精品解析：福建省福州第一中学2025-2026学年七年级第二学期期末考试数学试卷

福州一中2025-2026学年第二学期期末考试 初一 数学 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项） 1. 下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A. 该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项图形是轴对称图形，符合题意； D. 该选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列调查中，不适合进行全面调查的是（　　） A. 全国第七次人口普查 B. 某种品牌牛奶的蛋白质含量 C. 旅客乘飞机前的安检 D. 某区招聘教师，对应聘人员面试 【答案】B 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的特点对各选项分析即可． 【详解】A、C、D中数据需要真实、准确，调查方式也比较简单，必须涉及到每个人员，所以适合采用全面调查；B中某品牌牛奶蛋白质含量采用全面调查，调查方式复杂，并且具有破坏性，所以不适合进行全面调查，适合采用抽样调查． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全面调查和抽样调查，掌握全面调查和抽样调查的特点是解题的关键． 3. 小渝将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“科”在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限，写出直角坐标系中点的坐标，解题关键是掌握上述知识点．先求出“科”的坐标，再根据坐标判断所在的象限． 【详解】解：因为“创”“新”的坐标分别为，， 所以可建立平面直角坐标系如图， 所以“科”的坐标为， 则“科”在第二象限， 故选： B． 4. 如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”．请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为（ ） A. 152杯 B. 140杯 C. 130杯 D. 120杯 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察统计图可知，随着温度的升高，卖出的冷饮杯数随着气温的升高逐渐呈现上升趋势， 由统计图可知时，冷饮杯数超过140杯， 观察四个选项，大约为152杯，选项A符合题意． 5. 等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（ ） A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为8时，三角形三边分别为8，8，4，，能组成三角形，则周长； ②当腰长为4时，三角形三边分别为8，4，4，，不能组成三角形； 综上，则该三角形的周长是． 6. 如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，根据“5个大容器和1个小容器的总容量为3斛”和“1个大容器和5个小容器的总容量为2斛”建立方程组． 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， 因此可得方程组 ． 9. 下列命题：①相等的角是对顶角；②三角形的三条高线交于一点；③三角形的重心是三条角平分线的交点；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的概念，三角形的高、重心的概念，全等三角形的判定，逐个判断每个命题的真假，统计真命题个数即可. 【详解】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，因此①是假命题； ②钝角三角形的三条高线作为线段不存在公共交点，仅三条高线所在直线交于一点，因此②是假命题； ③三角形的重心是三条中线的交点，因此③是假命题； ④根据全等三角形的判定定理，三条边对应相等的两个三角形全等，因此④是真命题； 综上，真命题共有1个. 10. 方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，1↑1，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，1↑1，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解：类似的，方程的正整数解的个数为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】仿照题干给出的隔板法思路求解，将9个1排成一排，要分成3个正整数部分，需要在中间空隙中选2个插入隔板，计算选法数量即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵方程的解为正整数， ∴均为大于等于1的正整数， 将9个1排成一排，1，1，1，1，1，1，1，1，1， ∴9个1之间共有个空隙， 要将9个1分成3组，分别对应，需要从8个空隙中任选2个插入隔板， 计算选法总数：从8个空隙中选第一个有8种选法，选第二个有7种选法， ∵两个隔板顺序不影响分组结果， ∴总选法为， ∴方程的正整数解的个数为28． 二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分） 11. 若点在x轴上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上点的纵坐标为，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解： 轴上的点的纵坐标为，点在轴上． 解得 ． 12. 已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式两边同时除以不等号的方向发生了改变，可知，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ， ． 13. 如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作于点E，可证明，得到，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点D到的距离为2． 14. 为了解某池塘中现有鱼的数量，一数学小组先从中捕捞10条鱼并做上标记，然后放归该池塘内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32条鱼中有2条鱼有标记，则估计该池塘现有鱼的数量约为______条． 【答案】160 【解析】 【详解】解：根据题意得（条）， 所以估计该池塘现有鱼的数量约为160条． 15. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有______人． 【答案】6 【解析】 【分析】设共有x人，第2种分法最后一人分到了a本，由题意列方程，由最后一人就分不到3本，可知或，代入求解即可． 【详解】解：设共有x人，第2种分法最后一人分到了a本， 根据题意可知，， 整理得，， ∵， ∴或， 当时，， 当时，（舍去）， ∴共有6人． 故答案为：6． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，准确理解“最后一人就分不到3本”是解题的关键． 16. 如图，在中，，，当点在射线上时，连接，在直线左侧作，且，连接交直线于，若，则的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】当点在线段上时，过点作，可证，，设，可得：，，即可求出；当点在点右侧时，可证，，设，可得：，，即可求出． 【详解】解：当点在线段上时，如下图所示， 过点作，则， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， 设， ， ， ，， ， ，， ； 当点在点右侧时，如下图所示， 过点作，则， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ，， 设， ， ， ，， ， ，， ； 综上所述，或． 三、解答题（满分86分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字表描黑） 17. 解答下列各题： （1）解方程组：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得，解得， 将代入①得，解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 18. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 19. 如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 【答案】每个小长方形的是，宽是． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每个小长方形的长为，宽为，根据图形列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 答：每个小长方形的长是，宽是． 20. 为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理如表： 组别 A B C D 成绩（/分） 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，回答以下问题： （1）抽取学生竞赛成绩的样本容量为______；请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______度； （3）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1） 150，补全频数分布直方图如下： （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）根据B组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求出A组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用乘以C组人数的占比即可求解； （3）用乘以80分以上（含80分）的人数占比即可求解． 【小问1详解】 解：总样本容量为（人）， A组的人数为（人）， 图略． 【小问2详解】 解：扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是． 【小问3详解】 解：估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数：（人）． 21. 如图，在△ABC中，点D在BC延长线上． （1）尺规作图：在BD上方，过点C作射线； （2）请利用上图证明三角形的内角和定理． 【答案】（1）如图所示， （2）证明：， ， ，即的内角和为． 【解析】 【小问1详解】 作法如下： ①以点为圆心，任意半径画圆弧交于点，交于点； ②以点为圆心，为半径画圆弧交于点； ③以点为圆心，为半径画圆弧，与②的圆弧交点记为 则连接，有． 【小问2详解】 略 22. 三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 （1）将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； （2）在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； （3）瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出四边形的不同三角剖分方法数； （2）根据题意画出五边形的三角剖分的一种方法； （3）根据公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 如图， 将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，， ∵ 时，， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴． 23. 福桔是福州市果，声名远播，某果农为了打开销路，对1000个精品福桔进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示． 1．纸盒装每箱8个福桔 2．编织袋装每袋18个福桔 3．纸盒装每箱售价28元 4．编织袋装每袋售价50元 （1）假设用这两种打包方式恰好装完全部福桔并全部售完，当销售总收入为2980元时，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？ （2）若为回馈顾客，该果农推出优惠活动：每买一箱纸盒装赠送一个福桔，每买一袋编织袋装赠送两个福桔。若优惠后所有福桔（含赠送）恰好全部出完货且无剩余，且两种包装均有售卖，请求出纸盒装、编织袋装的包装数量的所有可能方案，并求出最大收入金额． 【答案】（1） 纸盒装共包装了35箱，编织袋共包装了40袋 （2） 所有可能方案为：①纸盒装100箱，编织袋装5袋；②纸盒装80箱，编织袋装14袋；③纸盒装60箱，编织袋装23袋；④纸盒装40箱，编织袋装32袋；⑤纸盒装20箱，编织袋装41袋.最大收入金额为3050元 【解析】 【分析】（1）设纸盒装和编织袋的包装数量为未知数，根据总福桔数量和总售价列二元一次方程组求解即可； （2） 根据赠送规则得到不定方程，求不定方程的正整数解得到所有方案，再根据收入表达式结合增减性求出最大收入． 【小问1详解】 解：设纸盒装包装了箱，编织袋包装了袋. 根据题意可得：     解得  答：纸盒装共包装了35箱，编织袋共包装了40袋； 【小问2详解】 解：设纸盒装包装了箱，编织袋包装了袋，均为正整数，且.， 根据题意，每买一箱纸盒装赠送1个福桔，每箱共给出个福桔， 每买一袋编织袋装赠送2个福桔，每袋共给出个福桔，总福桔共1000个，    整理得， ∵是正整数， ∴是9的正倍数， 由 得， ∴的正整数取值为， 对应得到的值为， ∴所有可能方案为： 方案1：纸盒装100箱，编织袋装5袋； 方案2：纸盒装80箱，编织袋装14袋； 方案3：纸盒装60箱，编织袋装23袋； 方案4：纸盒装40箱，编织袋装32袋； 方案5：纸盒装20箱，编织袋装41袋； 设总收入为元，则， 代入得：   ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，最大， 将代入得（元）． 答：所有可能方案如上，最大收入金额为3050元． 24. 对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． （1）直接写出：______，______； （2）若关于x，y的方程组的解满足，求关于s的不等式的解集； （3）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式组求解出，再根据定义将整理得，根据的范围求解即可； （3）根据题意得到，设四个整数解为，则，根据不等式组的解集要求进行求解即可． 【小问1详解】 由题意得， 解得； 【小问2详解】 解：由条件可得， 两式相加得， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴ 整理得 ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 则 ∵， ∴ 解得， ∵不等式组有且仅有4个整数解， 设这四个整数解为， 则 解得， 则需且， ∴且， ∵为整数， ∴ 当时，解得； 当时，解得； ∴ 25. 已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， （1）试探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：如图2所示，在上截取，连接， ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，据此根据三角形内角和定理可得结论； （2）①在上截取，连接，证明，得到，则可证明；证明，则可证明，得到；根据，得到，则可证明，得到，即；②过点E作于点T，证明，得到；可证明，据此求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②解：如图所示，过点E作于点T， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2025-2026学年第二学期期末考试 初一 数学 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项） 1. 下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，不适合进行全面调查的是（　　） A. 全国第七次人口普查 B. 某种品牌牛奶的蛋白质含量 C. 旅客乘飞机前的安检 D. 某区招聘教师，对应聘人员面试 3. 小渝将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“科”在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”．请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为（ ） A. 152杯 B. 140杯 C. 130杯 D. 120杯 5. 等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（ ） A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 12 6. 如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题：①相等的角是对顶角；②三角形的三条高线交于一点；③三角形的重心是三条角平分线的交点；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 10. 方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，1↑1，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，1↑1，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解：类似的，方程的正整数解的个数为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分） 11. 若点在x轴上，则_______． 12. 已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 13. 如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_________． 14. 为了解某池塘中现有鱼的数量，一数学小组先从中捕捞10条鱼并做上标记，然后放归该池塘内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32条鱼中有2条鱼有标记，则估计该池塘现有鱼的数量约为______条． 15. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有______人． 16. 如图，在中，，，当点在射线上时，连接，在直线左侧作，且，连接交直线于，若，则的值为_________． 三、解答题（满分86分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字表描黑） 17. 解答下列各题： （1）解方程组：； （2）解不等式：． 18. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 19. 如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 20. 为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理如表： 组别 A B C D 成绩（/分） 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，回答以下问题： （1）抽取学生竞赛成绩的样本容量为______；请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______度； （3）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数． 21. 如图，在△ABC中，点D在BC延长线上． （1）尺规作图：在BD上方，过点C作射线； （2）请利用上图证明三角形的内角和定理． 22. 三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 （1）将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； （2）在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； （3）瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 23. 福桔是福州市果，声名远播，某果农为了打开销路，对1000个精品福桔进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示． 1．纸盒装每箱8个福桔 2．编织袋装每袋18个福桔 3．纸盒装每箱售价28元 4．编织袋装每袋售价50元 （1）假设用这两种打包方式恰好装完全部福桔并全部售完，当销售总收入为2980元时，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？ （2）若为回馈顾客，该果农推出优惠活动：每买一箱纸盒装赠送一个福桔，每买一袋编织袋装赠送两个福桔。若优惠后所有福桔（含赠送）恰好全部出完货且无剩余，且两种包装均有售卖，请求出纸盒装、编织袋装的包装数量的所有可能方案，并求出最大收入金额． 24. 对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． （1）直接写出：______，______； （2）若关于x，y的方程组的解满足，求关于s的不等式的解集； （3）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且，求m的取值范围． 25. 已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， （1）试探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $