第二十一章 四边形 2026年人教版八升九数学暑假复习作业

**基本信息** 八升九暑假四边形同步练，分基础训练、能力提升、拓展探究三层，覆盖四边形到特殊四边形性质判定，梯度合理，强化概念理解与综合应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|四边形及特殊四边形基本性质判定|选择填空为主，如平行四边形角度计算，巩固单一知识点| |能力提升|性质判定综合应用及相关计算|中档解答题，如矩形菱形性质综合证明，培养推理能力| |拓展探究|动态几何与跨知识点综合|动态问题，如动点PQ与CD关系，发展空间观念与创新意识|

第二十一章 四边形 八升九暑假复习作业 一、知识梳理 （一）四边形及其内角和 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形用表示它的各个顶点的字母表示，图1中的四边形记作“四边形ABCD”. 图1 图2 图3 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图2中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形. 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°.如图1，. 四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°.如图3，. 四边形的稳定性：四边形不具有稳定性. （二）多边形及其内角和 与三角形、四边形类似，如图4，在平面内，由n(n≥3)条线段，，...，，首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.多形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似.多边形有几条边就叫作几边形.多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图5中的六边形，记作“六边形ABCDEF”. 图4 图5 各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.图6是正多边形的一些例子. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 图6 多边形的内角和公式：边形的内角和等于. 多边形的外角和：多边形的外角和恒等于. 对角线：从边形一个顶点出发可引条对角线，边形共有条对角线. （三）平行四边形的性质与判定 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“口”表示，如图7,平行四边形ABCD记作“口ABCD”. 图7 图8 平行四边形的性质: （1）边：平行四边形的对边平行且相等； 如图7,∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，；，. （2）角：平行四边形的对角相等（邻角互补）； 如图7,∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，；. （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分. 如图8,∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，. （4）对称性：平行四边形中心对称图形，对称中心为对角线交点. 平行四边形的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 如图7,∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形. （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 如图7,∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形. （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 如图7,∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形. （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 如图7,∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形. （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 如图8,∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形. （四）三角形的中位线 如图9，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 三角形的中位线定理: 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 图9 如图9,∵DE是△ABC的中位线， ∴，. （五）矩形的性质与判定 矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的性质： 矩形的特性：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. （1）边：矩形的对边平行且相等； （2）角：矩形的四个角都是直角； （3）对角线：矩形的对角线相等且互相平分； （4）对称性：矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形. 矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形. 判定思路：平行四边形+矩形的一个特性（一个角是直角或对角线相等） 直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （六）菱形的性质与判定 菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的性质： 菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （1）边：菱形的四条边都相等； （2）角：菱形的对角相等，邻角互补； （3）对角线：菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角； （4）对称性：菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形. （5）菱形的面积=等于对角线乘积的一半. 即. 菱形的判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四条边相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定思路：平行四边形+菱形的一个特性（邻边相等或对角线互相垂直） （七）正方形的性质与判定 正方形:有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形的性质： （1）边：四条边相等； （2）角：四个角都是直角； （3）对角线相等、互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角； （4）对称性：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形的判定： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）有一个角是直角的菱形是正方形. 判定思路： 思路1：矩形+菱形的一个特性（邻边相等或对角线互相垂直） 思路2：菱形+矩形的一个特性（一个角是直角或对角线相等） 思路3：平行四边形+矩形的一个特性+菱形的一个特性 （八）中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 任意四边形的中点四边形是平行四边形； 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形； 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形； 对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形. 二、基础训练 1．已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（　　） A．100° B．60° C．80° D．160° 2．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD//BC B．AB＝CD，OC＝OD C．OA＝OC，OB＝OD D．AD//BC，AB＝CD 3．下列说法正确的是（　　） A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠BAD＝90° B．AC＝BD C．OA＝OD D．AC⊥BD 5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是AB、BC的中点，连接EF，若EF＝3，BD＝8，则菱形ABCD的面积为 　． 7．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形，则添加的条件可以是 　．（只需添加一个即可） 8．在综合与实践活动中，某兴趣小组要测量被池塘隔开的A，B两点间的距离（如图所示），他们在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．若测得DE＝15m，则A，B两点间的距离为　 　m． 9．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F是线段DE上的点，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 　． 10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OB，OC上，∠OAE＝∠OBF． （1）求证：△AOE≌△BOF； （2）请判断AE与BF的位置关系，并说明理由． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，E为AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，且AE＝CF．求证： （1）△AEO≌△CFO； （2）四边形ABCD为平行四边形． 三、能力提升 12．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的值为（　　） A．4.8 B．5 C．6 D．8 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标是（1，3），则AC的长为（　　） A． B． C．3 D． 14．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE恰好平分∠BAD，若CE＝3，则▱ABCD的周长为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 15．如图，▱ABCD中，∠ADC＝120°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝（　　） A．60° B．30° C．70° D．50° 16．如图，四边形ABCD是菱形，CD＝10，BD＝16，AE⊥BC于点E，则AE的长是　 ． 17．如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB，交CD于点E，交BC延长线于点F．若AB＝9，BC＝5，则CE+CF的长为　 　． 18．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，使得点B落在点E处，CE交AD于点F，若CE平分∠ACD，AF＝2，则CD长是　 ． 19．如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD的交点，连接OE，若∠CAE＝15°，则∠OEA＝　 ． 20．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝135°，点P为对角线BD上的动点（不与端点重合），过点P作PG⊥AB于点G，作PH⊥AD于点H，若PG+PH＝2，则菱形ABCD的周长为　　 ． 21．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，点O是AC的中点，过点O的直线EF分别交AB，CD的延长线于点E，F． （1）求证：BE＝DF； （2）若CD＝DF＝3，AD＝5，求OE的长． 22．如图，在▱ABCD中，O是CD的中点．分别延长AO，BC交于点E，连接AC，DE． （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）若BE＝8，∠BAE＝90°，求四边形ACED的周长． 23．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点（不与点B，C重合），E是边AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝6，AD＝BD，求DF的长． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，O是AD的中点，连接BO并延长到点E，使得OE＝BO．连接AE，CE． （1）证明：四边形ADCE是矩形； （2）若AB＝10，AD＝BC，求EC的长． 25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC平分∠BAD，过点D作DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）若BE＝8，DE＝4，求CD的长． 四、拓展探究 26．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B运动．在此运动过程中，当PQ＝CD时，t的值为（　　） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 27．如图，矩形ABCD的长AB＝6，宽AD＝8，点G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，点G在运动过程中，线段EF的最小值为　 ． 28．如图，M为△ABC的边BC的中点，AB＝6，AC＝9，BD⊥AD于点D，连接DM．若AD为∠BAC的平分线，则MD的长为　 ． 29．在综合与实践活动课上，同学们以“平行四边形的翻折”为主题开展数学活动． 在▱ABCD中，E为边BC上的一点，将△ABE沿AE翻折，点B的对应点为B′． （1）如图1，当点B′恰好落在边AD上时，四边形ABEB′的形状为　 ； （2）如图2，当点E与点C重合时，若B′E⊥AD，垂足为F，且BC＝6，CF＝4，直接判断四边形AB′DC的形状，并求B′D的长； （3）如图3，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．若BE＞2时，射线EB′与射线AD相交于点G，则点E在边BC上运动的过程中，AG的最小值为　 　． 30．【问题情境】 （1）同学们，我们曾经研究过这样的问题：已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为一边构造正方形CEFG，如图①所示，则BE和DG的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为一边在CE的右侧作正方形CEFG，如图②所示． ①请判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由． ②如图③，连接BG，若AE＝1，求线段BG的长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作GH⊥BC，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，当点E在AD边上运动时，BG+BE的最小值为　　 ． 31．（1）如图①，将一根细木条固定在▱ABCD的对角线AC和BD的交点O处，且木条可以绕点O转动，木条与AD交于点E，与BC交于点F．四边形ABFE的面积　＝　 四边形CDEF的面积（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）如图②，▱ABCD和▱BEFG上下叠放，请画出直线l，使其平分图②的面积； （3）如图③，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，四边形ABFE的周长为15，且EF平分▱ABCD的面积，则EF的长为　5　 ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 1．解：∵平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝240°， ∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C， ∴∠A＝∠C＝×240°＝120°， ∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°． 故选：B． 2．解：对于选项C： ∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD， ∴△AOB≌△COD． ∴AB＝CD． 同理可得AD＝BC． ∴四边形ABCD为平行四边形． 选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件， 故选：C． 3．解：A、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故不符合题意； B、有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，不符合题意； C、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意， 故选：D． 4．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°， ∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD为菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 5．解：∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形， ∴∠BAD＝90，∠DAE＝60°，AB＝AD，AD＝AE， ∴∠BAE＝150°，AB＝AE， ∴∠AEB＝∠ABE＝×（180°﹣150°）＝15°． 故选：B． 6．解：∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴AC＝2EF＝2×3＝6， ∵BD＝8， ∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×6×8＝24． 故答案为：24． 7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴可添加的条件为AB＝AD（答案不唯一），使得邻边相等的平行四边形为菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 8．解：∵点D，E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵DE＝15m， ∴AB＝30m， 故答案为：30． 9．解：∵BC＝8，D、E分别为AB，AC的中点， ∴， ∵∠AFB＝90°， ∵D为AB的中点，AB＝5， ∴， ∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2.5＝1.5． 故答案为：1.5． 10．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AO＝BO，∠AOE＝∠BOF＝90°， ∵∠OAE＝∠OBF． ∴△AOE≌△BOF（ASA）； （2）解：AE⊥BF，理由如下： 延长AE交BF于点H，如图， ∵∠AEO＝∠BEH， ∴∠AOE＝∠BHE＝90° ∴AE⊥BF． 11．（1）解法一： 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， 又∵AE＝CF， ∴△AEO≌△CFO（ASA）； 解法二： 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 又∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO（AAS）； （2）解法一： 由（1）得，△AEO≌△CFO， ∴OA＝OC，EO＝FO， ∵AD∥BC， ∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO， ∴△OED≌△OFB（AAS）， ∴OD＝OB， ∴四边形ABCD为平行四边形． 解法二： 由（1）得，△AEO≌△CFO， ∴EO＝FO， ∵AD∥BC， ∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO， ∴△OED≌△OFB（AAS）， ∴ED＝FB， ∵AE+ED＝AD，CF+FB＝BC，AE＝CF， ∴AD＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 12．解：设AC与BD相交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，且对角线AC＝8，BD＝6， ∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD， ∴△OAB是直角三角形， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5， ∵DH⊥AB于点H， ∴由菱形的面积公式得：S菱形ABCD＝AB•DH＝AC•BD， ∴DH＝＝＝4.8． 故选：A． 13．解：连接BO， ∵点B的坐标是（1，3）， ∴， ∵四边形ABCO是矩形， ∴， 故选：D． 14．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE． ∵E为BC的中点， ∴BE＝CE＝3， ∴BC＝BE+CE＝6，AB＝BE＝3， ∴▱ABCD的周长为2×（3+6）＝18． 故选：C． 15．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC+∠C＝180°， ∵∠ADC＝120°， ∴∠C＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°， ∵BE⊥DC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∴∠BHF＝90°﹣∠EBC＝60°． 故选：A． 16．解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝10，BD＝16， ∴，AC⊥BD，BC＝CD＝10，AC＝2CO， 在Rt△CDO中，， ∴AC＝2OC＝12， ∵菱形ABCD的面积为， ∴， 17．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝5，AB∥CD， ∴∠DAE＝∠F，∠CEF＝∠BAF， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠F＝∠CEF， ∴AB＝BF＝9，CE＝CF， ∴CF＝BF﹣BC＝9﹣5＝4， ∴CE+CF＝8， 故答案为：8． 18．解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠D＝∠BCD＝90°， ∴∠DAC＝∠ACB， 由折叠可知，∠ACB＝∠ACE， ∴∠CAF＝∠ACF， ∴AF＝CF＝2， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACF＝∠FCD， ∴∠ACB＝∠ACF＝∠FCD， ∵∠BCD＝90°， ∴∠ACB+∠ACF+∠FCD＝90°， ∴∠ACB＝∠ACF＝∠FCD＝30°， ∴， ∴若CE平分∠ACD，AF＝2，则． 故答案为：． 19．解：∵四边形ABCD是矩形． ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， AO＝BO＝＝AC； ∵AE是∠BAD的角平分线； ∴∠BAE＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAC＝60°， ∴△AOB是等边三角形； ∴∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝90°﹣60°＝30°， ∵在Rt△ABE中，∠BAE＝45°， ∴∠AEB＝∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， ∵△ABO是等边三角形， ∴AB＝BO， ∴OB＝BE， ， ∴∠AEO＝∠BEO﹣∠AEB＝75°﹣45°＝30°， 故答案为：30°． 20．解：连接AP，作DM⊥AB于点M， ∵∠ABC＝135°， ∴AD＝AB＝BC＝CD，AD∥BC， ∴∠DAB＝180°﹣135°＝45°， ∴， ∵PG⊥AB，PH⊥AD， 又S△ABD＝S△APD+S△APB， ∴， ∴DM＝PG+PH＝2， ∴， ∴菱形ABCD的周长为． 21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠E＝∠F， ∵O为AC中点， ∴OA＝OC， 在△AEO和△COF中， ， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴AE＝CF， ∴AE﹣AB＝CF﹣CD， 即BE＝DF； （2）解：∵CD＝DF＝3， ∴CF＝CD+DF＝6， ∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∵AD＝5， ∴AC＝＝＝4， ∴OC＝OA＝2， ∴OF＝， ∵△AEO≌△CFO， ∴OE＝OF＝． 22．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠CEO， ∵O是CD 的中点， ∴DO＝CO， 在△AOD和△EOC中， ∴△AOD≌△EOC（AAS） ∴AO＝EO， ∵DO＝CO， AO＝EO， ∴四边形ACED是平行四边形； 解：（2）由（1）得△AOD≌△EOC， ∴AD＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴BC＝CE， ∵BE＝BC+CE＝8， ∴CE＝4， ∴C是BE的中点， ∵∠BAE＝90°， ∴AC是Rt△ABE斜边上的中线， ∴， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝ED＝4， CE＝AD＝4， ∴四边形ACED的周长＝AC+CE+ED+DA＝4+4+4+4＝16， 答：四边形ACED的周长为16． 23．（1）证明：∵E是边AC的中点， ∴AE＝CE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠CDE， 在△AEF与△CED中， ， ∴△AEF≌△CED（AAS）， ∴AF＝CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝6， ∴AC＝AB＝，BC＝AB＝3， ∵AD＝BD，AD2＝AC2+CD2， ∴（3﹣CD）2＝32+CD2， ∴CD＝， ∴DE＝＝＝， ∵四边形ADCF是平行四边形， ∴DF＝2DE＝． 24．（1）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴DB＝DC，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵O是AD的中点， ∴OA＝OD， 在△AOE和△DOB中， ， ∴△AOE≌△DOB（SAS）， ∴AE＝DB，∠OAE＝∠ODB， ∴AE＝DC，AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCE是矩形； （2）解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD＝BC，AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝BC， ∴BD＝AD， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2， 即AD2+（AD）2＝102， 解得：AD＝4（负值已舍去）， 由（1）可知，四边形ADCE是矩形， ∴EC＝AD＝4． 25．（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA． ∵对角线AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA， ∴AB＝BC． ∵AB＝AD， ∴BC＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形． （2）解：设CD＝x， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD＝x． ∵DE＝4，BE＝8， ∴CE ＝ BE﹣BC ＝ 8﹣x， ∵DE⊥BC， ∴DE2+CE2＝CD2， ∴42+（x﹣8）2＝x2， 解得x＝5， ∴CD的长为5． 26．解：如图1，PQ＝CD，且PQ与CD不平行，作CE∥PQ交AD于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝12cm，∠D＝∠B＝60°， ∴PE∥CQ， ∴四边形PQCE是平行四边形， ∴CE＝PQ＝CD，PE＝CQ， ∴△CDE是等边三角形， ∴ED＝CD＝6cm， ∵AP＝tcm，PE＝CQ＝3tcm， ∴t+3t+6＝12， 解得t＝1.5； 如图2，PQ＝CD，且PQ∥CD，则四边形PQCD是平行四边形， ∴PD＝CQ＝3tcm， ∴12﹣t＝3t， 解得t＝3， 综上所述，当PQ＝CD时，t的值为1.5或3． 故选：C． 27．解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°， ∵AB＝6，AD＝8， ∴BD＝， 连接CG， ， ∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F， ∴四边形GFCE是矩形， ∴EF＝GC， ∴当CG最小时，EF最小， ∴当CG⊥BD时，CG最小， ∵， ∴， ∴CG＝4.8， ∴EF最小值为4.8， 故答案为：4.8． 28．解：延长BD交AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAN， ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ADN． ∴∠ABN＝∠ANB， ∴AN＝AB＝6， ∴CN＝AC﹣AN＝9﹣6＝3， ∵AB＝AN，AD⊥BN， ∴BD＝DN， ∵M为BC的中点， ∴MD是△BCN是的中位线， ∴MD＝CN＝1.5． 故答案为：1.5． 29．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB； 由折叠的性质可得AB＝AB′，BE＝B′E，∠BAE＝∠B′AE， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴AB＝BE， ∴AB＝AB′＝BE＝B′E， ∴四边形ABEB′是菱形， 故答案为：菱形； （2）四边形AB′DC是等腰梯形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝6，AB＝CD， ∴∠DAC＝∠ACB； 由折叠的性质可得AB＝AB′，BC＝B′C＝6，∠ACB＝∠ACB′， ∴∠ACB′＝∠DAC， ∴AF＝CF＝4， ∵B′C＝6＝AD， ∴AD﹣AF＝B′C﹣CF， ∴B′F＝DF＝2； ∵B′E⊥AD，即B′C⊥AD， ∴∠AFC＝∠B′FD＝∠AFB′＝∠CFD＝90°， ∴△AFC和△B′FD都是等腰直角三角形， ∴∠FCA＝45°＝∠FB′D， ∴AC∥B′D； 由勾股定理得，， ∴AC≠B′D， ∴四边形AB′DC是梯形， 又∵AB′＝AB＝CD， ∴四边形AB′DC是等腰梯形； （3）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， 由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEB′， ∴∠AEG＝∠DAE， ∴AG＝EG， ∴当EG⊥AD时，EG有最小值，即此时AG有最小值； 当EG⊥AD时，则EG⊥BC， 又∵AM⊥BC， ∴∠AMB＝∠AME＝∠AGE＝∠GEM＝90°， ∴四边形AMEG是矩形， ∴EG＝AM； 在Rt△ABM中，∠BAM＝90°﹣∠B＝30°， ∴， ∴， ∴EG的最小值为，即AG的最小值为， 故答案为：． 30．解：（1）如图，延长GD交BE于J． ∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCG＝90°，CE＝CG， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴BE＝DG，∠BEC＝∠CGD， ∵∠BEC+∠EBC＝90°， ∴∠DGC+∠EBC＝90°，即∠GJB＝90°， ∴DG⊥BE， 故答案为：DG＝BE；DG⊥BE． （2）①结论：DG＝BE；DG⊥BE．理由： 如图，延长BE，交GD的延长线于点H， ∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠ECG＝90°，CE＝CG， ∴∠BCE＝∠DCG， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴∠EBC＝∠CDG，BE＝DG， ∵∠CDG+∠EDH＝180°﹣∠CDE＝90°， ∴∠EBC+∠EDH＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DEH＝∠CBE， ∴∠EDH+∠DEH＝90°， ∴∠DHE＝90°， ∴DG⊥BE． ②如图，过点G作GH⊥BC， ∵AE＝1，AD＝4， ∴DE＝3， ∵∠ECG＝∠DCH＝90°， ∴∠ECD＝∠GCH， 又∵EC＝CG，∠EDC＝∠H＝90°， ∴△ECD≌△GCH（AAS）， ∴DE＝GH＝3，CH＝CD＝4， ∴BH＝BC+CH＝8， ∴； （3）如图，作点D关于直线GH的对称点T，连接DT，BT，GT，设DT交直线GH于点M，则DG＝GT， 由（2）得：可知，CH＝4，GH⊥BH， ∴GH∥CD， ∴点G的运动轨迹是直线GH，直线GH与直线CD之间的距离为4， 即DM＝4， ∴DT＝2DM＝8， ∴AT＝12， 在Rt△ABT中，∵∠A＝90°，AT＝12，AB＝4， ∴， 由（2）得：BE＝DG， ∴BE＝GT， ∴BE+BG＝BG+GT， ∵GB+GT≥BT， ∴， ∴BE+BG的最小值为， 故答案为：． 31．解：（1）设AC，EF交于O，如图①， ∵点O是▱ABCD的对称中心， ∴OA＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∵AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴S△ABC＝S△CDA， ∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S四边形ABFE＝S四边形CDEF， 故答案为：＝； （2）如图②，连接AC，BD交于P，连接BF，GE交于Q， 过点P，Q作直线l， 则直线l即为所求； （3）∵EF平分▱ABCD的面积， ∴EF经过▱ABCD的对称中心，且AE＝CF， ∵四边形ABFE的周长为15， ∴AE+AB+BE+EF＝15， ∵AB＝4，BC＝6， ∴AB+BC＝AB+BF+CF＝AB+BF+AE＝10， ∴EF＝AE+AB+BE+EF﹣（AB+BF+AE）＝5， 故答案为：5． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $