求解即可. 【详解】，， ，， 则数列是周期为4的数列， 所以. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的数量关系得到平行，结合题意即可得到，设点坐标，由向量的关系得到点坐标，由向量垂直建立等量关系，结合点在双曲线上，整理等式.联立两点在双曲线上的方程，解得点横坐标，然后代入前面等式，通过整理化简即可得到关于离心率的方程，解得离心率. 【详解】因为，所以，又因为， 所以， 设，则， 所以，即， 所以， 所以， 即, 因为在曲线上，所以，即， 所以，又因为， 所以 因为在曲线上，所以， 即，则，所以， 代入上式得， 即， 所以， 即， 所以， 即， 所以， 所以， 因为离心率，所以，所以， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 随机变量服从二项分布 C. 若随机变量，满足，则 D. 若随机变量，满足，则 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意可知，B选项正确； ，A选项错误； 因为，即，所以，C选项错误； ，D选项正确. 10. 已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. C. 的面积为 D. 上的点到的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先用相关点法设中点坐标反推圆上动点坐标，代入圆方程求得椭圆曲线；联立直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长公式判断弦长，再用点到直线距离结合弦长求三角形面积；利用椭圆参数方程结合辅助角公式求出曲线上点到直线距离最大值，逐一判定选项． 【详解】对于A，设，由题意，是中点，故， 因为在圆上，所以，化简得，A正确； 对于B，联立，整理得， ， 设，由韦达定理得，， 所以 ，B错误； 对于C，原点到直线：的距离， ，C正确； 对于D，椭圆的参数方程为，， 点到直线距离公式， ，其中， 最大值出现在时， ，D正确． 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，下列说法中正确的是（ ） A. 是的周期 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的对称性、奇偶性、周期性及单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由，得，且关于直线对称. 又为奇函数，所以，所以， 则，所以，故是的周期，A正确. 对于B，，B正确. 对于C，当时，，则可化为， 即，解得. 当时，，， 此时，即无解. 当时，，， 此时解集为. 因为关于直线对称，所以当时，无解集. 所以在一个周期内的解集为. 故的解集为，C错误. 对于D，当时，，则， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则在处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【详解】，所以. 又，所以切线方程为. 13. 如图，给图中的A，B，C，D，E五个区域涂色，要求相邻区域涂不同的颜色．现有4种不同的颜色供选择，则有________种不同的涂色方案．（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【详解】分步完成，首先涂区域，共有4种涂法，第二步涂区域，共有3种涂法， 第三步涂区域，共有2种涂法， 对于区域和区域，分类讨论， 若区域与区域颜色相同，则区域有1种涂法，区域有2种涂法， 若区域与区域颜色不同，则区域有1种涂法，区域有1种涂法， 所以共有种涂法. 14. 现有一块棱长为的正四面体金属材料，将其打磨成若干个球形弹珠用于某机器的零件（打磨过程中的磨损忽略不计）．若该金属块只打磨成一个最大弹珠，则该弹珠的半径是________；若将该金属块打磨成半径为1的弹珠，则最多可以打磨这种弹珠的个数是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题相当于是正四面体的内切球问题，可以从空心正四面体内部放球来处理，设该正四面体的棱长为，内切球的半径为． 【详解】（1） 如图1，在正四面体中，放入1个最大球，设内切球半径为， ，， 因为，所以， 整理得， 所以放入一个球时最大球的半径； （2） 要放入若干个球时，为保证球的个数最多，则等价于内部所有球与球之间外切，最外层的球与正四面体的表面相切．此外，由正四面体的对称性知，在内部放入更多球时，其排列为分层摆放，其中第一层个；第二层个，第三层个；……第n层：个；每一层均为正三角形排布，则只需考虑第n层的一条边上放入n个球（如图3所示）中的n的值， 如图2，正四面体的内切球的俯视图中，该内切圆不能与正三角形的边相切（因为内切球与侧面相切，无法与棱相切）， 所以我们需要计算内切球切点D到棱的距离的长， 其中刚好是底面内切圆的半径， 因为， 所以，内切球半径， 所以切点D到棱的距离是内切球半径的倍，则． 如图3，若最下面一层，即第n层的俯视图中，靠棱的一侧放入n个球， 其中球心H到棱的距离，显然， 则有， 代入数据得，解得， 所以，求得总个数为， 所以该几何体最多可打磨成20个球． 故答案为：：；20. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的成对数据如下表： 5 5.5 6 6.5 7 45 55 62 68 80 （1）求关于的回归直线方程； （2）利用（1）的回归直线方程，预测当时的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，． 【答案】（1） （2）128.4 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法公式代入求解即可. （2）利用（1）的回归直线方程代入求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，， ， ， 所以， 所以， 所以关于的回归方程为． 【小问2详解】 由（1）知关于的回归方程为， 当时，， 所以预测值为128.4． 16. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）①当时，在上单调递减； ②当时，在上单调递增，在上单调递减； ③当时，在上单调递增，在上单调递减． 【解析】 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 所以． 得时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 由得 ． ①当时，，所以在上单调递减； ②当时，时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减； ③当时，时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减． 综上，①当时，在上单调递减； ②当时，在上单调递增，在上单调递减； ③当时，在上单调递增，在上单调递减． 17. 如图，在三棱锥中，为中点，，，且． （1）证明：为等边三角形； （2）已知为三棱锥外接球的球心，若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1），为的中点， ∴，且，，平面，． 平面，∴． 为的中点，∴． ，∴为等边三角形． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 在等边中，， 所以，所以． 则以为坐标原点，以，，为，，的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，，，设球心， 则有：，其中 ；； ；； 联立解得，，，即． ，，． 设平面的法向量， 则有， 取，， ，，． 记直线与平面所成角， ， 所以直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列是等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列的各项均为正数，其前项和为，且为等差数列，． （i）证明：为等差数列； （ii）若，记，证明：． 【答案】（1） （2）（i）因为，， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 故当时，． 当时，上式也成立，故， 所以， 故数列是以为公差的等差数列． （ii）由（i）可知，，则． 方法一： 因为，， 当时，， 所以， 所以，． 方法二： 因为，，， 又当时，， 所以当时， ． 所以，． 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程组求解即可. （2）（i）根据为等差数列求出，根据求出，结合等差数列的定义证明即可. （ii）求出，（方法一）根据等比数列的前项和公式，结合放缩法证明即可；（方法二）结合裂项相消法证明即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，根据题意可得 ，解得， 所以． 【小问2详解】 略 19. 2026年世界杯足球赛正在火热开展，掀起了大众对足球运动的热爱．与此同时，某网络平台举办了一场有关足球知识的竞猜游戏，游戏规则如下：每次竞猜时答对得3分，答错得分（竞猜中只有答对和答错两种情况），累计得分达到6分或分时游戏结束，否则游戏继续进行．当时获胜，获得精美礼品一份，时落败．已知小王参与竞猜时每题答对的概率为，且每次竞猜答对与否互不影响． （1）求小王恰好竞猜4次，获得精美礼品一份的概率； （2）记表示事件“小王竞猜次，游戏仍未结束”，已知． （i）求； （ii）求游戏结束时的数学期望． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式及组合知识求解即可. （2）根据条件概率公式及独立事件概率乘法公式，结合已知条件得到关于的方程，求出； （i）结合题意得到，，根据条件概率公式求解即可. （ii）根据题意得到，（方法一）分析题意建立关于的方程，求出，代入期望公式求解即可；（方法二）通过递推关系建立关于的方程，求出，代入期望公式求解即可. 【小问1详解】 记为事件“小王恰好竞猜4次，获得精美礼品一份”，则前两次竞猜中一次答对，一次答错，后两次竞猜均答对． 故． 【小问2详解】 由题意得，， 故， 又，即，得或． 又，所以． （i）：因为偶数次竞猜的累计得分只能是，，，累计得分达到6分或分时游戏结束；若小王竞猜次，游戏未结束，则累计得分必为0．（即当为奇数时，第次与第次竞猜中仅答对一次） 得：， ， 所以． （ii）方法一：由题意知，游戏结束时的所有可能取值为、，所以. 现考虑前两次竞猜，若两次都竞猜答对或都竞猜答错，则游戏结束；若一次竞猜答对，一次竞猜答错，则相当于重新开始． 所以，解得， 所以． 所以． 方法二：由题意知，游戏结束时的所有可能取值为、，所以， 又 ， 故，解得， 所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市2026年高二年级卷库试卷二 数学 （满分：150分时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．选择题答题时，须用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 随机变量服从二项分布 C. 若随机变量，满足，则 D. 若随机变量，满足，则 10. 已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. C. 的面积为 D. 上的点到的距离的最大值为 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，下列说法中正确的是（ ） A. 是的周期 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则在处的切线方程为_______． 13. 如图，给图中的A，B，C，D，E五个区域涂色，要求相邻区域涂不同的颜色．现有4种不同的颜色供选择，则有________种不同的涂色方案．（用数字作答） 14. 现有一块棱长为的正四面体金属材料，将其打磨成若干个球形弹珠用于某机器的零件（打磨过程中的磨损忽略不计）．若该金属块只打磨成一个最大弹珠，则该弹珠的半径是________；若将该金属块打磨成半径为1的弹珠，则最多可以打磨这种弹珠的个数是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的成对数据如下表： 5 5.5 6 6.5 7 45 55 62 68 80 （1）求关于的回归直线方程； （2）利用（1）的回归直线方程，预测当时的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，． 16. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性． 17. 如图，在三棱锥中，为中点，，，且． （1）证明：为等边三角形； （2）已知为三棱锥外接球的球心，若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列是等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列的各项均为正数，其前项和为，且为等差数列，． （i）证明：为等差数列； （ii）若，记，证明：． 19. 2026年世界杯足球赛正在火热开展，掀起了大众对足球运动的热爱．与此同时，某网络平台举办了一场有关足球知识的竞猜游戏，游戏规则如下：每次竞猜时答对得3分，答错得分（竞猜中只有答对和答错两种情况），累计得分达到6分或分时游戏结束，否则游戏继续进行．当时获胜，获得精美礼品一份，时落败．已知小王参与竞猜时每题答对的概率为，且每次竞猜答对与否互不影响． （1）求小王恰好竞猜4次，获得精美礼品一份的概率； （2）记表示事件“小王竞猜次，游戏仍未结束”，已知． （i）求； （ii）求游戏结束时的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $