1.4.2 第1课时 距离问题 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究距离问题，涵盖点线距、点面距、线面距及面面距。通过探究问题引导学生从向量投影切入推导距离公式，结合图形语言与表格梳理概念，搭建从向量知识到距离计算的学习支架。 资料以探究式学习培养数学眼光，通过向量法推导与应用发展数学思维的推理能力，典例、变式及解题感悟强化数学语言的模型观念。判断正误与课堂达标设计助力学生自主巩固，提升空间观念与应用意识，适合教学与自学。

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题　第1课时　距离问题 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.理解点线距、线线距、线面距、面面距的概念和向量表示. 2.掌握利用向量法求空间距离问题. 一、点到直线的距离 探究1　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，在直线l上的投影向量为.设＝a，如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 探究2　与有何关系？此时距离表达式为何？ ⚪梳理教材 分类 点到直线的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P∉l，＝a，向量在直线l上的投影向量为＝（a·u）·u，则PQ＝＝ ⚪温馨提示　点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离.（　 　） （2）点到直线的距离为直线上的点到此点最短的距离.（　 　） 【典例1】　如图，在棱长为a（a＞0）的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.求点M到直线AD1的距离. 【变式探究】　将本典例条件“M是线段DC1的中点”改为“M是线段DC1上的动点”，试求点M到直线AD1距离的最小值. ⚪解题感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系，并求相应点的坐标. （2）求出直线的方向向量a的坐标，并求｜a｜. （3）求以直线上某一特殊点为起点，已知点为终点的向量b的坐标，并求｜b｜，计算. （4）利用求点到直线的距离. 【练习1】　如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，G为线段AB的中点，AB＝BE＝2. （1）求证：EG∥平面AFD； （2）求点D到直线EG的距离. 二、点到平面的距离 探究3　类比点到直线距离公式的探究过程，研究点到面的距离公式.已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，n是直线l的方向向量，则点P到平面α的距离公式为什么？ ⚪梳理教材 分类 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，向量是向量在平面α上的投影向量，则PQ＝ ＝ ⚪温馨提示　实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）平面α外一点P到平面α的距离是平面α内任一点与点P的距离中最短的.（　 　） （2）求点A到平面α的距离实质上就是求A与α上任一点P组成向量在平面α的法向量l的投影向量的长度.（　 　） 【典例2】　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2. (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离． ⚪解题感悟 求点到平面的距离的步骤 注意：求线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 【练习2】　如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，其边长为1，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点，求点D到平面PEF的距离. 三、直线到平面、平面到平面的距离 探究4　类比两条平行直线间的距离，如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？ ⚪梳理教材 1.如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为 的距离求解. 2.如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为 的距离求解. ⚪温馨提示　只有线面（或面面）平行时，才有线面（或面面）距离. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离.（　 　） （2）两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离.（　 　） （3）若直线l与平面α平行，则直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离.（　 　） 【典例3】　如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离. ⚪解题感悟 　　1.当直线与平面平行时，要求直线到平面的距离，需要在直线上任取一点，求出该点到平面的距离即可. 2.当平面与平面平行时，要求两个平面之间的距离，需要在一个平面内找到一点，求出该点到另一个平面的距离即可. 【练习3】　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱B1C1，CC1，D1C1的中点，求平面A1BD与平面EFG的距离. ⚪课堂达标 1.已知平面α的一个法向量为n＝（1，2，1），A（1，0，－1），B（0，－1，1），且A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（　 　） A. B. C. D.1 2.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线EC的距离为（　 　） A. B. C. D. 3.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为 . 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为A1B1，A1A的中点.求直线EF与C1D之间的距离. 解析版 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题　第1课时　距离问题 ⚪学习目标　1.理解点线距、线线距、线面距、面面距的概念和向量表示. 2.掌握利用向量法求空间距离问题. 一、点到直线的距离 探究1　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，在直线l上的投影向量为.设＝a，如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示：｜PQ｜＝. 探究2　与有何关系？此时距离表达式为何？ 提示：是在直线l上的投影向量，且＝｜a｜·cos∠PAQ·u＝（a·u）·u，｜｜＝｜a·u｜，｜PQ｜＝. ⚪梳理教材 分类 点到直线的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P∉l，＝a，向量在直线l上的投影向量为＝（a·u）·u，则PQ＝＝　　 ⚪温馨提示　点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离.（　√　） （2）点到直线的距离为直线上的点到此点最短的距离.（　√　） 【典例1】　如图，在棱长为a（a＞0）的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.求点M到直线AD1的距离. [解]　由题知，A（a，0，0），C1（0，a，a），D1（0，0，a），M（0，，）. ＝（－a，0，a），＝（0，－，）， 又直线AD1的一个单位方向向量s＝（－，0，）， ｜｜2＝a2，·s＝a， 所以点M到直线AD1的距离 d＝＝＝a. 【变式探究】　将本典例条件“M是线段DC1的中点”改为“M是线段DC1上的动点”，试求点M到直线AD1距离的最小值. 解：由题知，A（a，0，0），D1（0，0，a），＝（－a，0，a），故直线AD1的一个单位方向向量s＝（－，0，），设M（0，m，m）（0≤m≤a），＝（0，－m，a－m），故点M到直线AD1的距离d＝ ＝ ＝＝， 当m＝时，d取得最小值a. ⚪解题感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系，并求相应点的坐标. （2）求出直线的方向向量a的坐标，并求｜a｜. （3）求以直线上某一特殊点为起点，已知点为终点的向量b的坐标，并求｜b｜，计算. （4）利用求点到直线的距离. 【练习1】　如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，G为线段AB的中点，AB＝BE＝2. （1）求证：EG∥平面AFD； （2）求点D到直线EG的距离. 解：（1）证明：取AD的中点M，连接FM，MG，OD. 正方形ABCD的中心为O，则B，O，D共线，又G为线段AB的中点， 则MG∥BD，MG＝OB， ∵四边形OBEF为矩形，则EF∥OB，EF＝OB， ∴EF∥MG，EF＝MG， ∴四边形EFMG为平行四边形， ∴EG∥FM，又FM⊂平面AFD，EG⊄平面AFD， ∴EG∥平面AFD. （2）连接ED. ∵四边形OBEF为矩形， ∴EB⊥OB，又平面OBEF⊥平面ABCD，平面OBEF∩平面ABCD＝OB，EB⊂平面OBEF， ∴EB⊥平面ABCD，故以B为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则D（2，2，0），G（0，1，0），E（0，0，2），＝（2，2，－2），＝（0，1，－2）， 直线EG的单位方向向量e＝＝（0，1，－2）＝（0，，－）， ∴·e＝， ∴点D到直线EG的距离 d＝＝＝. 二、点到平面的距离 探究3　类比点到直线距离公式的探究过程，研究点到面的距离公式.已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，n是直线l的方向向量，则点P到平面α的距离公式为什么？ 提示：点P到平面α的距离就是在直线l上投影向量的长度.因此PQ＝｜｜＝｜｜＝. ⚪梳理教材 分类 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，向量是向量在平面α上的投影向量，则PQ＝　　＝　　 ⚪温馨提示　实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）平面α外一点P到平面α的距离是平面α内任一点与点P的距离中最短的.（　√　） （2）求点A到平面α的距离实质上就是求A与α上任一点P组成向量在平面α的法向量l的投影向量的长度.（　√　） 【典例2】　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2. (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离． [解]　(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴、y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，C(1，0，0)，B1(－1，0，2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1(1，0，2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)， ＝(0，－，0). 设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 ∴令z＝1，则y＝0，x＝2， ∴n＝(2，0，1). ∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0， ∴⊥n. ∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D. (2)由(1)知平面AB1D的一个法向量为n＝(2，0，1)，且＝(－1，，－2)， ∴点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝. ⚪解题感悟 求点到平面的距离的步骤 注意：求线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 【练习2】　如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，其边长为1，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点，求点D到平面PEF的距离. 解：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则D（0，0，0），P（0，0，1），E（1，，0），F（，1，0）， ＝（－，，0），＝（1，，－1），＝（1，，0）， 设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝（2，2，3）为平面PEF的一个法向量， 所以点D到平面PEF的距离为＝＝. 三、直线到平面、平面到平面的距离 探究4　类比两条平行直线间的距离，如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？ 提示：在直线上或其中一个平面上取一定点，则该点到另一个平面的距离即为直线与平面或两平行平面之间的距离. ⚪梳理教材 1.如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为　点P到平面α　的距离求解. 2.如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为　点P到平面β　的距离求解. ⚪温馨提示　只有线面（或面面）平行时，才有线面（或面面）距离. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离.（　√　） （2）两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离.（　✕　） （3）若直线l与平面α平行，则直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离.（　✕　） 【典例3】　如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离. [解]　∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴A1B1∥平面ABE， ∴A1B1与平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A1（1，0，2），A（1，0，0），E（0，，1），C（0，，0）.过点C作CF⊥AB于点F，易得BF＝， ∴B（1，2，0）， ∴＝（0，2，0），＝（－1，－，1）. 设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 ∴y＝0，x＝z，令x＝1，则y＝0，z＝1，∴n＝（1，0，1）. ∵＝（0，0，2）， ∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝. ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. ⚪解题感悟 　　1.当直线与平面平行时，要求直线到平面的距离，需要在直线上任取一点，求出该点到平面的距离即可. 2.当平面与平面平行时，要求两个平面之间的距离，需要在一个平面内找到一点，求出该点到另一个平面的距离即可. 【练习3】　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱B1C1，CC1，D1C1的中点，求平面A1BD与平面EFG的距离. 解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），G（0，，1）， ＝（0，1，－1），＝（－1，0，－1），＝（－1，，0）. 设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 令z＝1，得y＝1，x＝－1， ∴n＝（－1，1，1）. ∴点G到平面A1BD的距离d＝＝. 由已知可得平面A1BD∥平面EFG， ∴平面A1BD与平面EFG的距离等于G到平面A1BD的距离， ∴平面A1BD与平面EFG的距离为. ⚪课堂达标 1.已知平面α的一个法向量为n＝（1，2，1），A（1，0，－1），B（0，－1，1），且A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（　B　） A. B. C. D.1 解析：∵A（1，0，－1），B（0，－1，1）， ∴＝（－1，－1，2）， 又平面α的一个法向量n＝（1，2，1）， ∴点A到平面α的距离为＝.故选B. 2.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线EC的距离为（　C　） A. B. C. D. 解析：建立空间直角坐标系，如图， 则C（1，1，0），C1（1，1，1），E（0，，1）， 所以＝（1，，－1），＝（0，0，1）， 所以在上的投影向量的长度为＝＝， 所以点C1到直线EC的距离 d＝＝＝.故选C. 3.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为　　. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系， 则B（2，2，0），G（2，0，1），B1（2，2，2），D1（0，0，2），＝（2，2，0），＝（2，0，－1），＝（0，0，2）.设平面GB1D1的法向量为n＝（x，y，z）， 则 ∴即y＝－x，z＝2x. 令x＝1，则n＝（1，－1，2）. ∵BD∥B1D1，B1D1⊂平面GB1D1，BD⊄平面GB1D1，∴BD∥平面GB1D1.∴直线BD与平面GB1D1的距离为d＝＝.故答案为. 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为A1B1，A1A的中点.求直线EF与C1D之间的距离. 解：以A为原点，以AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. ∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为A1B1，A1A的中点， ∴A1（0，0，2），B1（2，0，2），A（0，0，0），C1（2，2，2），D（0，2，0），E（1，0，2），F（0，0，1）， ∴＝（－1，0，－1）， ＝（－2，0，－2）， ∴＝2，故∥， 又C1D与EF不共线， ∴C1D∥EF. ∴点F到直线C1D的距离即为直线EF与C1D之间的距离. ∵＝（0，2，－1）， ∴在上的投影向量的长度为 ＝＝， ∴点F到直线C1D的距离为 d＝ ＝＝. ∴直线EF与C1D之间的距离为. 页 学科网（北京）股份有限公司 $