2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件 第一章1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

该高中数学课件聚焦“用空间向量研究直线、平面的位置关系”，系统梳理空间中点、直线、平面的向量表示，以及方向向量、法向量的概念，通过新知导学搭建从基础到应用的学习支架，引导学生逐步掌握利用向量判断线线、线面、面面平行与垂直的方法。 其亮点在于以“问题探究—例题解析—即时训练”为主线，结合正方体、四棱锥等实例，培养学生用数学眼光观察空间结构、用数学思维进行逻辑推理的能力。课堂小结系统归纳向量法证明平行垂直的方法，帮助学生形成知识体系，教师可直接利用丰富例题和分层训练提升教学效率，学生能在实践中强化空间观念与应用意识。

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量 研究直线、平面的 位置关系 [目标导航] 课标要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量 2.掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系 3.培养学生的作图能力和空间想象能力,增强学生应用数学的意识 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.空间中点的向量表示 位置向量 2.空间中直线的向量表示 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量 . 唯一确定 3.空间中平面的向量表示 把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量 . 唯一确定 (2)如图,直线l⊥α.取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量,给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P| }. 4.空间中的直线、平面的平行 (1)直线与直线平行 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量.l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得 . u1=λu2 (2)直线与平面平行 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔ . (3)平面与平面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得 . u·n=0 n1=λn2 5.空间中直线、平面的垂直 (1)直线与直线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔ . u1·u2=0 (2)直线与平面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得 . u=λn (3)平面与平面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔ . n1·n2=0 小试身手 1.若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量的坐标可以是 　　　　.  2.已知a=(2,-4,-3),b=(1,-2,-4)是平面α内的两个不共线向量.如果n=(1,m,n)是α的一个法向量,那么m=　　　　,n=　　　　.  3.设平面α的法向量为(1,3,-2),平面β的法向量为 (-2,-6,k),若α∥β,则 k= 　　　　.  4.已知直线l1,l2的方向向量分别是v1=(1,2,-2),v2=(-3,-6,6),则直线l1,l2的位置关系为　　　　.  (2,4,6) 0 4 平行 课堂探究·素养培育 点的位置向量与直线的方向向量 A 求点的坐标:可设出对应点的坐标,再利用点与向量的关系,写出对应向量的坐标,利用两向量平行的充要条件解题. 求平面的法向量 设直线l的方向向量为u=(a1,b1,c1),平面α的法向量v=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔u∥v⇔u=kv⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2,其中k∈R. 平面的法向量的求解方法: ①设出平面的一个法向量为n=(x,y,z). ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 利用方向向量、法向量判断线、面关系 [例3] (1)设a,b分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1与l2的位置关系: ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); ②a=(5,0,2),b=(0,4,0); ③a=(-2,1,4),b=(6,3,3). ②u=(0,3,0),v=(0,-5,0); ③u=(2,-3,4),v=(4,-2,1). (3)设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量(l⊄α),根据下列条件判断α和l的位置关系: ①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2); ②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12); ③u=(4,1,5),a=(2,-1,0). 即时训练3-1:根据下列条件,判断相应的线、面位置关系: (1)直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,-3,-1),b=(8,2,2); 解:(1)因为a=(1,-3,-1),b=(8,2,2), 所以a·b=8-6-2=0, 所以a⊥b,所以l1⊥l2. (2)平面α,β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0); 解: (2)因为u=(1,3,0),v=(-3,-9,0), 所以v=-3u, 所以v∥u,所以α∥β. (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a=(1,-4,-3),u=(2,0,3); 解: (3)因为a=(1,-4,-3),u=(2,0,3), 所以a≠ku(k∈R)且a·u≠0, 所以a与u既不共线也不垂直, 即l与α相交但不垂直. (4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a=(3,2,1),u=(-1,2,-1). 解: (4)因为a=(3,2,1),u=(-1,2,-1), 所以a·u=-3+4-1=0, 所以a⊥u, 所以l⊂α或l∥α. 利用向量判断线、面关系的方法 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时,两直线平行(垂直),否则两直线相交或异面. (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时,直线和平面垂直;直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线在平面内或线面平行,否则直线与平面相交但不垂直. (3)两个平面的法向量共线(垂直)时,两平面平行(垂直),否则两平面相交但不垂直. 利用空间向量解决平行问题 [例4] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 即时训练4-1:如图,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,PC与平面ABCD所成角是45°,F是AD的中点,M是PC的中点.求证:DM∥平面PFB. 利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得到向量的共线关系; (2)通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明. 利用空间向量解决垂直问题 [例5] 如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC= CE=2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面ADE⊥平面ABE. 利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得到向量的垂直关系. (2)通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明.证明线面垂直时,只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直.在判定两个平面垂直时,只需求出这两个平面的法向量,再看它们的数量积是否为0. 与平行、垂直有关的探索性问题 [例6] 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)求证:AP⊥BC. (2)在线段AP上是否存在点M,使得平面AMC⊥平面BMC?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由. 即时训练6-1:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点. (1)求证:EF⊥DC; (2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB. 利用向量解决探索性问题的方法 对于探索性问题,一般先假设存在,利用空间直角坐标系,结合已知条件,转化为代数方程是否有解的问题,若有解满足题意则存在,若没有满足题意的解则不存在. 当堂即练·素养达成 1.在空间直角坐标系中,若直线l的一个方向向量为a=(1,-2,1),平面α的一个法向量为n=(2,3,4),则(　 　) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α或l∥α D.l与α斜交 C 当堂即练 解析:直线l的一个方向向量为a=(1,-2,1),平面α的一个法向量为n=(2,3,4), 因为a·n=(2,3,4)·(1,-2,1)=2-6+4=0, 所以a⊥n,所以l⊂α或l∥α.故选C. CD 3.如图,在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面A1BC1的一个法向量可以是(　 　) A.(1,1,1) B.(-1,1,1) C.(1,-1,1) D.(1,1,-1) A 4.已知A(9,-3,4),B(9,2,1)在直线l上,则直线l与坐标平面(　 　) A.Oxy平行 B.Ozx平行 C.Oyz平行 D.Oyz相交 C 1.空间中一条直线的方向向量有无数个. 2.向量法证明线面平行 (1)设n是平面α的一个法向量,v是直线l的方向向量,则v⊥n且l上至少有一点A∉α,则l∥α; (2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量; (3)证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. 课堂小结 3.向量法证明面面平行 (1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直,那么这两个平面平行; (2)利用平面的法向量,证明面面平行,即如果a⊥平面α,b⊥平面β,且a∥b,那么α∥β. 4.利用向量证明线线平行的两种思路 一是建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示证明;二是用基底思路,通过向量的线性运算,利用共线向量定理证明. 5.向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线相互垂直,其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直.具体方法如下. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,证明其数量积为0; (2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来.利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 6.向量法证明线面垂直的方法 (1)向量基底法,具体步骤如下. ①设出基向量,用基向量表示直线的方向向量; ②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示; ③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积. (2)坐标法,具体方法如下. 方法一:①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示; ④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积. 方法二:①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③求平面的法向量; ④说明平面的法向量与直线的方向向量平行. 7.证明面面垂直的两种思路 一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线,即转化为线面垂直;二是证明两平面的法向量垂直. 感谢观看 如图,在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.把向量称为点P的 . (1)如图,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即= . (2)如图,取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,① 将=a代入①式,得=+.② (1)如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.③ a·=0 [例1] (1)若点A(-,0,),B(,2,)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A.(,,1) B.(,1,) C.(,,1) D.(1,,) (1)解析:=(,2,)-(-,0,)=(1,2,3),(,,1)=(1,2,3)=, 又因为与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量.故选A. (2)已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且与坐标平面Ozx相交于点D,求点D的坐标. (2)解:由题意可设点D的坐标为(x,0,z), 则=(x-2,-2,z),=(0,-2,5). 因为BD∥CA,所以所以 所以点D的坐标为(2,0,5). 即时训练1-1:已知点A(2,4,0),B(1,3,3),在直线AB上有一点Q,使得=-2,求点Q的坐标. 解:由题设=-2, 设Q(x,y,z),则(x-2,y-4,z)=-2(1-x,3-y,3-z), 所以 解得所以Q(0,2,6). [例2] 如图,ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB= BC=1,AD=,求平面SCD与平面SBA的法向量. 解:因为AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,所以以A为原点,分别以, ,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系, 则A(0,0,0),D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),=(,0,0)是平面SAB的法向量. 设平面SCD的法向量n=(1,λ,u), 则n·=(1,λ,u)·(,1,0) =+λ =0, 所以λ=-. n·=(1,λ,u)·(-,0,1) =-+u =0, 所以u=,所以n=(1,-,). 综上,平面SCD的一个法向量为n=(1,-,), 平面SBA的一个法向量为=(,0,0). 即时训练21:如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证:是平面ACD1的一个法向量. 证明:设正方体的棱长为1,分别以,,为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系, 则=(1,1,1), =(-1,1,0), =(-1,0,1). 于是有·=0. 所以⊥,即DB1⊥AC. 同理,DB1⊥AD1, 又AC∩AD1=A,所以DB1⊥平面ACD1, 从而是平面ACD1的一个法向量. ③依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 解:(1)①因为a=(2,3,-1), b=(-6,-9,3), 所以a=-b, 所以a∥b,所以l1∥l2. 解:②因为a=(5,0,2),b=(0,4,0), 所以a·b=0, 所以a⊥b,所以l1⊥l2. 解:③因为a=(-2,1,4),b=(6,3,3), 所以a与b不共线,也不垂直, 所以l1与l2的位置关系是相交或异面. (2)设u,v分别是不同的平面α,β的法向量,根据下列条件判断α,β的位置关系: ①u=(1,-1,2),v=(3,2,-); 解: (2)①因为u=(1,-1,2), v=(3,2,-), 所以u·v=3-2-1=0, 所以u⊥v,所以α⊥β. 解:②因为u=(0,3,0),v=(0,-5,0), 所以u=-v, 所以u∥v,所以α∥β. 解:③因为u=(2,-3,4),v=(4,-2,1), 所以u与v既不共线,也不垂直, 所以α,β相交. 解: (3)①因为u=(2,2,-1),a=(-3,4,2), 所以u·a=-6+8-2=0, 所以u⊥a, 所以直线l和平面α的位置关系是l∥α. 解:②因为u=(0,2,-3),a=(0,-8,12), 所以u=-a, 所以u∥a,所以l⊥α. 解:③因为u=(4,1,5),a=(2,-1,0), 所以u和a既不共线也不垂直,所以l与α斜交. 证明:(1)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则有D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1), F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以=(0,2,1), =(2,0,0),=(0,2,1). 设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量, 则n1⊥,n1⊥, 即 得 令z1=2,则y1=-1, 所以n1=(0,-1,2). 因为·n1=-2+2=0, 所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE, 所以FC1∥平面ADE. 证明: (2)因为=(2,0,0), 设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量. 由n2⊥,n2⊥,得得 令z2=2,得y2=-1, 所以n2=(0,-1,2), 因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F. 证明:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 由PC与平面ABCD所成的角为45°, 得∠PCD=45°, 则PD=2, 则P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),F(1,0,0),D(0,0,0),M(0,1,1), 所以=(1,2,0),=(-1,0,2),=(0,1,1). 设平面PFB的法向量为n=(x,y,z), 则即 令y=1,则x=-2,z=-1, 故平面PFB的一个法向量为n=(-2,1,-1). 因为·n=0,所以⊥n, 又DM⊄平面PFB,则DM∥平面PFB. 证明:取BE的中点O,连接OC, 则OC⊥EB,又AB⊥平面BCE, 所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示. 则由已知条件有C(1,0,0),B(0,,0),E(0,-,0),D(1,0,1),A(0,,2). 设平面ADE的法向量为n=(a,b,c), 则n·=(a,b,c)·(0,2,2) =2b+2c=0, n·=(a,b,c)·(-1,,1)=-a+b+c=0. 令b=1,则a=0,c=-, 所以n=(0,1,-). 因为AB⊥平面BCE,所以AB⊥OC, 又OC⊥EB,且EB∩AB=B, 所以OC⊥平面ABE, 所以平面ABE的法向量可取m=(1,0,0). 因为n·m=(0,1,-)·(1,0,0)=0, 所以n⊥m,所以平面ADE⊥平面ABE. 即时训练51:如图,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD, AB=1,AD=,CD=2,∠ADC=,平面PBC⊥平面ABCD,且PB=PC,E为BC的中点.求证:平面PAE⊥平面PBD. 证明:因为PB=PC,E为BC的中点,所以PE⊥BC. 因为平面PBC⊥平面ABCD,且平面PBC∩平面ABCD=BC,所以PE⊥平面ABCD, 如图,过点D作Dz∥PE,以D为原点,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),E(,,0). 设P(,,a),则=(,1,0),=(-,,0),=(-,,a), 所以·=0,·=0, 所以DB⊥AE,DB⊥AP, 因为AE∩AP=A,AE,AP⊂平面PAE, 所以DB⊥平面PAE,因为DB⊂平面PBD,所以平面PAE⊥平面PBD. (1)证明:如图,以O为原点,以射线OD为y轴的正半轴,射线OP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz. 则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4), =(0,3,4),=(-8,0,0), 由此可得·=0,所以⊥, 即AP⊥BC. (2)解:假设存在满足题意的点M, 设=λ,λ≠1, 则=λ(0,-3,-4). =+=+λ =(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4) =(-4,-2-3λ,4-4λ), =(-4,5,0). 设平面BMC的法向量n1=(x1,y1,z1), 平面APC的法向量n2=(x2,y2,z2). 由得 即可取n1=(0,1,). 由即 得 可取n2=(5,4,-3), 由n1·n2=0,得4-3×=0, 解得λ=, 故=(0,-,-),=(0,,), 所以AM=3. 综上所述,存在点M符合题意,AM=3. (1)证明:以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 (如图所示), 设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),P(0,0,a),F(,,), 所以·=(-,0,)·(0,a,0)=0, 所以⊥,所以EF⊥DC. (2)解:设G(x,0,z)(x,z∈R)满足条件,则G∈平面PAD. =(x-,-,z-), 由·=(x-,-,z-)·(a,0,0)=a(x-)=0,得x=, 由·=(x-,-,z-)·(0,-a,a)=+a(z-)=0,得z=0, 所以点G的坐标为(,0,0),即点G为AD的中点. 2.(多选题)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分别是平面A1B1C1D1和平面BCC1B1的中心,以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则直线EF的方向向量可以是(　 　) A.(1,0,) B.(1,0,) C.(-1,0,) D.(2,0,-) 解析:由已知得E(1,1,),F(2,1,), 所以=(2,1,)-(1,1,)=(1,0,-),结合选项可知选CD. 解析:由题意知A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1), =(0,1,-1),=(-1,0,1). 设平面A1BC1的法向量是n=(x,y,z), 则 取x=1,得n=(1,1,1), 所以平面A1BC1的一个法向量是(1,1,1).故选A. 解析:因为=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3), 所以l∥平面Oyz.故选C. $