1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，通过回顾平面向量向空间向量的推广，引导学生建立几何要素与向量的对应关系，搭建从已知到未知的学习支架，理解位置向量、方向向量及法向量的概念。 资料以知识梳理为基础，结合例题、变式及分层巩固加练，通过易错点提示培养严谨思维，帮助学生用数学语言描述几何关系，提升逻辑推理能力和空间观念，符合数学思维与数学语言的核心素养要求。

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。 问题我们已经把向量由平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题。我们还需要研究什么样的问题更好的利用空间向量解决问题呢？ 一、空间中点的向量表示 知识梳理 如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示。我们把向量称为点P的位置向量。 【例1】已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: (1)AP∶PB=1∶2; (2)AQ∶QB=2∶1。 求点P和点Q的坐标。 【变式1-1】已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 ( ) A.（,-,） B.（,-3,2） C.(,-1,） D.(,-,） 2、 空间中直线的向量表示 知识梳理 如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线上的充要条件是存在实数t,使===+t①,将=代入①式得 ②。①式和②式都称为空间直线的向量表示式。由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。 【例2】已知直线l的一个方向向量=(2,-1,3),且直线过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于 ( ) A.0 B.1 C. D.3 3、 空间中平面的向量表示 如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使= 。我们把该式称为空间平面ABC的向量表示式。 4、 平面的法向量 如图,直线⊥α。取直线的方向向量,则称向量为平面α的法向量。给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|·=0}。 【例3】如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： （1）平面ABCD； （2）平面； （3）平面． 【变式3-1】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量； 易错点提示（1）求平面的法向量，在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量。(2)提前假定法向量=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0。 巩固加练 1.已知向量=(2,-1,3)和=(-4,2x2,6x)都是直线的方向向量,则x的值是 ( ) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 2.已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.已知点A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,3,x),若AD⊂平面ABC,则实数x的值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 4.在正方体中,平面的一个法向量为( ) A． B． C． D． 5.（多选）若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线上,则直线的一个方向向量可为 ( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D. 6.（多选）已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的是 ( ) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 7.已知平面α经过点O(0,0,0),且=(1,2,-3)是α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是 。  8.已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为_______ 9.如图，在三棱锥中，，，D是的中点.求平面所成角的一个法向量. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。 问题我们已经把向量由平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题。我们还需要研究什么样的问题更好的利用空间向量解决问题呢？ 参考答案　我们发现,建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键。我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素。 一、空间中点的向量表示 知识梳理 如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示。我们把向量称为点P的位置向量。 【例1】已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: (1)AP∶PB=1∶2; (2)AQ∶QB=2∶1。 求点P和点Q的坐标。 【答案】(1)（,,1）；(2)(0,2,6) 【解析】(1)由已知,得=2,即-=2(-),=+。设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3)=。因此P点的坐标是（,,1）。 (2)因为AQ∶QB=2∶1,所以=-2,-=-2(-),=-+2。设点Q的坐标为(x',y',z'),则上式换用坐标表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),因此Q点的坐标是(0,2,6)。 【变式1-1】已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 ( ) A.（,-,） B.（,-3,2） C.(,-1,） D.(,-,） 【答案】C 【解析】设C(x,y,z),因为C为线段AB上一点且=,所以=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),所以所以x=,y=-1,z=。因此点C的坐标为(,-1,)。 故选C。 2、 空间中直线的向量表示 知识梳理 如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线上的充要条件是存在实数t,使===+t①,将=代入①式得=+t②。①式和②式都称为空间直线的向量表示式。由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。 【例2】已知直线l的一个方向向量=(2,-1,3),且直线过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于 ( ) A.0 B.1 C. D.3 【答案】A 【解析】因为A(0,y,3)和B(-1,2,z),所以=(-1,2-y,z-3),因为直线的一个方向向量为=(2,-1,3),故设=k,所以解得所以y-z=0 3、 空间中平面的向量表示 如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y。我们把该式称为空间平面ABC的向量表示式。 4、 平面的法向量 如图,直线⊥α。取直线的方向向量,则称向量为平面α的法向量。给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|·=0}。 【例3】如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： （1）平面ABCD； （2）平面； （3）平面． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为平面， 所以为平面的一个法向量， 所以平面的一个法向量为， （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， （3）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则 所以平面的一个法向量为 【变式3-1】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量； 【答案】（1，0，2） 【解析】∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD． ∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD． 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥AC． 又底面四边形ABCD为矩形， ∴矩形ABCD为正方形． 建立如图所示的空间直角坐标系． A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），D（0，2，0）． （0，2，0），（﹣2，0，1）， 设平面BPC的法向量为（x，y，z）， 则，即，取（1，0，2）． ∴平面BPC的一个法向量为（1，0，2）． 易错点提示（1）求平面的法向量，在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量。(2)提前假定法向量=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0。 巩固加练 1.已知向量=(2,-1,3)和=(-4,2x2,6x)都是直线的方向向量,则x的值是 ( ) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 【答案】A 【解析】由题意得∥,所以解得x=-1. 故选A 2.已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为,，所以， 因为平面的一个法向量为 故选C 3.已知点A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,3,x),若AD⊂平面ABC,则实数x的值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】　易求得平面ABC的一个法向量为=(0,0,1),而=(1,3,x),所以当AD⊂平面ABC时,·=0,所以1×0+3×0+x=0,所以x=0. 故选B 4.在正方体中,平面的一个法向量为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，由正方体的性质可得：BD1⊥B1C，BD1⊥AC． ∴BD1⊥平面ACB1．∴平面ACB1的一个法向量为． 故选A． 5.（多选）若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线上,则直线的一个方向向量可为 ( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D. 【答案】AD 【解析】因为=(2,4,6),所以与共线的非零向量都可以作为直线的方向向量 6.（多选）已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的是 ( ) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 【答案】ABC 【解析】因为·=0,·=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP,则A,B正确;又与不平行,所以是平面ABCD的一个法向量,则C正确;由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以与不平行,故D错误。 故选ABC 7.已知平面α经过点O(0,0,0),且=(1,2,-3)是α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是 。  【答案】x+2y-3z=0 【解析】由题意得⊥,则·=(x,y,z)·(1,2,-3)=0,故x+2y-3z=0。 8.已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为_______ 【答案】或 【解析】三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1) ∴， 令平面ABC的法向量为 可得，即， ∵平面的法向量为单位法向量， ，解得， 故平面的单位法向量是或. 9.如图，在三棱锥中，，，D是的中点.求平面所成角的一个法向量. 【答案】（合理即可） 【解析】由，D是的中点，得，而，， 平面，则平面，而平面，所以平面平面. 所以知平面，则， 而，解得， 即，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量，则，令，得 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $