1.1.2 空间向量的数量积运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

学习讲义参考答案与解析 第一章 空间向量与立体几何： 应=花+萨=亦，所以AG+号证-：②点M在年面AC内 由(1)知MA,MB,MC共面且过同一点M, 1.1.1 空间向量及其线性运算 号A心-A 所以M,A,B,C四点共面，从而点M在平 面ABC内. 必备知识·自主梳理 (2)因为E,F,H分别为边CD,AD和BC:素养演练·提升技能 () 1.C[BM=2MC,点N是棱AD的中点， 1.大小方向大小长度a,b 的中点，所以号(A店+A花一市)= 名(2Ai-AD)=Ai-号A=Ai- ∴i=-号B就=Ai. AB2.零向量模为1相等相反 相同相等同向等长互相平行 流+赢+=-号（配-商）- 共线向量 AF-FH. 即时小练 (3)号A店+A花+号Ai=是(AB+ +亦-号成-号花+茄.又 1.(1)/ (2)X提示两个向量的终点重合，起： 点不知如何，则其方向的关系不能确定， 花+市)=A+专（花-店）+： M=xi+yA花+：市x=-号， (3)/ 2.C 专亦-商-峦+合（武+动）- (二) AB+子×2=AB+号B脏=AB+BG;（-号）×-日.] OiCA0a十aa+b -AG. 即时小练 :2.B[由已知可得AB=DC,由相等向量的 定义可知，四边形ABCD的一组对边平行 2.B[:MC-流花+G,流-含花衣aA可A二-Ad-- 1.0 :对点训练 且相等，所以四边形ABCD是平行四边 形，无法判断其是不是矩形.故选B.门] BD:BC+BB,-DC=BC+CD,=:3.ABCC作出平行六面体ABCD-AB'C =+Ad,“MC=(A店+A)+ BD,;AD-AB-DD=BD-DD-BD:D'如图： -BB B DBD:B D-AA+DD 可得AB-CB D' d-i+名市+矿-a+之b =BD+AA+DD=BD +AABD. AB+BC=AC. 十c.故远B.] 故A正确； 2.A[连接OM,ON(图略)，M不=ON- A- (三) AB+B'C+ 相同相反共线平面a=bp=· OM=号(oi+Oi)-(0元+C= CC-AB+BC xavb +CC-AC,故 R 即时小练 分i+成-成-号=i+ B正确；C显然正确：AB+BB+BC+C它 ④ 0)-0d-号0-心)=号0i+ =AB+BC-AC,故D不正确.综上，正确 关键能力·合作探究 的有ABC.] 题点一 [典例]解析(1)A中，向量a,b平行，则！ 合O亦-导元-a十吉b-号c故4以R使得为m表线具故香盔 A∈R,使得m=n,即a-b十c=λxa十入b a,b所在的直线平行或重合：B中，a= 选A.] +c, b只能说明a,b的长度相等而方向不确1题点三 1=λx, A=1, 定：C中，向量不能比较大小，故远D. [典例]证明因为M在BD上，且BM=: 所以)一1=入y,解得 x=1, (2)A为假命题，根据向量相等的定义知， 11=λ， y=-1 两向量相等，不仅模要相等，而且还要方 合BD,所以M应=号D市=号成+5.如周，延长E 0 向相同，而A中向量a与b的方向不一定 号A成.同理，=号市+号应.所以 FB,GC,HD相交于一 相同；B为真命题，AC与AC的方向相同，： 模也相等，故AC-AC;C为真命题，向量 瓜=成+成+成-（号成+ 点0则需品 的相等满足传递性；D为假命题，空间中任 -品酝+成中 意两个单位向量的模均为1，但方向不一定 A)+威+日心+日成=号 相同，故不一定相等，所以选C 成-成+前 A序 答案(1)D(2)BC 对点训练 成=号动+成又市成不 心-+d 1.C[对于A,零向量与它的相反向量相 共线，根据向量共面的充要条件可知M,! 等，故说法错误；对于B,将空间中所有的 萨-成+成-+-成.] CDDE共面 单位向量平移到同一起点，则它们的终点！对点训练 1.1.2空间向量的数量积运算 构成一个球面，故说法错误；对于C,空间1，证明：连接GB,GD 向量与平面向量一样，既有模又有方向，不· 必备知识·自主梳理 GCL, 能比较大小，故说法正确：对于D,一个非零 向量的空间向量与它的相反向量不相等， CA CB +BA+ ∠AOB(a,b>a⊥b 即时小练 但它们的模相等，故说法错误.故选C.] AA CB+CD+ 1.(1)/ (2)×提示不一定，可能是a, 2.B[对于①AB与C1D1,③AD与C1B中的1 也可能是元-a.(3)√ 两向量，长度相等，方向相反，均互为相反： 因为G为△BC1D的A 2. 重心，所以GB+GD+GC=0, (二) 向量：对于②AC与BD,长度相等，方向不· 1.ab cos(a,b〉ab cos(a,b〉0 相反；对于④AD与BC长度相等，方向相： 又CG-CB+BC,CG-CD+D心， acos(a,b)b·aa·c+b,c2.0 同.故互为相反向量的有2对.] CG=CC+CG, 3.lal cos(a,b)bAB 题点二 所以3d花-CB+CD+CC, b [典例]解(1)因为G为△BCD的重心， ·即时小练 :1.(1)×(2)/(3)×(4)X E,F为边CD,AD的中点，所以AG+! 即元=号+i+=, 眩-令A花=A店+成+号B- 所以C亡∥CA,即A1,G,C三点共线. 关祖能力·合作银究 2.解(1)共面：由已知得OA+O+O元=！题点一 心-A店+号成+子-花=3成.所以-成=（O-O+O成[典例]解1萨.扇=号亦.前 店+硫-合花-花-合花-花- -OC),RMA=BM+CM--MB-MC, 所以MA,MB,M花共面. =号成·BA·cos(成，B 185 X1X1·c0s60°=1 :对点训练 3.AB[对于A,由向量加法得AA+AD 证明因为OB=(OC,AB=AC,OA=OA,： 所以E萨.- 所以△OAC≌△OAB,所以∠A(OC= +AB AC,AC2=3A Bi, ∠AOB.又OA·BC=OA·(OC-OB)= ∴(A1C2=3(AB)2,A正确；对于B, 2)萨，励-励·励-之励 OA.OC-OA OB=OA OC A1B-AA=AB,AB1⊥AC,∴.A1C dos(励，d》=X1X1·os0 cos∠AOC-OA1OB1cos∠AOB=0,所： ·AB1=0,.B正确：对于C,易得 以OA⊥BC,即OA⊥BC. △AD1C是等边三角形，.∠ADC=60°， 题点三 又A1B∥DC,∴异面直线AD与AB [典例]解析、(1)因为BA,-BA+BB, 所成的夹角为60°，但是向量AD,与向量 所以E或，励-之 AC-AB+BC,所以BA,·AC=(BA+ A1B的夹角是120°，故C不正确；对于D, 3萨.元-励.D心 BB)·(AB+BC)-BA·AB+BA·BC AB⊥AA1,.AB.AA=0,故AB. +BB,.AB+BB,·BC.因为AB⊥BC, AA·AD=0,因此D不正确.故选A,B] =号Bi.D心·osBi,Dd BB:⊥AB,BB,⊥BC,所以AB·B武-0,4A[由于DC-DA+AB+BC,所以DC: =×1X1os120=-子， BB1·AB-O,BB·BC=0且BA·AB=I =(DA+AB+BC)2=DA+AB+ a.所以BA·AC=-a2.又BA,·AC BC:+2(DA·AB+AB·BC+DA· 所以E京.D元=- =BA:||AC|cos(BA,AC),所以 BC)=302+(20√5)2+402+2×(0十0+ 4 4.=励+·成+ cos(BA,AC)= -a2 一又因 30×40×cos60)=4900.所以|DC 2a·2a 70,故甲、乙两人相距70m.故选A.] ch) 为赋AC∈[0，，所欧，Ad=5【-专0】[设D市-xDA+DG -丽.(-而+扇(-ò+ 2π，又因为异面直线所成的角是锐角或直 (0≤x≤1,0≤v≤1)，则PA-DA-D,P .CA+BA.CA] 角，所以异面直线BA1与AC所成的角{ =DD+DA-D A-yDC=DD+ =[-励.武-BA.武+(C市 为 (1-x)D A-y DC,PC=D C CB).CA+AB.AC] (2)因为∠ACD=90,所以AC.CD=0, DP-D C-xDA-yDC=(1-x) 同理可得AC·BA=0.因为AB与CD成 D:CI-DA,..PA.PC=[DD+(1 -片×（-+ 2 60°角，所以(BA,CD)=60°或(BA,CD)= -x)DA-y D C][(1-)DC 1 120°.又BD=BA+AC+CD,所以BD2 xDA]=-x(1-x)-y(1-y)=x 8 =BA+AC+CD+2BA.AC 所以，花=一言 +2BA·CD+2AC.CD=3+2×1X1 对点训练 ×cos(BA,CD).所以当(BA,CD》=60° 1.B[由题意得，a·(b 时，BD?=4,此时B,D间的距离为2；当 号时，pi.P心取得最小值，为-；当 c)=a·b+a·c=0.] 2.A[如图，可知CE-CA (BA,CD=120°时，BD2=2,此时B,D: x=0或1，且y=0或1时，PA.PC取得 +AE,∴BA·CE=BA 间的距离为√2 最大值，为0，PA·PC的取值范国 ·(CA+A正)=BA.CA 答案(1)号 (2)W2或2 +BA·AE-2×2×cos60°+2×1× 对点训练 cos120°=1.故选A.] 1.A[设AB=a,AD=b,AA=c,以点A 1.2空间向量基本定理 题点二 为端点的三条棱长为t,则a=b=c!必备知识·自主梳理 [典例]证明设A1B1-a,A1D-b,A1A =t,(a,b)=(b,c)=(a,c〉=60°，由A1C- 1.(1)p=xa+vb+xc(2)基底基向量 2.(1)两两垂直1 AA+(AB+AD)=a+b-c,A C= 单位正交基底{i,j, 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,a=b1 k}(2)正交分解 =cl. a+b-c2=a2+b十c2+2a·b-2a·c,即时小练 -2c·b=32-=22,所以A1C=√2.1，(1)× (2)/(3)/(4)×2.C :A0=Ai+Aò=A1+号（店+ 故m=√2.故选A.] :3.A AD) 关键能力·合作探究 2.T[设正方体的棱长为1，AB=a,AD=:题点- =c++2b, 3 b,AA=c,则a-b-c-L,(a,b)=[典例]解假设di,O成，元共面，则存在 BD-AD-AB=b-a, 花=元+=号+)+号d (0:e〉=(a,c》=受，所以a…b=b·c= 实数a,u使得OA=λOB十uOC,e+ 2e-e3-λ(-3e1+e2十2e3）+u(e1+ee a·c=0. -e3)=(-3λ十4)e1+(λ十4)e2+(2λ -to+3 由BC=b+c,AC=a+b, )eg..e1,e2,e3不共面， 2c, 得BC·AC-(b+c)·(a+b)=b=1. -3λ十4=1， 此方程组无解， ∴Ad.筋=(c+a+b）(b-a 又IBC1=AC=√2. .{十4=2， =-1, =eca十ab-+ 所以cOs〈BC,AC)= BC.AC .OAOi,0元不共面，.{OA,OB,心可 以作为空间的一个基底. IBC IAC thea 对点训练 1 1.(1)D.(2)②③④[(1)由AB,AC,AD与 =(w-a) 2X2 2 而(BC,AC)∈[0，r],故(BC,AC) AB,AC,AE均不能构成空间的一个基底 -2(b1:-a) 及A,B,C不共线，可知AB,AC,AD,AE =] 为共面向量，即A,B,C,D,E五点共面，故 D不正确， =0. 素养演练·提升技能 于是AOLBD,即A1OLBD. (2)如图，所设a :1.D[①②③正确；④不正确，因为等式左 AB,b=AA,c=AD, 同理可证A1O⊥OG,即A1OL0G. 边表示与b共线的向量，右边表示与a共！ 又.OG∩BD=O,OGC平面GBD,BDC 线的向量，两者方向不一定相同.] 则x=AB1,y=AD, ·2.A[由题意知a=b, ic/D 平面GBD, z=AC,a+b+c .A1OL平面GBD .(a+b)·(a-b)=|a2-b2=0. .(a+b)⊥(a-b).] =ACI. 186第一章空间向量与立体几何 B.AC-AB+BC+CC 课堂小结 C.AA-CC" D.AB+BB+BC+C'元=AC 重要思想与方法 4.设a,b,c是空间三个不共面的向量，m=a一b十 (1)空间向量的运算法则为三角形法则与平行四边形法则. c,n=xa十b十c,若m,n共线，则x= (2)应用向量共线的充要条件可解决三点共线问题，利用向 ,y= 量共面的充要条件可证明四点共面、线面平行等. 5.光岳楼，亦称“余木楼”“鼓 (3)本节应用的数学思想为类比、转化与化归. 楼”“东昌楼”，位于山东省聊 城市，始建于公元1374年， 空间向量的有关概念 空间 在《中国名楼》站台票纪念册 向量 三角形法则 中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、 及其 加减运算 平行四边形法则 线性 滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组 运算 共线向量 成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱 数乘运算 共面向量 台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之： 比约为，则H+F店+DC- 温馨提示 请做课时分层检测（一） 1.1.2 空间向量的数量积运算 【课标要求】1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.能初步 运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题， 【素养要求】在理解并应用空间向量数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养学生的数学抽象和 数学运算素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)空间两个向量的夹角 (3)对空间任意两个非零向量a,b,都有（一a,b) 如图，已知两个非零向量a,b,在 B =(a,-b〉=元(a,b〉. ( b : 空间中任取一点O,作OA=a, 2.如图，在正方体ABCD D 定义 OB=b,则 叫做向量a, 0 a A A1B1C1D1中，下列各对向量 ( b的夹角 的夹角为135°的是 记法 A.(AB,A C1) 范围 0≤a,b)≤元，当(a,b)=受时， B.〈AB,C1A1〉 C.(AB,A1D1〉 即时小练 D.(AB,BA) 1.判断正误 (二)空间向量的数量积 :1.空间向量的数量积的定义 (1)向量AB与CD的夹角不一定等于向量AB与 DC的夹角 已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b (2)若向量AB与CD的夹角为a,则直线AB与： 定义 的数量积，记作a·b,即a·b= 零向 量与任意向量的数量积为0，即0·a= CD所成的角也为a. ( 数学选择性必修第一册 (2)向量a在直线1上的投影如图(2)： 向量a,b的数量积等于a的长度|a|与b在a上 几何 的投影向量的数量b|cos〈a,b)的乘积，或等于b 意义 的长度|b与a在b上的投影向量的数量 的乘积 图(1) 图(2) 图(3) (a)·b=A(a·b),入∈R (3)向量a向平面3投影： 运算律 如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作 a·b= (交换律) 平面3的垂线，垂足分别为A',B',得到向量 (a+b)·c= (分配律) A'B,向量 称为向量a在平面3上的 2.空间向量数量积的性质 投影向量 序号 空间向量数量积的性质 即时小练 (1) a·e=acos(a,e)(其中e为单位向量) 1.判断正误 (1)若a·b=0,则a=0或b=0. (2) 若a,b为非零向量，则a⊥b一a·b= (2)对于非零向量a,b,(a,b)与(-a,一b)相等. (3) a·a=a2或a=√a·a=√a (4) 若a,b为非零向量，则cos(a,b)=a·b (3)若a·b=b·c,且b≠0，则a=c.( a b (4)若a,b均为非零向量，则a·b=|ab是a (5) |a·b≤a|b(当且仅当a,b共线时等号成立) 与b共线的充要条件. 3.投影向量 2.如图，在棱长为2的正方体 (1)在空间，向量a向向量b投影： ABCD-A1B1C1D1中，O为 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用 AC与BD的交点，G为CC1 平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量 的中点，则A1O在AC上的投 c,c= ,向量c称为向量a 影向量的模为 :DG在平面ABCD内 在向量b上的投影向量： 的投影向量的模为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 [听课记录] 题点一 空间向量数量积的计算 [典例]如图所示，已知空间四边形ABCD的每 条边和对角线长都等于1，点E,F分别是AB, AD的中点，计算： (1)EF.BA;(2)EF.BD:(3)EF·D元： (4)BF.CE. 第一章空间向量与立体几何 …/方法技巧/… 对点训练 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量 积，需已知a|,b|和(a,b),a与b的夹角与 如图，在空间四边形OABC中， 方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大 OB=OC,AB=AC,求证： 小，才能使a·b计算准确. OA⊥BC. 对点训练 1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设 AB=a,AD=b,AA1=c,则a·(b十c)的值为 ( A.1 B.0 C.-1 D.-2 2.已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是： AD的中点，则BA·CE ( A.1 B.-1 C.3 D.-√3 题点三 利用数量积求夹角与距离 题点二 利用数量积证明空间垂直关系 [典例](1)如图所示，己知BB [典例]如图所示，在正方体 D ⊥平面ABC,且△ABC是∠B ABCD-A1B1C1D1中，O为 =90°的等腰直角三角形，四边 AC与BD的交点，G为CC1 形ABB1A1和四边形BB1C1C 的中点，求证：A1O⊥平 都是正方形，若AB=a,则异面直线BA1与AC 面GBD, 所成的角为 [听课记录] (2)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC= 1,∠ACD=90°，沿着它的对角线AC将△ACD 折起，使AB与CD成60°角，则此时B,D间的 距离为 [听课记录] …/方法技巧/ (1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向 量，根据直线的方向向量的数量积为0，证明 线线垂直· (2)证明直线与平面垂直则要利用直线和平面 垂直的判定定理转化为直线和直线垂直证明. —7 数学选择性必修第一册 /方法技巧/ 1.利用向量求异面直线夹角的步骤 对点训练 根据题设条件在所求的异面直线上取两个 取向量 1.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中， 向量 以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼 异面直线所成角的问题转化为向量夹角 角转化 问题 此的夹角都是60°，若对角线AC的长是棱长 求余弦值 利用数量积求余弦值的大小 的m倍，则n等于 异面直线所成的角为锐角或直角，利用向 定结果 量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对 值，继而求角的大小 2.利用向量的数量积求两点间的距离的思路 A.2 B.√3 C.1 D.2 先选择以两点为端点的向量，将此向量表示 为几个已知向量的和的形式，求出这几个已 :2.如图，在正方体ABCD D 知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利 A1B1C1D1中，向量BC1与AC的 用公式a=√a·a求解即可. 夹角的大小为 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.下列命题中，不正确的有 ( 别为DA=30m,CB=40m,若AB=20√3m,则 ①√a·a=|al:②m(aa）·b=(m入)a·b; 甲、乙两人相距 ③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a. A.70m B.70√3m A.4个B.3个 C.2个 D.1个 C.90m D.90√3m 2.已知非零向量a,b不平行，并且其模相等，则 5.点P是棱长为1的正方体ABCD-ABCD, a十b与a一b之间的关系是 ( 的底面A1B1C1D1上一点，则PA·PC1的取值 A.垂直 B.共线 范围是 C.不垂直 D.以上都可能 3.(多选)已知几何体ABCD-A1B1CD1为正方 课堂小结 体，则下列说法中正确的是 ( A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B1 重要思想与方法 (1)空间向量数量积的运算与平面向量数量积完全相同， B.A1C·(A1B1-A1A)=0 可类比进行. C.向量AD1与向量A1B的夹角是60 (2)计算向量的数量积一般要利用其夹角与模，而求向量 D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB· 的模、夹角则需利用向量的数量积运算，体现了化归转化 的思想方法， AA1·AD 4.如图，甲站在水库底面 向量夹角 定义 上的点D处，乙站在 量积运 数量积运算 运算律 水坝斜面上的点C 投影向量 性质 处，己知库底与水坝斜面所成的二面角为120°， 测得从D,C到库底与水坝斜面的交线的距离分： 温馨提示 请做课时分层检测（二） 8