第十九章 二次根式 2026年人教版八升九数学暑假复习作业

**基本信息** 本练习为八升九暑假二次根式复习作业，通过“基础-能力-拓展”三层设计，实现从概念巩固到综合应用再到创新探究的知识进阶，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|概念、性质、基本运算|以选择填空为主，如二次根式意义判断、简单化简，夯实核心知识点| |能力提升|综合运算、实际应用|结合数轴、几何图形（矩形面积）及实际问题（高空抛物），提升运算与应用能力| |拓展探究|规律探究、知识迁移|通过等式规律归纳、方法迁移（如阅读理解题），发展创新意识与推理能力|

答案与解析 二、基础训练 1．下列各式中，一定是二次根式的是（ B ） A．　　B．　　C．　　D． 解析： 二次根式的定义是形如 （）的式子。A 中被开方数 ，无意义；B 中 满足 ，一定是二次根式；C 中 可能为负数；D 中 是三次根式，不是二次根式。 2．若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ B ） A．　　B．　　C．　　D． 解析： 二次根式有意义 被开方数 ，即 ，解得 。 3．化简 的结果是（ B ） A．　　B．　　C．　　D． 解析： ，利用性质 。 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ C ） A．　　B．　　C．　　D． 解析： 最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。A 中 ，B 中 ，均含能开得尽方的因数；D 中被开方数含分母；只有 C 满足条件。 5．下列计算正确的是（ C ） A．　　B．　　C．　　D． 解析： A 中 与 不是同类二次根式，不能合并；B 中 ；C 中 ，正确；D 中 。 6．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ B ） A． 与 　　B． 与 　　C． 与 　　D． 与 解析： 化为最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式。A 中被开方数不同；B 中 与 被开方数均为 ，是同类二次根式；C 中 与 不同；D 中 与 不同。 7．， 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是（ A ） 解析： 从数轴位置可判断 ，，且，A选项的被开方数大于0，正确。 8．若 ，则 。 解析： 利用非负性：，，和为零则各自为零。 。 9．比较大小： ____ 。（填""""或""） 解析： 采用平方法比较。 ，且均为正数，。 答案： 10．若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 。 解析： 需同时满足分子二次根式有意义和分母不为零。 11．当 时，二次根式 的值是 。 解析： 。 12．已知 是一个正整数， 是整数，则 的最小值为 。 解析： 。 为整数 为完全平方数。现有 已是完全平方，只需再补一个 ，即 最小为 。验证：，是整数。 13．已知矩形的宽是 ，长是 ，则它的周长是 。 解析： 。 周长 。 14．计算： （1） （2） （3） （4） 三、能力提升 15．若 ，则 的取值范围是（ B ） A．　　B．　　C．　　D． 解析： 。由 得 ，即 。 16．若 ，，化简 的结果是（ B ） A．　　B．　　C．　　D． 解析： 。，。原式 。 17．若 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 的值为（ A ） A．　　B．　　C．　　D． 解析： ，，。整数部分 ，小数部分 。。 18．已知 ，则 的值为（ B ） A．　　B．　　C．　　D． 解析： 19．如图，一个矩形被分割成四部分。已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为 ，阴影部分的面积为 ，则正方形③的面积为（ D ） A．　　B．　　C．　　D． 解析：由添加可知阴影部分的长为：， ∴正方形②的边长为：， ∴正方形③的边长为：， ∴正方形③的面积为：． 故选：D． 。 20．等式 成立的条件是 。 解析： 成立的条件是 ，。 21．若实数 满足，则 的值是 。 解析：由 可知 。在此范围内，。 22．如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是 和 ，那么图中两块阴影部分的面积和是 。 解析： 面积 的正方形边长为 ，面积 的正方形边长为 。矩形长 ，宽 。矩形面积 。两块阴影面积 矩形面积 两个正方形面积 。 23．物体自由下落的高度（m）与所需的时间 （s）满足关系式 （）。如果 个鸡蛋从离地面 的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是 。 解析： 取 ，则 。（负值舍去）。 24．已知 ， 为实数，且 ，则 的值为 。 解析： ，，和为零则各自为零。 25．已知 、、 在数轴上的位置如图所示，化简结果为 （具体需结合数轴位置确定符号）。 解析： 由数轴可知 。 26．已知 ，。 （1）求 的值 （2）若 的整数部分是 ， 的小数部分是 ，求 的值 解析： ， 的整数部分 ； 的整数部分为 ，小数部分 。 27．李老师家装修，矩形电视背景墙 的长为 ，宽 为 ，中间要镶一个长为 ，宽为 的矩形大理石图案。 （1）电视背景墙的周长是多少？ 解析： ，。 （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为 元/，大理石造价为 元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？ 解析： 背景墙面积 。大理石面积 。壁纸面积 。 总花费 元。 28．【探究发现】 观察下列等式： ，， （1）请用含 的等式表示上述规律： （2）证明你发现的规律。 29．"欲穷千里目，更上一层楼"。若观测点的高度为 （km），观测者视线能达到的最远距离为 （km），则 ，其中 是地球半径，通常取 km。 （1）小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度 为 km，求此时 的值。 （2）已知一座山的海拔 m，这座山顶部到海边的最短距离约为 km，天气晴朗时站在山顶部能否看到大海？请说明理由。 解析： 。 ，所以可以看到大海。 30．【课本再现】 一般地，如果一个非负数 的平方等于 ，即 ，那么这个非负数 叫做 的算术平方根，记为 。 【探究新知】（1）若 ，则 的取值范围是 。 （2）若 ，求 的值。 解得 ，。。 （3）若 ，求 的值。 解析： 二次根式有意义需 ，∴ ，∴=2026，∴=，∴=2027。 四、拓展探究 31．二次根式有意义需 ，∴原式= =1 32．观察下列等式： 第 1 个等式： 第 2 个等式： 第 3 个等式： …… （1）按以上规律写出第 个等式： （2）计算： （3）计算： 33．【规律探究】 观察下列各式： （1）根据你发现的规律填空： （2）利用（1）中的规律计算： 34．【阅读理解】 已知 ，，试求 的值。 解：，， 。 【解决问题】 （1）已知 ，，求 的值。 （2）已知 ，，求 的值。 （3）已知 ，，求 的值。 35．【问题背景】 已知实数 、 满足 。 （1）求 、 的值。 解析： 二次根式有意义：。代入得 。 （2）若 、 是 的两条直角边长，求 的斜边长。 【类比迁移】 已知实数 、 满足 ，求 的值。 解析： 。代入得 。 或 。 36．【知识迁移】 （1）化简： 设 （），则 。 解得 ，，。 （2）请利用上述方法化简下列各式： ① ，设 。 。 ② 设 （）。 。 ③ ，设 。 。 37．【探究问题】 （1）观察下列各式的规律： …… 猜想：（ 为正整数）。 （2）证明你的猜想。 （取正值）。 （3）利用（1）的结论计算： 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章二次根式 八升九暑假复习作业 一、知识梳理 （一）二次根式的概念与性质 二次根式的概念： 一般地，形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，叫做被开方数.二次根式是代数式. 注意：二次根式有意义的条件是被开方数. 二次根式的性质： （1）双重非负性：且（即二次根式本身非负，被开方数也非负）； （2）（）； （3）. （二）二次根式的乘法与除法 二次根式的乘除法 乘法法则：（）. 公式逆用：（）. 除法法则：（）. 公式逆用：. 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.示例：与是同类二次根式. （三）二次根式的加法与减法 二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并． 基本步骤： （1）先将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出同类二次根式； （3）合并同类二次根式（系数相加减，根号部分不变）. 合并法则：（）. 分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 常用方法：分子、分母同时乘以分母的有理化因式. 示例：，. （四）二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数混合运算相同：先乘方（开方）、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的. 常用运算律：交换律、结合律、分配律在二次根式运算中同样适用. 二、基础训练 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 3．化简的结果是（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 5．下列计算正确的是（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 6．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与　　　 B．与　　　 C．与　　　 D．与 7．a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是（　　） A． B． C． D． 8．若，则_____________． 9．比较大小：．（填“”“”或“”） 10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____________． 11．当a＝　 　 时，二次根式的值是0． 12．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为 　 ． 13．已知矩形的宽是，长是，则它的周长是　 　 ． 14．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 三、能力提升 15．若，则的取值范围是（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 16．若，，化简的结果是（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 17．若的整数部分是，小数部分是，则的值为（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 18．已知，则的值为（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　 D． 19．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　） A． B． C． D． 20．等式成立的条件是　 　． 21．若实数x满足，化简|2﹣x|+|3﹣x|的结果是___________． 22．如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是1cm2和5cm2，那么图中两块阴影部分的面积和是　 　 cm2． 23．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度hm与所需的时间ts满足关系式．如果1个鸡蛋从离地面60m的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是 　 　 s． 24．已知x，y为实数，且，则xy的值为　 　 ． 25．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：＝　 　． 26．已知，． （1）求m2﹣mn+n2的值； （2）若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求ma+nb的值． 27．李老师家装修，矩形电视背景墙BC的长为m，宽AB为m，中间要镶一个长为m，宽为m的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元/m2，大理石造价为150元/m2，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 28．【探究发现】 观察下列等式： （1）请用含的等式表示上述规律：__________________（且为正整数）． （2）证明你发现的规律． 29．“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h（km），观测者视线能达到的最远距离为d（km），则，其中R是地球半径，通常取6400km． （1）小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为0.02km，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值； （2）已知一座山的海拔320m，这座山顶部到海边的最短距离约为60km，天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能否看到大海？请说明理由． 30．【课本再现】一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数a为非负数． 【探究新知】（1）若，则a的取值范围是 　 ． 【知识应用】（2）若，求（a+b）2025的值． 【拓展应用】（3）若，求a﹣20262的值． 四、拓展探究 31．化简的值为　 　． 32．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 请解答下列问题： （1）按以上规律写出第个等式：______________________； （2）计算：； （3）计算：. 33．【规律探究】 观察下列各式： （1）根据你发现的规律填空： ______________________； ______________________（为正整数）． （2）利用（1）中的规律计算： ． 34．【阅读理解】 已知，，试求的值． 解：，， ． 【解决问题】 （1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求的值． 35．【问题背景】 已知实数、满足． （1）求、的值； （2）若、是的两条直角边长，求的斜边长． 【类比迁移】 已知实数、满足，求的值． 36．【知识迁移】 （1）化简：； 提示：设（）， 则， 得，解得，， ． （2）请利用上述方法化简下列各式： ①；②；③． 37．【探究问题】 （1）观察下列各式的规律： ； ； ； …… 猜想：（为正整数）． （2）证明你的猜想． （3）利用（1）的结论计算：的值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $