河南开封市五校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

开封五校2025~2026学年下学期期末考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1．B 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D 9．ABD 10．BD 11．ACD 12．0.28 13． 14． 15．解：（1）由题知， 1分 整理得， 3分 则解得 5分 所以， 6分 ． 7分 （2）由（1）知，， 因为复数为纯虚数，所以解得， 9分 所以， 10分 所以． 13分 16．解：（1）因为四边形是平行四边形，点E是的中点， 所以,,所以； 3分 ． 6分 （2）因为, 9分 所以． 15分 17．解：（1）根据题意可得，解得． 3分 （2）设应该制定的评分分数为m分，则在频率分布直方图中，直线右边小矩形的面积和为0.3， 的小矩形面积是0.12，的小矩形面积是0.20， 则m在内，于是，解得， 所以应该制定的评分分数为81分． 8分 （3）由频率分布直方图，可得的频率为0.08，的频率为0.12， 用分层随机抽样的方法从，两个区间中共抽取5个摊位， 则从抽取2个摊位，记为a，b，从中抽取3个摊位，记为1，2，3， 10分 从这5个摊位中依次随机抽取2个，则该试验的样本空间 ，共10个基本事件， 设事件“这2个摊位来自不同区间”，，共6个基本事件， 14分 故． 15分 18．解：（1）因为，由正弦定理，得， 即，所以， 4分 又，所以． 5分 （2）（ⅰ），解得． 7分 由余弦定理，得，所以， 9分 所以的周长为． 10分 （ⅱ）设，，，m，， 所以，则，所以， 11分 同理可得， 12分 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 14分 所以． 又在中,, 在中,, 所以． 17分 19．（1）证明：因为底面是边长为2的菱形，且，所以是等边三角形，， 因为点E是的中点，所以，． 1分 因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面, 3分 又平面，所以平面平面． 4分 （2）解：因为为直角三角形，平面平面，所以三棱锥的外接球球心一定在平面内，且为的外心． 6分 因为底面是边长为2的菱形，且，所以是等边三角形，，由正弦定理，得（R为的外接圆半径），解得，即三棱锥的外接球半径为． 8分 所以三棱锥外接球的表面积为． 9分 （3）解：取的中点G，作，垂足为N，连接，，． 因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，为与平面所成的角，． 11分 ①若N在线段（不含端点）上，如图1，设，， 因为，G为的中点，所以，，， 因为F，G分别是，的中点，所以，，又，所以，由余弦定理，得， 所以． 令，由，得， 所以，当且仅当，即时取“=”． 又，所以的取值范围为． 14分 ②若N在线段上（不含端点），如图2，设，， 因为，所以，， 又，，所以，由余弦定理，得， 所以． 令，由，得，所以． 令，，任取，，， 则， 因为，，，所以，，故，即， 所以在上单调递增，且，所以的取值范围为． 16分 ③若N与G重合，则．，． 综上所述，的取值范围为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封五校2025~2026学年下学期期末考试 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，，点P满足，则P的坐标是 A． B． C． D． 3．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球 A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 4．已知，是两个不同的平面，m是一条直线，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知圆台的上、下底面直径长分别为2，8，侧面积为，则该圆台的体积为 A． B． C． D． 6．在正四棱台中，，，高为1，则直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高．若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为 A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 8．设向量，的夹角为，定义，已知平面内互不相等的两个非零向量，满足，且与的夹角为，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某地连续8天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：26，29，27，29，26，29，33，33，则这8个数据的 A．极差为7 B．众数为29 C．中位数为27.5 D．平均数为29 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是 A．若，则是等腰三角形 B．若不是直角三角形，则 C．若，，，则符合条件的有2个 D．若，则为钝角三角形 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是 A．过A，，E三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点F，使得平面 C．当F在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机事件A与B对立，B与C相互独立，若，，则______． 13．已知向量，，若向量，的夹角为钝角，则实数m的取值范围为______． 14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知复数是关于x的方程（a，）的一个根，复数． （1）求； （2）若复数（）为纯虚数，求． 16．（本小题满分15分） 如图，在平行四边形中，，，点E是的中点． （1）用，表示，； （2）若点F是的中点，求的值． 17．（本小题满分15分） 为了满足游客需求，提供更好的旅游体验，某市文旅局在各景区共设置了1000个特色摊位．为调查这些摊位的服务情况，随机抽取了100个摊位进行评分（满分：100分，评分越高服务越好，评分均在内）．根据评分，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求n的值； （2）该文旅局准备制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书，若恰有30%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数； （3）为进一步提高摊位服务质量，该文旅局拟用分层随机抽样的方法从样本中，两个区间内抽取5个摊位，再从这5个摊位中随机抽取2个进行交流学习，求这2个摊位来自不同区间的概率． 18．（本小题满分17分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，的面积为． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）若点D是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，点E，F分别是，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）设与平面所成角为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $