14.2.5斜边直角边-课件- 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的HL判定定理，通过复习SAS、ASA等四种普通三角形全等判定方法，提问其对直角三角形的适用性，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生探究直角三角形特有的全等条件。 其亮点在于结合动手画图操作（如给定斜边和直角边画直角三角形）和多解法典例（如证明CF=EF的两种思路），培养学生数学思维（推理能力）与几何直观。课堂小结明确HL的前提与注意事项，帮助学生系统掌握知识，教师可直接用于教学提升效率。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 14.2.5斜边直角边 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册14.2.5 直角三角形全等的判定（HL）同步练习题 知识点核心：HL判定定理专属适用条件（仅直角三角形）、定理内容（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）、区分HL与普通三角形全等判定方法、利用HL结合公共边、隐含垂直条件完成证明、直角三角形全等的综合辨析与计算 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于HL判定定理的说法正确的是（） A. 适用于所有三角形 B. 仅适用于直角三角形 C. 需要两角一边相等 D. 需要三边对应相等 2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若要用HL证明全等，需要的条件是（） A. ∠A=∠D，∠B=∠E B. AC=DF，BC=EF C. AB=DE，BC=EF D. ∠A=∠D，AB=DE 3. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一条直角边和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 三个角对应相等 D. 一锐角和一条直角边对应相等 4. 如图，Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，AB为公共斜边，若判定全等需补充条件（） A. ∠CAB=∠DBA B. AC=AD C. ∠ABC=∠BAD D. AB=BD 5. 直角三角形全等独有的判定方法是（） A. SAS B. ASA C. HL D. SSS 二、填空题（每题4分，共20分） 1. HL判定定理：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。 2. 证明直角三角形全等时，除HL外，还可以使用________、________、ASA、AAS。 3. 已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则两三角形________（填“全等”或“不全等”）。 4. 若两个直角三角形斜边相等、一条直角边不相等，则这两个三角形________全等。 5. 垂直于同一直线的两个直角三角形，若斜边公共，可通过________定理证明全等。 三、解答题（共60分） 1.（15分）判断下列各组直角三角形能否全等，并说明依据。（1）斜边相等，一条直角边相等；（2）两锐角对应相等；（3）两条直角边对应相等。 2.（15分）已知：AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 3.（15分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足为D、E，BD=CE。求证：Rt△BDC≌Rt△CEB。 4.（15分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E。求证：△ACD≌△AED。 参考答案与解析 一、选择题：1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 解析：HL是直角三角形专属判定方法，无需角度条件；AAA只能证明三角形相似，无法判定全等，做题需严格区分普通三角形与直角三角形判定定理。 二、填空题：1.斜边、直角边 2.SSS、SAS 3.全等 4.不能 5.HL 解析：HL核心要点：必须是直角三角形+斜边+一条直角边，三者缺一不可，是直角三角形最简的判定方法。 三、解答题：1.（1）能，依据HL；（2）不能，AAA无法判定全等；（3）能，依据SAS。 2. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA（公共斜边），AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 3. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠CEB=90°。在Rt△BDC和Rt△CEB中，BC=CB（公共斜边），BD=CE，∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL）。 4. 证明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE。∠C=∠AED=90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，∴△ACD≌△AED（HL）。 复习回顾 FU XI HUI GU 思考 前面我们学习了哪些判定三角形全等的方法？ SAS ASA AAS SSS 前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 4. 两个直角三角形中，直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，已知 AC = A’C’，AB= A’B’，∠C = ∠C’=90°，△ABC≌△DEF 吗？ 我们知道，证明一般的三角形全等不存在 “ SSA”定理. 我们可以通过画图试试看. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 探究 已知两条线段(这两条线段长不相等) ,试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边. 2cm 3cm 步骤: 1.画一条线段AB,使它等于2cm ; 2.画∠MAB =90°(用量角器或三角尺); 3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C; 4.连结BC.△ABC即为所求. A B C M 你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. 如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM,则∠BMA>∠C, ∠BMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',则有AB>BM′ >BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN,同理可得BN>AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A′在射线CA上，A'B′=AB,可知点A′与点A重合.这样，△A'B'C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： 在做题时往往在相等的边或角上作相同的标记，方便辨别和判定全等三角形. 注 意 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， A B C A′ B′ C′ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 格式要求： 第一个三角形的名称和对应的判定条件 第二个三角形的名称和对应的判定条件 指明范围 说明依据 得出结论 全等三角形的对应字母要写在对应的位置，顺序不能错 三个条件必须按照 斜边 直角边 的顺序进行书写 范围和结论中 必须写明Rt△ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 出现直角要认真观察，到底是用“AAS”、“ASA”还是“HL”. 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. AB = BA， AC = BD . 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 将隐藏的直角找到！ 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 已知：如图，AB=CD，D、B到AC的距离DE=BF.求证：AB//CD． 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠AFB=90°， ∵在Rt△DEC和Rt△BFA中， DE=BF AB=CD ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)， ∴∠DCE=∠BAF， ∴AB//CD． 先找到全等的三角形！ 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求DE的长． 解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC=∠D=90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中 AC=BC AE=CD , ∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL)， ∴CE=BD=2，CD=AE=7， ∴DE=CD-CE=7-2=5. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 A F C E D B 如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.求证：BF = DE. 证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BFA =∠DEC = 90°. ∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF， 即 AF = CE. 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， AB = CD， AF = CE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL). ∴ BF = DE. 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 思考如何通过证明三角形全等得到对应边相等 如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC ＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB.求证：CF＝EF. 证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED， ∠CAB＝∠EAD. ∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即 ∠DAC＝∠BAE. 在△ACD和△AEB中， AC＝AE， ∠DAC＝∠BAE， AD＝AB， ∴△ACD ≌△AEB(SAS)． 通过两次证明三角形全等得到，同学们要灵活使用全等三角形的性质和判定！ 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC ＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB.求证：CF＝EF. ∴CD＝EB，∠ACD＝∠AEB. 又∵∠ACB＝∠AED， ∴∠ACB－∠ACD＝∠AED－∠AEB， 即∠DCF＝∠BEF. 在△CDF和△EBF中， ∠DFC＝∠BFE， ∠DCF＝∠BEF， CD＝EB， ∴△CDF≌△EBF(AAS)． ∴CF＝EF. 同学们还能想到更简洁的方法吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 能否证明DF=BF从而得出结论？ 如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC ＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB.求证：CF＝EF. 法二：连结AF. ∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴CB＝ED，AB＝AD. 在Rt△ADF和Rt△ABF中， AF＝AF， AD＝AB， ∴Rt△ADF≌Rt△ABF(HL)． ∴DF＝BF. ∴CB－BF＝ED－DF，即CF＝EF. 1. 如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，则 判定图中两三角形全等的条件是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 16 2. ［2025济宁月考］如图，作一个角等于已知角（尺规作图） 的正确顺序是( ) A A. ①⑤②④③ B. ②①③④⑤ C. ②①④③⑤ D. ①③②④⑤ 返回 中考考法 17 3. ［2025淄博期中］根据下列已知条件，能画出唯一 的是( ) D A. ，， B. ，， C. ， D. ， ， 返回 中考考法 18 4. 利用下列尺规作图，不一定能判定直线平行于直线 的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 19 5. ［2025唐山期中］如图，已知与上的点，点 ， 现进行如下操作： ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接 ； ②以点为圆心，长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，交第②步中所画的弧于 点，连接 . 下列结论不能由上述操作结果得出的是( ) 中考考法 20 A. B. C. D. √ 返回 中考考法 21 课堂小结 QING JING YIN RU 内容 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 前提 在直角三角形中 注意 只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个是一对边相等) $