精品解析：浙江省杭州市滨江区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

试题卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 角 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形 3. 下列各选项中，矩形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 邻角互补 D. 对角线互相平分 4. 已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”这个结论时，可假设（ ） A. B. C. D. 与不平行 6. 如图，的对角线，相交于点．若，的周长为，则的两条对角线长的和是（ ）． A. B. C. D. 7. 一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了60名参赛学生的成绩数据，已知这60个数据的第25百分位数是80，则下列说法正确的是（ ） A. 把这60个数据从小到大排列后，80是第16个数据 B. 把这60个数据从小到大排列后，80是第15个数据和第16个数据的平均数 C. 把这60个数据从小到大排列后，80是第15个数据 D. 把这60个数据从小到大排列后，80是第14个数据和第15个数据的平均数 9. 甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，以正方形的对角线为一边，作矩形，其边经过的中点，连结，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 当时，二次根式的值为________． 12. 如图是小江同学不同科目六次检测成绩的箱线图，则他成绩最稳定的学科是________． 13. 若是关于x的方程的一个根，则的值为________． 14. 倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某环保小组收集了户家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，第百分位数是千克，则这户家庭中耗碳量大于或等于千克的至少有______户． 15. 如图，菱形的两条对角线，交于点，点为的中点，若，，则的长为________． 16. 如图，在正方形中，，点在边上，于点，连接，，若，则的面积为________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在所给的格点图（每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上）中完成下列各题： （1）以点A为旋转中心，将按逆时针方向旋转，作出旋转后的． （2）完成（1）的作图后，图中哪些边所在直线与垂直？把它们直接写出来． 20. 运动员小滨进行某次射击训练后，统计其成绩（命中环数）获得如下的条形统计图． （1）求小滨这次射击成绩的中位数和众数． （2）根据统计图，求小滨这次射击的平均成绩． （3）求这些射击成绩的离差平方和． 21. 如图，是一块草地，为了方便给草地浇水，小聪在草地内铺设了四边形作为一条道路．他的方法是在的边上取点E，在边上截取，连接，． （1）请证明小聪铺设的四边形是平行四边形． （2）若，平分，，求四边形的周长． 22. 【阅读理解】 滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例如，他的计算方法如下： 设（，），得，，猜想，验证成立，得． 【深入思考】 （1）江江发现把两边平方，得，设，又因为，所以， 这样就能先求的值，再求出，的值，请你把江江求，值的这个解题过程写完整． 【尝试探究】 （2）把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）： ① ② 23. 关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． （1）求证：无论取何值，是方程①的一个根． （2）当时，求的取值范围． （3）若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 24. 在菱形中，，E为中点，与关于对称，延长交于点F，延长交的延长线于点H． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）求和四边形的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试题卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数， ∴ 对于二次根式，可得不等式 ， 解不等式得 ， ∴的取值范围是． 2. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 角 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形 【答案】D 【解析】 【分析】若一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能互相重合，则该图形是轴对称图形，若一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，则该图形是中心对称图形，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 3. 下列各选项中，矩形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 邻角互补 D. 对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项判断各选项是否符合题意即可． 【详解】解：A、矩形和菱形的对角都相等，故此选项不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； C、矩形和菱形的邻角都互补，故此选项不符合题意； D、矩形和菱形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意． 4. 已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 5. 如图，用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”这个结论时，可假设（ ） A. B. C. D. 与不平行 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步应假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立， 原命题的结论是“两条直线不平行”，其反面是“两条直线平行”，据此可得答案． 【详解】解：用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行” 时，首先要假设结论不成立， ∵ 原命题的结论是“两条直线不平行” ， ∴ 其反面是“两条直线平行”， ∴首先要假设． 6. 如图，的对角线，相交于点．若，的周长为，则的两条对角线长的和是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质推出，，，再根据三角形的周长即可求出的值，最后通过即可求解． 【详解】∵的对角线，相交于点，， ∴，，， ∵的周长为， ∴，即， ∴． 7. 一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，则多边形的内角和是度；边形的内角和是，则可以设这个多边形的边数是，这样就可以列出方程，解之即可． 【详解】解：多边形的内角和是度，设这个多边形的边数是，根据题意得：， 解得，即这个多边形的边数是7． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式和外角和定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式． 8. 某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了60名参赛学生的成绩数据，已知这60个数据的第25百分位数是80，则下列说法正确的是（ ） A. 把这60个数据从小到大排列后，80是第16个数据 B. 把这60个数据从小到大排列后，80是第15个数据和第16个数据的平均数 C. 把这60个数据从小到大排列后，80是第15个数据 D. 把这60个数据从小到大排列后，80是第14个数据和第15个数据的平均数 【答案】B 【解析】 【分析】根据第25百分位数的定义可得答案 【详解】解：， 把这60个数据按照从小到大排列后，取前30个数据，这30个数据的中位数为第15个数据和第16个数据的平均数，即这60个数据的第25百分位数是第15个数据和第16个数据的平均数，即80是第15个数据和第16个数据的平均数； 综上所述，四个选项中只有B选项中的说法正确，符合题意． 9. 甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出原来的采摘个数，根据甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是列出，再根据乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是列出，最后根据提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍列出方程求解即可． 【详解】设甲、乙原来每分钟采摘苹果的个数为，其中， 根据题意列方程：， ，两边约去得：， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得，（舍）， 答：的值为． 10. 如图，以正方形的对角线为一边，作矩形，其边经过的中点，连结，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，交于点，根据正方形的性质设，结合勾股定理求出的值，再根据矩形的性质推出、为等腰直角三角形，结合是的中点，运用勾股定理求出、、、，最后运用勾股定理求解、的值即可 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵正方形，对角线为， ∴，，， 设， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵， ∴， ∵矩形， ∴，， 又∵ ∴， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，，，解得， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，解得， ∴， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∴． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 当时，二次根式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将的值代入二次根式计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 12. 如图是小江同学不同科目六次检测成绩的箱线图，则他成绩最稳定的学科是________． 【答案】数学 【解析】 【分析】箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】由题意可知，他成绩最稳定的学科是数学． 13. 若是关于x的方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，对等式左边因式分解，结合的条件，即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴把代入方程得， 整理得：， ∵， ∴，即． 14. 倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某环保小组收集了户家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，第百分位数是千克，则这户家庭中耗碳量大于或等于千克的至少有______户． 【答案】 【解析】 【分析】根据第百分位数的含义：将数据从小到大排序后，至多有的数据小于该数值，至少有的数据大于或等于该数值求解即可． 【详解】（户） 15. 如图，菱形的两条对角线，交于点，点为的中点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形，对角线，交于点，，， ∴，，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵在中，点为的中点， ∴． 16. 如图，在正方形中，，点在边上，于点，连接，，若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作的垂线，交于点，交于点，根据得，设，则，证明和全等得，在中，由勾股定理得，则，，再证明四边形是矩形得，，由三角形面积公式得，则，据此可得的面积为． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作的垂线，交于点，交于点， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： 解得：． 19. 如图，在所给的格点图（每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上）中完成下列各题： （1）以点A为旋转中心，将按逆时针方向旋转，作出旋转后的． （2）完成（1）的作图后，图中哪些边所在直线与垂直？把它们直接写出来． 【答案】（1）如图所示，即为所求 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据旋转的特点作图即可； （2）利用勾股定理及其逆定理可证明，则；由旋转的性质得到，则可证明，则． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，和所在的直线都与是垂直． 20. 运动员小滨进行某次射击训练后，统计其成绩（命中环数）获得如下的条形统计图． （1）求小滨这次射击成绩的中位数和众数． （2）根据统计图，求小滨这次射击的平均成绩． （3）求这些射击成绩的离差平方和． 【答案】（1）中位数为9环，众数为9环； （2）9环 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）根据离差平方和的定义求解即可． 【小问1详解】 解：把小滨的射击成绩按照从低到高的顺序排列为：7，8，9，9，9，9，9，10，10，10，第5个数据为9环，第6个数据为9环， ∴小滨这次射击成绩的中位数为环， ∵射击成绩为9环的次数最多， ∴小滨这次射击成绩的众数为9环； 【小问2详解】 解：（环）， 答：小滨这次射击的平均成绩为9环； 【小问3详解】 解：， ∴这些射击成绩的离差平方和为8． 21. 如图，是一块草地，为了方便给草地浇水，小聪在草地内铺设了四边形作为一条道路．他的方法是在的边上取点E，在边上截取，连接，． （1）请证明小聪铺设的四边形是平行四边形． （2）若，平分，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再证明，则可证明四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义得到，则可证明是等边三角形，得到；再根据平行四边形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长 ． 22. 【阅读理解】 滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例如，他的计算方法如下： 设（，），得，，猜想，验证成立，得． 【深入思考】 （1）江江发现把两边平方，得，设，又因为，所以， 这样就能先求的值，再求出，的值，请你把江江求，值的这个解题过程写完整． 【尝试探究】 （2）把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）： ① ② 【答案】（1） 把两边平方，得，设，又因为，所以， 所以， 整理得：，解得，， 当时，，， ∵，， ∴，； 当时，，， ∵，， ∴，； 综上，，或，． （2） ① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题干中的方法列出关于的一元二次方程，解方程即可； （2）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设（，）， 得，， 猜想， 验证成立， 得． ②设（）， 得，， 猜想， 验证成立， 得． 23. 关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． （1）求证：无论取何值，是方程①的一个根． （2）当时，求的取值范围． （3）若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 ∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 24. 在菱形中，，E为中点，与关于对称，延长交于点F，延长交的延长线于点H． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）求和四边形的面积之比． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得到，再由平行线的性质和轴对称的性质证明，即可证明； （2）过点E作，交的延长线于点R，由菱形的性质得到，；求出，则可求出，进而得到，由勾股定理可求出的长；证明，可得，据此可得答案； （3）过点D作，交的延长线于点P，连接，设，则，可证明；求出，则可求出，；由勾股定理得，可推出，则可推出；再证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作，交的延长线于点R， ∵四边形是菱形， ∴，； ∵E为中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点D作，交的延长线于点P，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 由（2）得， ∴， ∴， 由（1）得； ∵， ∴， ∴， ∴，； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $