14.3.2角的平分线的判定（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的判定”，核心知识点涵盖判定定理内容、几何语言规范及与性质定理的对比。课堂导入通过复习角平分线性质定理，提出“到角两边距离相等的点是否在角平分线上”的问题，构建性质与判定的互逆知识脉络，形成学习支架。 其亮点在于以分层练习（基础选择填空、能力提升证明、中考考点应用）和易错总结为特色，结合推理能力培养（如通过HL全等证明判定定理）、应用意识渗透（如生活情境中建中转站问题），帮助学生规范几何语言，发展逻辑思维。教师可直接使用系统资料提升教学效率，学生能在辨析与应用中深化理解。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 14.3.2角的平分线的判定 第十四章 全等三角形 14.3.2 角的平分线的判定 同步精讲练习题 一、核心知识点精讲 1. 角平分线的判定定理（重点） 定理内容：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 简单理解：等距 ➜ 在平分线上（性质是：在平分线上 ➜ 等距，二者互为逆定理）。 2. 标准几何语言（考试必背） 已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE ∴ OP平分∠AOB（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上） 3. 性质与判定完整对比（必考辨析） 性质定理：点在角平分线上 → 垂线段距离相等（知线得等距） 判定定理：垂线段距离相等 → 点在角平分线上（知等距得线） 4. 判定成立的三个必备条件 ① 点在角的内部；② 向角两边作垂直；③ 两条垂线段长度相等。 缺一不可！没有垂直、点在角外，都不能判定角平分线。 5. 重要拓展结论 三角形内部，到三边距离相等的点，是三角形三条角平分线的交点（内心）。 6. 解题作用 无需证明三角形全等，直接通过垂线段相等，证明射线是角平分线，简化证明过程。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 能判定一条射线是角平分线的条件是（） A. 点在角内部 B. 点到角两边线段相等 C. 点在角内部，且到两边垂直距离相等 D. 以上都不对 2. 已知点P在∠AOB内，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则（） A. OP平分∠AOB B. OP=OA C. ∠AOB=90° D. PM∥PN 3. 三角形内心是三角形（）的交点 A. 高线 B. 中线 C. 角平分线 D. 垂直平分线 （二）填空题 4. 在角的内部，到角两边________的点，在这个角的平分线上。 5. 若点P在∠BAC内部，PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE，则AP________∠BAC。 6. 判定角平分线，必须满足点在角内部、________、距离相等三个条件。 （三）基础证明题 7. 已知：点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD。求证：OP平分∠AOB。 8. 已知：在△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF。求证：AD平分∠BAC。 三、能力提升题 9. 如图，△ABC的∠B、∠C的平分线交于点P，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC。求证：点P在∠A的平分线上。 10. 已知：CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BD=CE，BE、CD交于点O。求证：AO平分∠BAC。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. C 解析：角平分线判定核心：角内+双垂直+距离相等。 2. A 解析：满足判定定理条件，可直接得出OP平分∠AOB。 3. C 解析：三角形内心为三条角平分线交点，到三边距离相等。 （二）填空题 4. 距离相等 5. 平分 6. 两边垂直 （三）基础证明题 7. 证明：∵点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD ∴ OP平分∠AOB（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上） 8. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，点D在∠BAC内部 ∴ AD平分∠BAC（角平分线判定定理） （四）能力提升题解析 9. 证明：∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PD⊥BC ∴ PE=PD（角平分线性质） ∵ CP平分∠ACB，PF⊥AC，PD⊥BC ∴ PF=PD（角平分线性质） ∴ PE=PF 又∵PE⊥AB，PF⊥AC，点P在∠BAC内部 ∴ 点P在∠A的平分线上（角平分线判定定理） 10. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90° 在△BDO和△CEO中，∠BDO=∠CEO，∠BOD=∠COE，BD=CE ∴ △BDO≌△CEO（AAS），∴OD=OE ∵OD⊥AB，OE⊥AC，点O在∠BAC内部 ∴ AO平分∠BAC（角平分线判定定理） 五、本节易错总结 1. 判定定理必须要有垂直，普通线段相等不能判定角平分线； 2. 区分性质与判定：知平分线证线段相等用性质，知线段相等证平分线用判定； 3. 必须强调点在角的内部，否则结论不成立。 通过探究角的平分线的判定定理，使学生能够利用角的平分线的判定进行证明，培养学生的推理能力. 在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识，增强学生解决问题的信心. 能够运用角的平分线的判定定理解决相关问题. O D P P到OA的距离PD P到OB的距离PE. P是角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 叙述角平分线的性质定理. 不必再证全等 E 复习引入 知识点 角平分线的判定 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 这个点在这个角的平分线上. 自己证明看看？ 知识点 角平分线的判定 已知：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：如图，过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO= 90°. 在 Rt△OPD和Rt△OPE 中， C OP=OP， PD=PE， 知识点 角平分线的判定 已知：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）. ∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线上. C 知识点 角平分线的判定 角平分线的判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言： 如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E， 且 PD = PE， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上， 即 OP 平分∠AOB. 知识点 角平分线的判定 角的平分线上的点到角两边的距离相等； 从上面两个结论可以看出： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 所以在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 证明： (1)如图，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 例1 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证： (1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等. A B C P N M E D F 知识点 角平分线的判定 (2)由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . 例1 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证： (2)△ABC的三条角平分线交于一点. A B C P N M E D F 知识点 角平分线的判定 证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD, 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 跟踪训练 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF. 求证：AD平分∠BAC. BD=CD， BE=CF， 知识点 角平分线的判定 证明：∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL), ∴DE=DF, 又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC. 跟踪训练 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF. 求证：AD平分∠BAC. 知识点 角平分线的判定 （第1题） 1. 在正方形网格中, 的位置如图所示,则 到 两边距离相等的点是( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 中考考法 13 2. ［2025常州期中］小王同学在学习了全等三角形的相关知 识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个 角的平分线，如图，一把直尺压住射线 ，另一把直尺压住 射线并且与第一把直尺交于点，小王说：“射线 就是 的平分线”.这样做的依据是( ) 中考考法 14 （第2题） A. 平行线之间的距离处处相等 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距 离相等 D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的 平分线上 √ 返回 中考考法 15 （第3题） 3.［2025泰安期中］如图所示，点 在 一块直角三角板 上（其中 ），于点 ， 于点.若 ，则 的度数是____. 【点拨】 ， ， . ，，，是 的平分 线. . . 返回 中考考法 16 （第4题） 4.如图，点在 的内部，且到三边 的距离相等，于点 ， ，的周长是36，则 的面积为____. 54 中考考法 17 【点拨】 点在 的内部，且到三边的距离相 等， 点为 的三条角平分线的交点. 如图，过点作于点， 于 点，则的周长为36， . 返回 中考考法 18 5.母题教材P50练习 如图，在直线上求作一点 ，使点 到射线和 的距离相等.（要求用尺规作图，保留作图 痕迹，不必写作法和证明过程） 【解】如图，点 即为所作. 返回 中考考法 19 6.如图，在中，是的中点，， ， 垂足分别是，，.求证：是 的角平分线. 中考考法 20 【证明】是的中点， . ，， . 在和中， ， . 平分，是 的角平分线. 返回 中考考法 21 （第7题） 7. 如图，直线，， 表 示三条公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则可供选择 的地址有( ) D A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 返回 中考考法 22 （第8题） 8.如图，在中，， 的 平分线与的外角 的平分线相交 于点，作的延长线得到射线 ，作射 线 ，有下面四个结论： ； ；③射线 ①③④ 是的平分线； .所有正确结 论的序号是________. 返回 中考考法 23 角的平分线 判定定理 三角形的角平分线交于一点. 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 内容 作用 结论 判断一个点是否在角的平分线上. $