福建省福州延安中学2025-2026学年七年级第二学期期末考数学试题

福州延安中学2025−2026学年第二学期期末考 初一数学试卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 一．选择题（每小题4分，共40分） 1．下列各数是无理数的是（ ） A． B． C． D． 2．一个关于的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，下列条件中，不能判的是（ ） A． B． C． D． 4．下列调查中，最适宜采用全面调查的是（ ） A．调查某校九年级班体育中考的情况 B．调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命 C．调查全国中学生每天作业完成的时间 D．调查我市中学生观看今年央视春晚的情况 5．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．若点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，已知点、分别为中线、中线的中点，且，则（ ） A． B． C． D． 8．为了探究福州年上半年白昼时长的变化规律，收集到月日至月日部分日期的白昼时长数据，绘制出如图所示的散点图，用趋势图描述这段时间武汉白昼时长的变化趋势，估计月日的白昼时长约是（ ） A．672分钟 B．702分钟 C．732分钟 D．762分钟 9．《张丘建算经》是中国古代数学的重要典籍，书中记载了著名的“百钱买百鸡”问题．现有一道“买鸡”问题如下：“鸡翁每只值五钱；鸡母每只值三钱；鸡雏每三只值一钱．”某人用五十六钱买鸡三十只，且鸡翁的数量比鸡母多两只．问鸡翁，鸡母，鸡雏各有几只？设鸡母只，鸡雏只，根据题意可列方程组，正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，，，，则与的数量关系是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11．如图，两个三角形全等，则的度数是________． 12．某学校为了了解七年级同学的身高情况，抽取了名学生的身高，得到的数据中，最大值是，最小值是，若取组距为，则组数应该是________组． 13．如果不等式的解集为，则必须满足的条件是________． 14．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 15．若关于、的方程组的解是，求关于、的方程组的解．这个方程组的解应该是________． 16．如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 三．解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）（1） （2）解下列方程组： 18．（8分）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19．（8分）如图所示，在中，，平分，若，，求和的度数． 20．（8分）某校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛，学生跳绳成绩得分用表示，共分成五组，为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成以下不完整的统计图表，根据所给信息，解答下列问题： 成绩（分） 频数（人） A： B： C： D： E： （1）表中的值为________，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有名学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 21．（8分）如图，在中，是边上的中线． （1）尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，延长交于点，求证：． 22．（10分）随着“绿动榕城，低碳同行”理念的推广，新能源汽车越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，辆A型新能源汽车和辆B型新能源汽车的进价共计万元；辆A型新能源汽车和辆B型新能源汽车的进价共计万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共辆，用于开展推广活动．公司投入的购车资金不超过万元．假设每辆A型汽车的售价为万元，每辆B型汽车的售价为万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于万元，该经销商共有哪几种购车方案？其中最省钱的购车方案是哪种？请说明理由． 23．（10分）若一个不等式（组）的解集中有最大（最小）整数值，则称最大（最小）整数值为该不等式（组）的“边界值”．若不等式（组）的“边界值”都是不等式组的解，则称不等式组对于不等式（组）“边界值覆盖”，即不等式（组）被不等式组“边界值覆盖”．例如： ①不等式的“边界值”为，它被不等式组“边界值覆盖”； ②不等式组的“边界值”为和，它被不等式组“边界值覆盖”，却不被不等式组“边界值覆盖”． （1）已知关于的不等式，它的“边界值”为________，判断不等式组是否对于这个不等式“边界值覆盖”．________（填“是”或“否”） （2）已知关于的不等式组：和关于的不等式组：（为常数），若不等式组对于不等式组“边界值覆盖”，求的取值范围． （3）已知关于的不等式，不等式组：，以及不等式组：（为常数），且不等式和不等式组中有且只有一个被不等式组“边界值覆盖”，求的取值范围． 24．（12分）综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．根据以下素材，探索完成任务． 素材 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为，， 圆 几何中心 圆心 素材 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中，． 任务一 求阴影部分图形的重心坐标； 任务二 求阴影部分图形的重心坐标； 任务三 求阴影部分图形的重心坐标；（结果保留） 25．（14分）如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．且 （1）如图，直接写出点的坐标：________； （2）如图，点在轴负半轴上，且，连接交轴于点，求点坐标． （3）如图，若，，试判断、位置关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $福州延安中学2025-2026学年第二学期期末考 初一数学参考答案 一.单选题 题号 3 6 P 10 答案 A D A B B B 0 二.填空题 11.50° 12.8 13.a>2 14.4 x=4 4 5. 16.12 三.解答题 17. )解：原式1+(5-2-2+3=1+5-2-2+3=5 x+3_y-1 23 (2)解下列方程组： 2x-y=1 x+3-y- 2 3 解： 2x-y=1 3x-2y=-11① 整理得， 2x-y=1② ①-②×2得-x=-13 解得x=13 将x=13代入②得2×13-y=1 解得y=25 x=13 方程组的解为： y=25 7≤xs-14 18.解不等式组得 ∴整数解为：-7,6，-5」 19.解：∠B=70°，∠C=34 ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=76°， ,AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠EAC=∠BAC=38° 2 AD⊥BC. ∴.∠ADB=90° ∴.∠BAD=90°-∠B=20° ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=18° 20.(1)解：依题意，被调查的总人数为30÷15%=200（人）， 则=200-10-30-40-50=70， 补全频数分布直方图如下： 频数（人）70 70 60H 50 50 40 40 30[ 30F 20 10 10f 05060708090100成绩（分） (2)解：由(1)得被调查的总人数为200人， 50 ×360°=90° 则E组所对应的圆心角的度数为200 (3)解：由(1)得被调查的总人数为200人， 000× 70+50 =1200 则 200 (人)， 答：估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是1200人. 21.(1)解：如图所示，∠CAF即为所求， B (2)证明：如图， BD是边AC上的中线， ∴.CD=AD 在△BCD和△EAD中， ∠C=∠DAE CD=AD ∠BDC=∠EDA .∴△BCD≌△EAD(ASA) 22.(1)解：设A型每辆进价x万元，B型每辆进价y万元.根据题意： 2x+3y=90① 3x+2y=110② x=30 解得(y=10 答：A型新能源汽车每辆进价30万元，B型新能源汽车每辆进价10万元. （2)解设购进A型车m辆，则购进B型车（19-m）辆 每辆A型利润：38-30=8万元 每辆B型利润：15-10=5万元 30m+10(19-m)≤356 8m+5(19-m)≥113 解得6≤m≤8.3，且m为整数 m=6,7,8」 购车方案： 方案一：购进A型6辆，B型13辆： 方案二：购进A型7辆，B型12辆； 方案三：购进A型8辆，B型11辆. ,“最省钱”指购车总进价（成本）最低.计算各方案的总进价： 方案-：6×30+13×10=180+130=310（万元） 方案二：7×30+12×10=210+120=330（万元） 方案三：8×30+11×10=240+110=350（万元） .350>330>310 方案一的总进价最低(310万元). 因此，最省钱的购车方案是方案一：购进A型新能源汽车6辆，B型新能源汽车13辆 答：该经销商共有3种购车方案，其中最省钱的购车方案是购进A型6辆、B型13辆， 23.(1)2,是， (2)解不等式组M得2<x<5, ∴.不等式组M的边界值：3,4 解不等式组W得-a≤x≤-2a+5, ,N对M“边界值覆盖” -a≤-3 35a≤2 -2a+5≥4：.解得 (3)解不等式P:x≤1，“不等式P的边界值：1， 解不等式组G:3≤x<5,“不等式组G的边界值：3,4 解不等式组K: m-1<x<2m-1 ①若P被K“边界值覆盖”，G不被K“边界值覆盖” m-1<1 1<2-1≤4，解得1<m≤2.5 ②若G被K“边界值覆盖”，P不被K“边界值覆盖” 1≤m-1<3 2 2m-1>4,解得3≤m<7 综上所述，m的取值范围为1<m≤2.5或3≤m<7」 24.1)解：依题意得，(0,2)，B(2,2),C(2,0)D(2,4).E(4,4).F(4,0) 令正方形OABC面积为S,长方形CDEF面积为S,则S=4,S,=8 S=1S,=2 S+S23.S+S23 令正方形OABC的重心为G(:,）,长方形CDEF的重心为C,(:,),阴影部分图形重心坐标为 G(x,y) ,正方形和长方形的重心均在其对角线交点处 .G(1,1).G2(3,2) S21 .2 x=S+S2中S+S233 7 =二×1+二×3= 3 2 S+y28+5,33 y=yS+S2 3×1+3x2=5 3 75 G ·阴影部分图形重心坐标为(3’3 D B 45 (2)解：依题意得，A,4),B(5,4),C(5,5).D(5,0),E(,0).F(7,0) 令三角形OAE面积为S,三角形ABC面积为S,正方形ABDE面积为S,三角形CDF面积为S4, 则9=2，，=2，S,=16,S4=5,令S=S,+S,+S+S=25 S=2$=2S-16S-1 S25.S25.S25,S5 令三角形0AE的重心为G,(,少)，三角形ABC的重心为G,(,）,正方形ABDE的重心为 G,(,为），三角形CDF的重心为G,(,）,阴形部分图形重心4华标为G(x) 0+1+12 0+0+44 ∴.x1= 33.= 33 5=1+5+511 4+4+513 33,= 33； 4 5+5+717 3,少 5+0+05 3 3 3 a)cg》a皆》 正方形的重心在其对角线交点处 ∴.G(3,2) :.x=S S2+x3 S +xS4-17 y=%s .S431 1731 G ∴阴影部分图形重心坐标为(5'15 6 3 (3)解：依题意得，A(0,4),B(3,6),C(6,4).D(6,0),E(3,1) 令三角形ABC面积为S,长方形OACD面积为S2,圆形面积为S,则S=6,S2=24,S,=元，令 S=S+S,=30 8=1S,-4 S,+S25.S+S25 令三角形ABC的重心为G(,）,长方形0ACD的重心为G,(:,）,圆形重心为G,(,少），五边 形0ABCD重心为G(父，），阴影部分图形重心坐标为G(x,) ..x 0+3+6=3片= 4+6+414 3 3 3 .。 2(3,2) xS+S2 S2_1 S。+2S+S,5 4 ×3+ ×3=3 肾-股 15 :.x=4S-S S2_90-3r=3 S+2SS30=π S、+ss30- y=yS-S; S2_76-元 G3, 76-元 ∴阴影部分图形重心坐标为 （30-π 6 5 D 34567 25,(1)解：如图，过点C作CG⊥OF, B D A :△ABC为等腰直角三角形， ∴.CB=BA,∠ABC=90° .∠CBG+∠ABO=90° .∠AB0+∠BAO=90°， ∴.∠CBG=∠BAO 在△AB0与△BCG中， 「∠BOA=∠CGB ∠BAO=∠CBG AB=BC .△ABO≌△BCG(AAS) ∴.CG=BO=2,GB=AO=5, C(2,7）,故答案为：(2,7) (2)解：如图，过点C作CG⊥OF,过点E作EH⊥FO, E -H B D 0 依题意得1(5,0).B(0,2) ∴.OA=5.OB=2 △BDE为等腰直角三角形， ∴BD=BE,∠DBE=90° ∴.∠HBE+∠DBO=90°， ∠DBO+∠BDO=90°. ∴.∠HBE=∠BDO. 在△DBO与△BEH中， ∠BOD=∠EHB ∠BDO=∠EBH BD=EB .∴△DBO≌△BEH(AAS) ∴EH=BO=CG,BH=DO 在△CGF与△EHF中， ∠CFG=∠EFH ∠CGF=∠EHE CG=EH .△CGF≌△EHF(AAS) ..GF=FH, 1 SAABD=5AD×BO=9 2 .AD=9, .AO+DO=BG+BH=BF+FG+BF-FH=2BF=9. BF=4.5:.0F=0B+BF=6.5,F(0,6.5) (3)证明：AG垂直GD,理由如下： 如图，连接CD、AE交于点H, D :△ABC与△BDE为等腰直角三角形， .BE=BD.AB=BC,∠EBD=∠ABC=90°. ∴.∠DBE+∠EBC=∠ABC+∠EBC, ∴.∠DBC=∠EBA, 在△DBC与△EBA中， DB=EB ∠DBC=∠EBA BC=BA .△DBC≌△EBA(SAS) ∴DC=EA.∠AEB=∠CDB, ∴.∠EHD=∠EBD=90°， 在△CDG与△EAG中， 「DG=AG GC=GE DC=AE ∴.△CDG≌△EAG(SSS) ∴.∠CGD=∠EGA,∠DCG=∠AEG, ∴.∠CHE=∠CGE=90° ∴.∠AGD=90°.∴.AG⊥GD