第二十章 勾股定理 2026年人教版八升九数学暑假复习作业

**基本信息** 本练习以勾股定理为核心，通过基础训练、能力提升、拓展探究三层设计，构建从概念理解到综合应用再到创新探究的知识巩固路径，适配八升九暑假复习需求，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|勾股定理及逆定理、勾股数、逆命题|选择填空为主，侧重基本运算与概念辨析，如直角三角形边长计算| |能力提升|几何意义、实际应用、综合计算|结合生活情境（如测量、最短路径），培养推理能力，如圆桶内最长木棒问题| |拓展探究|旋转辅助线、新定义（k股三角形）|通过阅读理解与开放题，发展创新意识，如k股三角形概念探究|

答案与解析 1.解：在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.由勾股定理得： 故答案为 B. 2.解：勾股数须满足：三个正整数，且较小两数的平方和等于最大数的平方. A选项：2²+3²=4+9=13≠4²=16，不是勾股数 B选项：0.3、0.4、0.5不是正整数，不是勾股数 C选项：7²+24²=49+576=625=25²，是勾股数 D选项：1、√2、√3不是正整数，不是勾股数 故答案为 C. 3.解：A选项：∠A=∠B-∠C，即∠A+∠C=∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，则2∠B=180°，∠B=90°，可判定直角三角形 B选项：∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数12，∠C=180°×5/12=75°≠90°，不能判定直角三角形 C选项：a:b:c=3:4:5，设a=3k,b=4k,c=5k，则(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²，可判定直角三角形 D选项：a²+b²=c²，直接由勾股定理逆定理可判定直角三角形 故答案为 B. 4.解：A选项：原命题"对顶角相等"，逆命题"相等的角是对顶角"，不成立 B选项：原命题"等边三角形是锐角三角形"，逆命题"锐角三角形是等边三角形"，不成立 C选项：原命题"全等三角形的对应角相等"，逆命题"对应角相等的三角形是全等三角形"，不成立（相似即可） D选项：原命题"两直线平行，同位角相等"，逆命题"同位角相等，两直线平行"，成立 故答案为 D. 5.解：点P(3,-4)到原点的距离为： 故答案为 C. 6.解：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=5，由勾股定理得： ∵ 6²=36，7²=49，36<41<49 ∴ AC的值在6到7之间 故答案为 B. 7.解：∵ 5²+12²=25+144=169=13² ∴ 该三角形为直角三角形，最长边为13. 三角形面积： 设最长边上的高为h，则 ，解得 故答案为 . 8.解：在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，由勾股定理得： △ABC的面积： 故答案为 30. 9.解：直角三角形两条直角边分别为6cm和8cm，则斜边为： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半： 故答案为 5. 10.解：两边长分别为3和4，需分两种情况讨论： 情况一：4为直角边，则第三边为斜边： 情况二：4为斜边，则第三边为直角边： 故答案为 5或. 11.解：由图可知，AB＝12m，BC＝5m， 在直角三角形△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13（m）， ∴这棵树折断前的高度为：BC+AC＝5+13＝18（m）， 12.解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵在Rt△BCD中，BC＝5，BD＝3， ∴， ∴在Rt△ACD中，． 13．解：（1）△ACD为直角三角形，理由如下： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得： AC2＝AB2﹣BC2＝262﹣242＝100， ∴AC＝10m， 在△ACD中，CD2+AD2＝62+82＝100＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°； （2）∵， ， ∴图中种花（阴影）部分的面积＝． 14．解：由图和勾股定理可知，中间正方形的面积等于正方形A，B的面积之和，正方形D的面积等于中间正方形的面积加上正方形C的面积， ∵正方形A，B，C的面积依次为2，4，3， ∴正方形D的面积＝2+4+3＝9， 故选：A． 15．解：因为正方形ABCD面积为7，正方形面积＝边长的平方， 所以AB2＝7，边长（边长为正数，舍去负根）． 因为以A为圆心、AB长为半径画弧交数轴右侧于E，同圆半径相等， 所以， 因为数轴上点A表示的数是﹣2，点E在A的右侧，右侧数字更大，求右侧点表示的数需用A的数值加上线段长度， 所以点E表示的数为． 故选：B． 16．解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ∴， 解得， ∴边长分别为6和2，则直角三角形的面积为：． 故选：B． 17．解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个）， ∴第四代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24＝31（个）； ∴第五代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24+25＝63（个）； 故选：D． 18．解：设旗杆的高为x米，则绳子长为（x+1）米， 由勾股定理得：（x+1）2＝x2+52， 解得：x＝12， ∴旗杆的高度是12米， 故选：B． 19．解：A、∵， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 20．解：如图，过点D作DE⊥AB于E， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB＝＝＝5， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD， ∴×3×4＝×3×CD+×5×DE， ∴CD＝DE＝， 故选：B． 21．解：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴AB2+BC2+AC2＝2AB2＝2×（）2＝6， 故答案为：6． 22．解：如图，AC为圆桶底面直径，BC为圆桶的高， ∵AC＝9cm，BC＝12cm， ∴， ∴桶内所能容下的最长木棒为：15cm． 故答案为：15． 23．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠B＝30°， ∴AE＝＝1， ∵AD是BC边上的中线，BC＝6， ∴BD＝＝3， ∴△ABD的面积＝＝， 故答案为：． 24．解：过点D作DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠B＝∠DCB＝90°， ∴四边形DCBE是矩形， ∴BE＝CD＝1.1米，DE＝CB＝1.2米（矩形的性质）， ∵AE＝AB﹣BE＝1.6﹣1.1＝0.5（米）， ∴（米）． 则该感应器感应长度AD为1.3米， 25．解：∵AB＝1.5km，AD＝1.2km，BD＝0.9km，且1.22+0.92＝1.52， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， 由垂线段最短可知AD是从A到河边的最近道路， 故答案为：是． 26．解：（1）由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝5， 故答案为：；2；5； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB2+BC2＝（）2+（2）2＝25，AC2＝52＝25， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形． 27．解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，AC＝1.5m，DC＝0.9m， ∴（m）， 在Rt△ADB中，AB＝2m，AD＝1.2m， ∴（m）， ∴BD的长为1.6m； （2）△ABC为直角三角形； 理由：由（1）知，BD＝1.6m， ∴BC＝BD+DC＝1.6+0.9＝2.5（m）， ∵AB＝2m，AC＝1.5m， ∴AB2+AC2＝22+1.52＝6.25， BC2＝2.52＝6.25， AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 28．解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2， ∴CB2+AD2＝BO2+CO2+OD2+OA2＝64+9＝73， ∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝BO2+AO2+OC2+OD2＝（BO2+OD2）+（AO2+OC2）＝CB2+AD2＝73． 29．解：（1）在Rt△OAB中， ∵AB＝30米，OA＝24米，OE＝3米， ∴OB＝＝＝18（米）， ∴BE＝OB+OE＝18+3＝21（米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）由题意得BD＝6米， ∵CD＝30米，OD＝OB+BD＝18+6＝24（米）， ∴OC＝＝＝18（米）， ∴AC＝OA﹣OC＝24﹣18＝6（米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为6米． 30．解：（1）在△ABD中，AB2+BD2＝122+92＝225，AD2＝152＝225， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得：BC＝＝＝5， ∴CD＝BD﹣BC＝9﹣5＝4； （2）如图，过点C作CE⊥AD于E， ∵AC平分∠BAD，∠B＝90°，CE⊥AD， ∴CE＝BC＝9， 由勾股定理得：DE＝＝＝12， 在Rt△ABC和Rt△AEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL）， ∴AE＝AB， 在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即AB2+242＝（AB+12）2， 解得：AB＝18． 31．解：（1）由题意得：∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米，CD＝1.5米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC＝＝8（米）， ∴AD＝AC+CD＝8+1.5＝9.5（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为9.5米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米时， ∴A′C＝A′A+AC＝12+8＝20（米）， 在Rt△A′BC中，由勾股定理得：A′B2＝A′C2+BC2， ∴A'B＝＝15（米）， ∴25﹣17＝8（米）， 答：他应该再放出8米线． 32．解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C，连接PP'. 旋转后，AP旋转到AP'，∠PAP'=60°，∴ △APP'为等边三角形，PP'=PA=3. 由旋转性质：P'C=PB=4. 在△PP'C中，PP'=3，P'C=4，PC=5. ∵ 3²+4²=9+16=25=5² ∴ PP'²+P'C²=PC²，由勾股定理逆定理得∠PP'C=90°. ∴ ∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150° 故答案为 C. 33．解：把大树看作圆柱，其侧面展开图为矩形，则矩形的长为4m， 缠木七周，则长为28m， ∵大树高为14m， ∴这条腾条长度为（m）． 故答案为：14． 34．解：（1）判断三角形的形状 由 ，移项得： 将338拆分为25+144+169： 即： ∵ 平方数非负，∴ ，， 得 ，， ∵ ∴ △ABC是直角三角形. （2）证明 连接AM. 在Rt△ACM中，由勾股定理： 在Rt△BDM中，由勾股定理： 在Rt△ADM中，由勾股定理： 将①代入③得： 又M是BC的中点，∴ 由②得 ，代入上式： 即 . 35．解：（1）在直角三角形中，三边分别为a，b，c（斜边）， 根据勾股定理有：a2+b2＝c2＝1×c2，此时k值为1， 即直角三角形为1股三角形； 举反例即可判定锐角三角形、钝角三角形不一定为k股三角形， 故答案为：②； （2）该三角形是k股三角形，理由如下： ∵三角形的三边分别为2，4，， 即22+42＝20，， ∴，即k＝2， ∴该三角形是2股三角形； （3）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，， ∴，， 即：， 当AC2+AB2＝4BC2时，即Rt△ABC是4股三角形，此时k＝4， 当BC2+AC2＝AB2＝1×AB2时，即Rt△ABC是1股三角形，此时k＝1， 当时，k值不为整数，故舍去， 即：k的值为1或4． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 八升九暑假复习作业 一、知识梳理 （一）勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为、， 斜边长为，那么. 即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的几何意义：以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积.如图：. 勾股定理的应用条件： (1)必须在直角三角形中使用； (2)明确哪条边是斜边（最长边）. （二）勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长、、满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 用途：已知三角形的三边长，判断该三角形是否为直角三角形. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41. （三）勾股定理的应用 常见应用类型： (1)已知直角三角形的任意两边，求第三边； (2)实际生活中的测量问题（如测距离、高度、宽度等）； (3)立体图形中两点间的最短路径问题（将立体展开为平面）； (4)利用勾股定理建立方程求解. （四）互逆命题与互逆定理 互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理. 注意：一个定理的逆命题不一定成立，需要经过证明才能判断. 二、基础训练 1.在中，，，，则的长为（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 2.下列各组数是勾股数的是（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 3.在中，、、的对边分别为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 4.下列命题的逆命题成立的是（　　） A.对顶角相等　　　 B.等边三角形是锐角三角形 C.全等三角形的对应角相等　　　 D.两直线平行，同位角相等 5.在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若BC＝5，AB＝4，估计AC的值在（　　） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 7.若一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形最长边上的高为___________. 8.在中，，，，则的面积为___________. 9.一个直角三角形的两条直角边分别为cm和cm，则斜边上的中线长为___________cm. 10.若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为___________. 11.如图，强台风时一棵大树在距离地面5m的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为12m，则这棵树折断前的高度为__________. 12.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝8，BC＝5，BD＝3．求AD的值． 13.如图，某公园把一块△ABC土地划出一个△ACD种草，其余部分种花，测得CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，∠ACB＝90°． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求图中种花（阴影）部分的面积． 三、能力提升 14．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．2 D．45 15．面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为﹣2，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 16．将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2，则一个直角三角形的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 17．如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．31 B．51 C．53 D．63 18．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（　　） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 19．勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于点D，则线段CD的长度为（　　） A． B． C． D． 21．在△ABC中，∠C＝90°，若，则AB2+BC2+AC2＝　 　． 22．如图，一个圆桶底面直径为9cm，高12cm，则桶内所能容下的最长木棒为　 　cm． 23．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝2，BC＝6，∠B＝30°，则△ABD的面积为　 　． 24．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝1.6米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.1米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为___________. 25．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道CA，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路AD（点D在BC上）．经测量：AB＝1.5km，AD＝1.2km，BD＝0.9km．则AD是否为从A到河边的最近道路　 　 （请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 26．17.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，点A，B，C均在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）AB＝　 　 ，BC＝　 　 ，AC＝　 　 ； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 27．如图，在三角形支架中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2m，AC＝1.5m，DC＝0.9m． （1）求BD的长； （2）判断支架外框△ABC的形状，并说明理由． 28．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝3，BC＝8，求AB2+CD2的值 ． 29．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 30．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，连接AD． （1）若AB＝12，AD＝15，AC＝13，BD＝9，求CD的长； （2）若∠B＝90°，AC平分∠BAD，BC＝9，CD＝15，求AB的长． 31．五一假期，数学兴趣小组的同学来到湛江渔港公园放风筝．他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识解决实际问题．小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即CD＝BE＝1.5米）根据以上信息，解决下列问题： （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线DA方向再上升12米，且BC长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 四、拓展探究 32．如图，是等边三角形内一点，，，，则的度数为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 33．有一棵树（将树看作一个圆柱）高14m，底面周长是4m，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树7圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度是　 　 m． 34．阅读理解】 已知、、是的三边，且满足，试判断的形状. 解：， ， ， ， ， 是等边三角形. 【解决问题】 （1）已知、、是的三边，且满足，试判断的形状. （2）如图，在中，，是的中点，于点，求证：. 35．我们定义一种三角形——k股三角形：如果一个三角形的三边分别为a，b，c，满足a2+b2＝kc2（k为正整数），那么称此三角形为k股三角形． 例如：△ABC三边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，，a2+b2＝5c2，所以△ABC为5股三角形． 【新知理解】 （1）下列三角形中一定是k股三角形的是　 　（填序号）； ①锐角三角形，②直角三角形，③钝角三角形； （2）若三角形的三边分别为2，4，，这个三角形是否为k股三角形；若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 【知识探究】 （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，若此三角形为k股三角形，求k的所有可能值． 第1页共8页 学科网（北京）股份有限公司 $