1.1.2空间向量的数量积运算导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量数量积运算，涵盖概念、性质、投影向量及运算律，通过“平面数量积能否推广到空间”的问题导入，衔接平面向量知识，搭建从平面到空间的学习支架，助力解决立体几何中的夹角、长度及垂直证明问题。 资料以问题驱动激发探究，例题与变式题梯度设计，强化运算推理与空间想象，易错点提示与巩固加练深化理解。通过数学眼光发现问题，数学思维构建逻辑，数学语言解决立体几何问题，培养学生理性精神与应用意识，提升学习效率。

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量的数量积运算 学习目标　1.掌握空间向量数量积的定义及性质。2.了解投影向量的定义及空间向量数量积的运算律。3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题。 问题 立体几何里，我们经常求异面直线夹角、线面角、二面角、线段长度、垂直证明，只用几何法作图找角很麻烦，能不能把平面数量积推广到空间。 一、空间向量数量积的概念及性质 知识梳理 (1)空间向量的夹角 已知两个非零向量,,在空间任取一点O,作=,=,则∠AOB叫做向量,的夹角,记作 。 如果<,>=,那么向量, ,记作 。 (2)空间向量数量积的定义 已知两个非零向量,,则 叫做,的数量积,记作·。即·= 。 特别地,零向量与任意向量的数量积为0。 (3)空间向量数量积的性质 由向量的数量积定义,可以得到: ⊥⇔·=0; ·=||||cos<,>=||2。 【例1】如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: (1)·;(2)·;(3)·。 【变式1-1】（多选）四面体中，各棱长均为，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【例2】已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量， ．求向量与的夹角. 【变式2-1】如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【变式2-2】如图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值． 【例3】 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长． 【变式3-1】如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段。又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长。 二、空间向量的投影向量及运算律 (1)投影向量 如图①,在空间,向量向向量投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,= ,向量c称为向量在向量上的投影向量。类似地,可以将向量向直线l投影(图②)。 　　　 ①　　　　　　　②　　　　　　　③ 如图③,向量向平面β投影,就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为,得到向量,向量 称为向量在平面β上的投影向量。这时,向量,的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角。 (2)空间向量的数量积满足的运算律 (λ)·=λ ,λ∈R; ·= (交换律); (+)·= (分配律)。 【例4】已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线. 【变式4-1】如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD。 易错点提示 （1）向量的夹角与直线夹角范围的区别:两向量夹角的范围为[0,π],两直线夹角的范围为。（2）空间向量的数量积不满足结合律。（3）向量没有除法运算. 巩固加练 1.下列命题中,不正确的有 ( ) A.=|| B.()·=()· C.·(+)=(+)· D.2=2 2.已知向量,满足条件:||=2,||=,且与2-互相垂直,则<,>等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.已知空间向量,,两两夹角均为60°,其模均为1,则|-+2|= ( ) A.5 B.6 C. D. 4.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距（ ） A． B． C． D． 5.（多选）已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是 ( ) A.与 B.与 C.与 D.与 6.（多选）在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列选项正确的是 ( ) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为|··| 7. 已知空间向量，，设，，与垂直，， ，则________． 8.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是 . 9.如图,正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面边长为。 (1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1; (2)设与的夹角为,求侧棱的长。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量的数量积运算 学习目标　1.掌握空间向量数量积的定义及性质。2.了解投影向量的定义及空间向量数量积的运算律。3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题。 问题 立体几何里，我们经常求异面直线夹角、线面角、二面角、线段长度、垂直证明，只用几何法作图找角很麻烦，能不能把平面数量积推广到空间。 参考答案　完全可以把平面向量数量积推广到空间，由此诞生空间向量数量积，它能统一解决立体几何中求长度、证垂直、求异面直线夹角、线面角、二面角等所有角度与距离问题，大幅避开几何法复杂的辅助线、找角证明。空间中任意两个向量，都可以通过平移，将它们的起点移到同一点，此时两个向量共面。 既然共面，平面内向量夹角的定义、投影的概念对空间向量依然成立，因此完全可以类比平面向量，定义空间向量数量积。 一、空间向量数量积的概念及性质 知识梳理 (1)空间向量的夹角 已知两个非零向量,,在空间任取一点O,作=,=,则∠AOB叫做向量,的夹角,记作<,>。 如果<,>=,那么向量,互相垂直,记作⊥。 (2)空间向量数量积的定义 已知两个非零向量,,则||||cos<,>叫做,的数量积,记作·。即·=||||cos<,>。 特别地,零向量与任意向量的数量积为0。 (3)空间向量数量积的性质 由向量的数量积定义,可以得到: ⊥⇔·=0; ·=||||cos<,>=||2。 【例1】如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: (1)·;(2)·;(3)·。 【答案】(1) (2) (3)- 【解析】(1)·=·=||||·cos<,>=×1×1×cos 60°=,所以·=。 (2)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 0°=,所以·=。 (3)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 120°=-,所以·=-。 【变式1-1】（多选）四面体中，各棱长均为，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】依题意，四面体ABCD是正四面体， 对于A，，，A不是； 对于B，，，B是； 对于C，因是的中点，则，而，，C不是； 对于D，因是的中点，则，，D是. 故选：BD 【变式1-2】如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】 故选：B 【例2】已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量， ．求向量与的夹角. 【答案】 【解析】因为，是两个空间单位向量，它们的夹角为， 所以， 所以； 因为， 所以，，所以， 因为，所以，即向量与的夹角为. 【变式2-1】如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 【变式2-2】如图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值． 【答案】 【解析】设，，， 则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c三个向量两两夹角均为60°， ∴． ∵ ． ∴，故所成角的余弦值为 【例3】 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长． 【答案】（1）7.5 （2） 【解析】（1），； （2） ． 【变式3-1】如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段。又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长。 【答案】2 【解析】因为CA⊥AB,BD⊥AB,所以<,>=120°。因为=++,且·=0,·=0,所以||2=·=(++)·(++)= ||2+||2 +||2+2·+2·+2·=||2+||2+||2+2||||cos<,>=62+42+82+2×6×8×=68,所以||=2,故CD的长为2. 二、空间向量的投影向量及运算律 (1)投影向量 如图①,在空间,向量向向量投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,=||cos<,>,向量c称为向量在向量上的投影向量。类似地,可以将向量向直线l投影(图②)。 　　　 ①　　　　　　　②　　　　　　　③ 如图③,向量向平面β投影,就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为,得到向量,向量称为向量在平面β上的投影向量。这时,向量,的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角。 (2)空间向量的数量积满足的运算律 (λ)·=λ(·),λ∈R; ·=·(交换律); (+)·=·+· (分配律)。 【例4】已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线. 【解析】证明：如图，设，， 由题意，可知，且、、三向量两两夹角均为60° ， ∴ ∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD，∴MN为AB与CD的公垂线. 【变式4-1】如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD。 【解析】证明：设=,=, =, 则·=0,·=0,·=0,||=||=||。 因为= +=+(+)=+a+, =-=-, =+ =(+) +=+-, 所以·=·(-)=·-·+·-2+2-· =(2-2)=(||2-||2)=0。 所以⊥,即A1O⊥BD。 同理可证⊥,即A1O⊥OG。 又BD∩OG=O,所以A1O⊥平面GBD。 易错点提示 （1）向量的夹角与直线夹角范围的区别:两向量夹角的范围为[0,π],两直线夹角的范围为。（2）空间向量的数量积不满足结合律。（3）向量没有除法运算. 巩固加练 1.下列命题中,不正确的有 ( ) A.=|| B.()·=()· C.·(+)=(+)· D.2=2 【答案】D 【解析】ABC正确;D不正确,因为等式左边表示与共线的向量,右边表示与共线的向量,两者方向不一定相同。 2.已知向量,满足条件:||=2,||=,且与2-互相垂直,则<,>等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】B 【解析】根据与2-互相垂直,得·(2-)=0,即2·=||2=4,解得·=2,所以cos<,>===,又0°≤<,>≤180°,所以<,>=45°。 故选B。 3.已知空间向量,,两两夹角均为60°,其模均为1,则|-+2|= ( ) A.5 B.6 C. D. 【答案】C 【解析】由题意得·=·=·=,2=2=2=1,所以|-+2|== ==。 4.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于， 所以 ， 所以，故甲，乙两人相距70m．故选：A． 5.（多选）已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是 ( ) A.与 B.与 C.与 D.与 【答案】BCD 【解析】因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0;因为由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以AD⊥PB,故·=0;同理·=0。故选BCD。 6.（多选）在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列选项正确的是 ( ) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为|··| 【答案】AB 【解析】如图所示,(++)2=(++)2==3;·(-) =·=0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°;正方体的体积为||||||。故选AB。 7. 已知空间向量，，设，，与垂直，， ，则________． 【答案】 【解析】∵，∴，化简得， 又∵， ， ， ∴，∴．故答案为： 8.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是 . 【答案】[0,1] 【解析】依题意,设=λ,其中λ∈[0,1],·=·(+)=·(+λ)=+λ·=1+λ×1××=1-λ∈[0,1]。因此·的取值范围是[0,1]。 9.如图,正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面边长为。 (1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1; (2)设与的夹角为,求侧棱的长。 解　(1)证明:=+,=+。因为BB1⊥平面ABC,所以·=0, ·=0。又△ABC为正三角形,所以<,>=。所以·= (+ )·(+)=·+·++·= ||·||·cos<,>+=-1+1=0,所以⊥,所以AB1⊥BC1。 (2)由(1)知·=||·||·cos<,>+=-1。又||= = =||,所以<,>==, 所以||=2,即侧棱长为2。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $