黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025-2026学年度下学期高一期末考试 数学试题 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求 1.已知a=(2,4),b=（x,1),⊥b,则x=() A.-2 c.分 D.2 2.有2位老师和4名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的排法有() A.144种 B.96种 C.72种 D.48种 3.己知n,n是两条直线，，B,y是三个平面，则正确的是（) A.若o∥B,mco,ncB,则m/∥n B.若⊥B,B⊥Y,则∥y C.若a⊥y,B∥，则B⊥Y D.若m∥n,m∥a,则n∥ 4.某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而不对立的事件为 () A.至少有1名男生和至少有1名女生B.恰有1名男生和恰有2名女生 C.至少有1名男生和全是男生 D.至少有1名男生和全是女生 5.已知样本数据x,x2,x3,x4,x,x6的平均数为x,方差为s2,若样本数据aX+8,ax2+8,, x+8的平均数为6x,方差为4s2,则x=（) A.-2 B.2 C.-2或1 D.1或2 6.在正四棱锥P-ABCD中，AB=AP,E是棱PC的中点，则异面直线PB与DE所成角的余弦值是() A.5 B.3 c.6 D.V30 6 3 6 7.抛掷2n枚质地均匀的硬币，恰有n枚正面朝上的概率为P.（其中n=1,2,3),则() A.P=P2=P3 B.P3>P>P2 C.P3>P2>P D.P>p2>P3 8.已知O为△ABC的外心，且AO=AB+(1-)AC,若向量BA在向量BC上的投影向量为BC,其中 u/34 5 则cos∠AOC的取值范围为() 第1页 a品别 3高 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数=m+i 若m,3-i∈R,则() A.7=2-i B.z在复平面内对应的点在第四象限 C.d=5 D.z+2i的虚部为3 10.某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如 下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则() A.a=0.0175 频率 组距 B.众数是230 C.中位数是222 0.0100 0.0075 D.第30百分位数是205 0.0050 060180200220240260跳远距离(cm) 11.如图，在三棱台ABC-AB,C1中，侧面ACC1A是等腰梯形，AA=AC1=1,∠AAC=60°，侧面ACCA⊥ 平面ABC,∠ACB=0°，BC=2B,E为AB的中点，点D在AC上，且DC=2,则(） 1 A E B B A.AC1⊥平面BCC,B B.直线BE与平面ACC,A所成角小于45° 49 C.平面BDE将该三棱台分成两个几何体，则体积较小几何体的体积为 64 D.四点A,C,B,C,在同一球面上，则该球的表面积为7π 共3页 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆台上下底面半径分别为1和2，母线与下底面所成角为60°，则圆台侧面积为 13.某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择若每个景区中 至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为 4.在△ABC中，∠BAC=?,∠BAC的平分线交BC于点N,M为BC的中点.若AN=4,BC=6M 则AM= 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基 计划'的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作 答相互独立，现有甲，乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一愿的概率分别是，)，（答 对第二题的概率分别是)，2 23’3 ()求甲考生通过某校强基招生面试的概率： (2)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 第2页， 16.(本小题满分15分) 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次 “奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5 组，其中第一组20,25)，第二组25,30)，第三组30,35)，第四组35,40)，第五组40,45，得到如图所 示的频率分布直方图，已知第一组有10人， (1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄： (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宜传使者 ()若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再 随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； ()若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和)，第五组宜传使者的年龄的平均数与方差 分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差. 频率 个 组距 0.07 0.05 0.04 0.02 0202530354045年龄/岁 共3页 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,AB, AC的中点. (1)证明：平面EFG/1平面PBC; (2)若PA=AD=2AB=2,作EM⊥PC交PC于点M. :M (i)证明：PC⊥AM; (i)求直线EG与平面AEM所成角的正弦值. G 18.(本小题满分17分) 在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.己知c=cosA+2a. (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，当a=6时，求△ABC面积的取值范围. 第3页， 19.(本小题满分17分) 如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD都是等腰三角形，且∠ADB=120°，BC⊥BD,BD=4. (1)若AD⊥BC. (i)求证：平面ABD⊥平面BCD; (i)求平面BCD与平面ACD夹角的余弦值， (2)求三棱锥A-BCD外接球的半径的最小值. 共3页B4正面 ■ 2025-2026学年度高一下学期期末考试数学答题卡 条码粘贴区 姓名：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿＿ 考号：＿＿＿＿＿＿＿＿ 一 选择题: 二 多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] 三 填空题:（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 13. 14. 四 解答题: (本题共5小题,共77分) 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ■ ■ 1 2024 HSDFZ 1、考生必须在本页“条码粘贴区”贴好自己的条形码，并用0.5毫米 的黑色签字笔填写好姓名和班级，否则影响考试成绩； 2、选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔 答题，超出黑色边框区域的答案无效；并请注意题号顺序； 3、保持卷面清洁，不要折叠，弄破； 4、选择题填涂样例：正确：▅ 错误：[√] [×] [／] [▂] 注意事项 本区域请勿答题 16.（15分） 15.（13分） B4反面 ■ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ■ ■ 2 HSDFZ 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分） $《期末试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 10 答案 A A c B D B D C ACD ABD 题号 11 答案 ACD 1.【答案】A 【详解】已知a=(2,4),b=(x,1),a1b,则2x+4=0,解得x=-2.故选：A. 2.【答案】A 【详解】将4名学生随机排列，共有A种排法， 再将2位老师捆绑，形成一个大元素，然后将这个大元素插入4名学生中间形成的3个空位中的1个， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A4AA;=24×2×3=144种.故选：A. 3.【答案】C 【详解】对于A,若o∥B,mca,ncB,则m∥n或，n异面，故A错误， 对于B,若a⊥B,BLy,则o∥y或，Y相交，故B错误， 对于C,若o⊥y,B∥，则B⊥y,C正确， 对于D,若m∥n,m∥a,则n∥a或nc,故D错误，故选：C 4.【答案】B 【详解】对于A,“至少有1名男生”和至少有1名女生”的事件有共同的事件“一个男生、一个女生”，即选项A中 两个事件不互斥，A不正确： 对于B,“恰有1名男生”和“恰有2名女生的事件不同时发生，即它们是互斥的， 而“恰有1名男生”的对立事件是“恰有2名男生或者恰有2名女生”，即选项B中两个事件不对立，B正确： 对于C,“至少有1名男生”的事件包含“全是男生”的事件，即选项C中两个事件不互斥，C不正确： 对于D,“至少有1名男生和“全是女生”的事件不同时发生，即它们互斥，而它们又必有一个发生，即它们是对立 的，D不正确故选：B 5.【答案】D a=2「a=-2 【详解】由题意可得，ax+8=6x,=4, x=1故选：D (x=2或 6.【答案】B 【详解】如图： 取BC中点F,连接DF,EF,则EF //PB,则∠DEF或其补角为异面直线PB与DE所成的角. 不妨设AB=2,则△DEF中，DF=√5，EF=1,DE=√5， 所以coS∠DEF=DE+EF2-DP2_3+1-5_V5 2DE.EF 23 6 所以异面直线PB与DE所成角的余弦为5.故选：B 6 7.【答案】D. =20-5 详解意：当n=山时，A当n2时，2号令；当n3时，2,6 所以卫>P2>P3.故选：D. 8.【答案】C 【详解】因为AO=2AB+(1-2)AC,所以C0=CB, 又因为O为△ABC的外心，所以△ABC为直角三角形且AB LAC,O为斜边BC的中点， 过A作BC的垂线AQ,垂足为Q, 因为BA在BC上的投影向量为uBC, 所以Oi在BC上的投影向量为00=-000-nCnC-(（:}nc, 又因为o网-Bd,所以cos∠A0C= (a-2ic =2L-1, B OA 5网 因为引 所以2u-1e 13 13 55 即cos∠AOC的取值范围为 55 .故选：C 9.【答案】ACD 【详解】之m+i-m+i3+i_3m+mi+3i+_3m-1+m+3)i 10 10 因为2-ieR,所以m+3=1,解得m=7, 10 则z=2+i,乙=2-i,A正确， z在复平面内对应的点为(2，)，在第一象限，B错误. =4+=√5，C正确. z+2i=2+3i,虚部为3，D正确. 故选：ACD 10.【答案】ABD 【详解】对于A,由图可知，20×(0.0050+0.0075+0.0100×2+0)=1，解得a=0.0175,故A正确： 对于B,右图可知，最高的矩形是区间[220,240)所对应的矩形，所以众数是230，故B正确： 对于C,第一组的频率为20×0.0050=0.1，第二组的频率为20×0.0075=0.15， 第三组的频率为20×0.0100=0.2，第四组的频率为20×0.0175=0.35， 而0.1+0.15+0.2=0.45<0.5<0.45+0.35=0.8， 从而中位数在区间[220,240)内，设中位数为x, 则045+(：-20)x00175=05,解得x=29,放c错误： 对于D,第30百分位数在区间[200,220)内，设第30百分位数为x,则0.25+(x-200)×0.0100=0.3,解得 x=205,故D正确. 故选：ABD 11.【答案】ACD 【详解】因为侧面ACC,A是等腰梯形，AA=AC=1,∠AAC=60°， 所以AC=2 AA cos60°+AC,=2, 在△CC,A中利用余弦定理得AC=√CC2+AC2-2CC·AC.cos60°=V1+4-2=V5, 则AC?+CC2=AC2,则AC⊥CC, 因为∠ACB=90°，平面ACC,A⊥平面ABC,平面ACC,A∩平面ABC=AC, BCc平面ABC,所以BC⊥平面ACC,A, 因为ACC平面ACCA,所以BC⊥AC, 因为BC∩CC,=C,BC,CC,C平面BCCB,所以AC⊥平面BCCB,故A正确： 因为BC=25,∠ACB=90°，AC=2,所以AB=4, 因为ABC-AG是楼台，所以C48-S,即吃华号 1AB B.C AC AB BC' 得AB=2,BC=5, 取线段AC,的中点F,取线段BC靠近点B的四等分点M,连接EF,FC,FM, 因为E为A8的中点，所以EF/BG,-8G 义BCHBG,BC-Bc,则EnBC,EF=8C=BM. 1 4 所以四边形EFMB为平行四边形，所以BE∥FM, 因为BC⊥平面ACCA,所以直线BE与平面ACCA所成角为∠MFC, 由c=c-c-2 C-C.ow2=i+2x时f-子 得cr=, 2 因为CM=3c-3Y5,所以m∠MrC-C-35x2-35-2臣1. 2 FC=2x万-7V7 所以直线BE与平面ACC,A所成角大于45°，故B错误： 延长AA,BB,CC,交于点S,延长BE交SA于点P,连接PD交AC于点Q, 则AQE-ADB为三棱台， 因为Dc-号4AC=2,所以D-子4C,则。 Sac4 记S=5m-X2x25=25,则Sw-S, 3 因为治-格-方所以石 =1× 3S=3S,5Sa=4 s, 64 连接GD,因为CD=VGD°+cC-2CD.cC,os60-5 所以CD⊥AC, 因为平面ACC,A⊥平面ABC,平面ACCA⌒平面ABC=AC, CDC平面ACC,A,所以CD⊥平面ABC, 则三棱台AQE-ADB的体积为V= 三棱台AB,C-ABC的体积为V2 则y-X-4696 76349 则平面BD6将该三棱台分成两个几何体，则体积较小几何体的体积为号，故C正确： 因为BC⊥平面ACC,A,BC/IB,C,所以BC,⊥平面ACC,A, 因为AC,⊥CC,所以三棱锥B,-ACC的外接球和以C,A,C,C,C,B,为长宽高构成的长方体的外接球相同， 则球的半径为R=3+1+3。V 2 2 ,则该球的表面积为7π，故D正确。 12.【答案】6π 【详解】记圆台的轴截面为等腰梯形ABCD, 作圆台的轴截面如下： 过点D作DE⊥AB,垂足为E,过点C作CF⊥AB,垂足为F, 因为圆台上下底面半径分别为1和2，母线与下底面所成角为60°， 所以AB=4,CD=2,∠DAE=∠CBF=60°， 所以AE=1,DE=5,AD=2, 所以圆台的高为√5，母线长为2.故圆台的侧面积S=1+2)×2=6π. 故答案为：6m 13.【答案】540 【详解】若三个景区安排的人数之比为1：2：3，则有CCA=360种安排方法： 若三个景区安排的人数之比为11：4，则有CSxA-90种安排方法， A 若三个景区安排的人数之比为2：22，则有CCSx4=90种安排方法， A 故不同的安排方法种数是360+90+90=540. 14.【答案】35 B.ANsin 【详解】由 S.ABN=BN 2 S.ACN NC 3→BN=AB 2 AC.ANsin元 NC AC' 由于BC=6MN,则MN=2BC,MC=BC,BN=BM-NM=BC-LBC=BC, 6 21 6 3 CN-MC+NM=1BC+1BC=2 1 BC, 61 3 因此BN=AB、1 NC AC2 .=.+AB.AN sinAC.AN sinAC.ABsin 1 32 32 3 化简得4(AB+AC)=AC·AB, N M 故AC=12,AB=6, 因t画-亚-aG-丽+ac+2aGa元-6+14-2x6x2月-35， 15,【将案10店因治 【详解】()甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是； 答对第二题的概率分别是)， .2 、甲考生通过某校强基招生面试的概率为片了×，石 …6 (2》乙考生通过某校强基招生面试的概率为B-2X了6 111 121 丙考生通过某校强基招生面试的概率为P=,×。 436 …8 .甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： 13 16,【答案】0)3175岁Q①} (i)10 【详解】(1)设这m人的平均年龄为x,则 元=22.5×0.02×5+27.5×0.07×5+32.5×0.05×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=31.75 …5 (2)(i)由题意得，第四组应抽取0.2x20=4人，记为A(甲)，B,C,D, 第五组抽取0.1×20=2人，记为E(乙)，F, 对应的样本空间的样本点为： 2={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)} 设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，则 M={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,E),(C,E),(D,E),(E,F)}, 所以PM)=n(M_9-3 n(2)155 …10 ()设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为无，天，方差分别为s,S5, 则医=6，属=42，或-=1 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z,方差为s2, 则元=4+2_4×36+2x42=38, ……121 6 6 -若4×[E+(民-]2[+民-门-64[3+668r2✉[+(29=10,4 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这m人中3545岁所有人的年龄的方差为10. …15 17.【答案】(1)证明(2)(i)证明(i) 3 (I)证明：因为F,G分别为AB,AC的中点，所以FG//BC, 而FGE平面PBC,BCC平面PBC, 则FGII平面PBC. 连接BD,因为四边形ABCD为矩形，所以G为BD中点， 因为E是PD的中点，则EG/IPB, 而EGt平面PBC,PBC平面PBC, 所以EGII平面PBC, 又EG,FGC平面EFG,且EGOFG=G, 所以平面EFG/I平面PBC. …5 (2)()证明：以A为原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示. A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,2,0),E(0,1,1), 则PC=(（1,2,-2),AE=(0,1,1): M 因为PC.AE=0+2-2=0,所以AE⊥PC. 由己知得EM⊥PC,因为AE,EMC平面AEM,且AEOEM=E, 所以PC⊥平面AEM, 因为AMC平面AEM,故PC⊥AM. .….10 因为210所以-(0-小 由(i)得PC是平面AEM的法向量， 设直线EG与平面AEM所成角的大小为日， 1 +2 则sin0= cos<EG,PC> 2 √5 5 3, ×3 2 即直线EG与平面AEM所成角的正弦值为5 .15 18.【答案1@B=Q①(G到 93 6’2 (i) 2 185 【详解】(1)因为c=bcosA+2a, sin C=sin (A+B)=sin AcosB+cos Asin B=sin Bcos A+sin A, 所以sin AcosB=2sinA, 而A∈(0川，从而sinA>0,所以cosB= 3 …………………4 又因为B∈(O,m),所以B= 3: ……6 0<A<亚 (2)显然B=号是锐角，需满足 ,解得<A< 0<B= 2π 6 -A< 2 兀兀 故角A的取值范围为 62 ……………8 因为B=了，a=6,所以S=acsin B- 35 C 2 a 由正弦定理有sin A sinC in2π-A sin 所以 6sin 3 sin A 所以s=3W5 CosA+ -sin A c=9W5.2 =93 .……12 sin A 2 tan A 因为角A的取值范围为 ππ 6’2 所以tanA的取值范围为 的取值范围为(0，√5)， tanA 73 的取值范围为0， 1 的取值范围为 2tan A 2 2 2tanA 故S=9√3 的取值范围为 ……………17八 2tan A 19.【答案】(1)(i)证明见解析，(i) 1 【详解】(I)(i):BC⊥BD,AD⊥BC,BDOAD=D, BDC平面ABD,ADC平面ABD, .BC⊥平面ABD, …3 :BCC平面BCD, .平面ABD⊥平面BCD: …5 (ii)·平面ABD⊥平面BCD,过A作AE⊥BD交BD于E,AEC平面ABD, ∴.AE⊥平面BCD,过B作BFIIAE, 以B为原点，BC,BD,BF分别为x,y,z轴建系，如图所示. ………6 △BCD是等腰三角形，BC⊥BD,BD=4,BC=4, △ABD是等腰三角形，∠ADB=120°，.BD=AD=4,∠ADE=60°， .DE=2,AE=2√5，.BE=BD+DE=6, ∴B0,0,0),∴C(4,0,0),D0,4,0),A(0,6,25), DE少 BC=(4,0,0,CD=(-4,4,0),AC=(4,-6-25), 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), AC.=0 。 [4-6-25=0,取x=1,解得)=1-5 CD.=0 -4x+4y=0 4=15. 3 ,平面BCD的法向量为n=(0,0,1), 设平面BCD与平面ACD的夹角为a, ∴.cosa= cos(m,n2 n1·n2 3-万 √21 7 平面BCD与平面ACD的夹角的余弦值为万 …11' (2)设CD的中点为O,:BC⊥BD,∴.O为RtaBCD的外心，过O,作OO⊥平面BCD, D 设△ABD的外接圆的外心为O,过O,作平面ABD的垂线O,O, 则球心在直线00上，：O0球心在直线00上， .三棱锥A-BCD外接球的球心为直线O,O和直线O,O的交点O, :△BCD的外接圆的半径为r=22, 在△ABD中，设△ABD的外接圆的半径为2，：AD=BD=4,∠ADB=120°，.∠DAB=30°， 2= BD sin☑DAB sin30=8,5=4, 4 设BD的中点为M,则O,M⊥BD,O2M⊥BD, 则∠O,M02为二面角A-BD-C的平面角，设∠OM02=a, ·.∠ADB=120°，AD=BD=4,.O2B=O2A=O2D=4, ∴.0，M=2W3,.0,M=2, ∴(0,02)}'=(0，M)'+(0M)2-20,M.0,M cosa=16-8V5cosa, 0,02=V16-&3cosa, :∠O0M=∠002M=90°，.O,O,O2,M四点共圆， ∴.OM为四边形OO02M的外接圆的半径， ∴0M=90 V16-8/3cosa 2v4-2v3 cos a =2, 4-2v3cosa sina sin a sin a sin2a =2 4-2v3cosa 1-cos2a …14 设1=4-2W5c0sa,则4-25≤1≤4+25，cosa=4 25, t t 12t .OM=2 =2 4-t 16-8+F=2-4+8-F=2 12 4 1-25) -(已+)+8 12 12 ≥2 -=25 当且仅当t时，即1=2时取等号，(OM)。=25, 三棱锥A-BCD外接球的半径为R,R=V《OM?+(MD), MD=2,Rmm=V12+4=4. …17