13.3.2 三角形的外角-课件-人教版2026-2027学年数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、定理、性质及外角和，通过“果果农田行走”情境导入，结合内角和知识引出外角特征，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光（如无人机模型、凸透镜折射等跨学科例题）、数学思维（外角定理多种证法、推理应用）和数学语言（规范表达格式），典例分层且联系生活，帮助学生提升推理能力与应用意识，教师可利用丰富例题和习题优化教学。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 13.3.2 三角形的外角 第十三章 三角形 人教版八年级上册13.3.2三角形的外角同步练习题 知识点核心：三角形外角的定义、三角形外角定理（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）、外角的性质（外角大于任意一个与它不相邻的内角）、利用外角性质进行角度计算与几何推理、内外角综合运算 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于三角形外角的说法正确的是（） A. 外角是三角形内角的邻补角 B. 三角形只有三个外角 C. 外角一定大于内角 D. 外角等于两个内角的和 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角的度数为（） A. 110° B. 100° C. 90° D. 70° 3. 三角形的一个外角为120°，其中一个不相邻内角为55°，则另一个不相邻内角为（） A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° 4. 若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 在△ABC中，外角∠ACD=105°，∠B=30°，则∠A的度数为（） A. 75° B. 65° C. 55° D. 45° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的________。 2. 三角形的外角等于________________________两个内角的和。 3. 在△ABC中，∠A=35°，∠B=45°，则与∠C相邻的外角为________°。 4. 三角形的一个外角________任意一个与它不相邻的内角（填“大于”“小于”或“等于”）。 5. 等腰三角形的一个内角为70°，则它的一个外角的度数为________°。 三、解答题（共60分） 1.（15分）根据已知条件，利用外角性质求解角度。（1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=55°，求∠ACB的外角度数；（2）已知三角形一个外角为130°，一个不相邻内角为60°，求另一个不相邻内角。 2.（15分）如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠B=25°，∠A=50°，CE平分∠ACD，求∠ECD的度数。 3.（15分）已知在△ABC中，外角∠ACD=110°，∠A比∠B大20°，求△ABC的两个内角∠A、∠B的度数。 4.（15分）求证：三角形的任意一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 参考答案与解析 一、选择题：1.A 2.A 3.A 4.C 5.A 解析：三角形外角与相邻内角互为邻补角；外角恒大于任意一个不相邻内角，钝角三角形的钝角对应外角为锐角，小于相邻内角；解题核心为外角定理，快速转化角度求解。 二、填空题：1.外角 2.与它不相邻的 3.80 4.大于 5.110或100 解析：依据外角定义和性质计算，等腰三角形70°内角可为顶角或底角，分两种情况计算外角度数，避免漏解。 三、解答题：1.（1）根据外角定理，外角=40°+55°=95°；（2）130°−60°=70°。 2. 先求∠ACD=∠A+∠B=75°，CE平分∠ACD，故∠ECD=75°÷2=37.5°。 3. 由外角定理得∠A+∠B=110°，又∠A−∠B=20°，联立解得∠A=65°，∠B=45°。 4. 证明：设三角形任意外角为∠1，相邻内角为∠2，两个不相邻内角为∠3、∠4。由外角定理∠1=∠3+∠4，因此∠1＞∠3，∠1＞∠4，得证。 情境引入 QING JING YIN RU 假期，果果到爷爷的农田中帮忙，其中有一块田是三角形形状的.果果沿着这块三角形农田周围的小路，按逆时针行走.小明每从AC小路到AB小路时，身体转过的角度是多少？ 1 A B C 40° 70° D 由三角形内角和易得 ∠BAC = 180°－∠ABC－∠ACB = 70°， 所以∠BAD = 180°－∠BAC= 110°. 像∠BAD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的外角 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角. C B A D ② 角的一边是三角形的一边 ① 角的顶点是三角形的顶点 ③ 另一边是三角形中一边的延长线 三角形的外角应具备的条件 思考三角形的外角应具备的条件 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEC 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 每个顶点处有几个外角？它们有何关系？ 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ E C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 每个顶点处有2个外角，如上图，△ABC在点C处有两个外角，分别是∠BCE 和∠ACD，它们是对顶角，因此它们相等. 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 三角形共有几个外角？ A B C 每一个顶点相对应的外角都有 2 个， 且这 2 个角为对顶角. 每一个三角形都有 6 个外角． 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 三角形的一个外角和它相邻的内角有何数量关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的一个外角和它不相邻的两个内角有何数量关系？ ∠BCD =∠A+∠B . ∠BCD 与∠ACB 互补. 你会证明这个结论吗？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的外角 A C B D 不相邻的内角 求证：∠BCD =∠A+∠B . 证法一： 由三角形的内角和可知 ∠A+∠B+∠ACB=180° 由邻补角的定义可知 ∠BCD +∠ACB=180° ∴∠BCD =∠A+∠B . 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 求证：∠BCD =∠A+∠B . 证法二： D A B C 1 2 E 过 C 作 CE∥AB， 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. 推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. （第1题） 1. 如图，点,,在直线上，点 在线段上，则下列是 的外角 的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 11 （第2题） 2. 如图，在中， 平分 ，平分， 平分 的外角 ，若 ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 12 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 由推论可知 ∠BCD =∠A+∠B 因此 ∠BCD >∠A, ∠BCD >∠B . 三角形的一个外角和它不相邻的一个内角有何数量关系？ 三角形的一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角. 即∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 想想三角形的内角和与外角！ 求出下列图形中∠1 的度数. 30° 60° 1 35° 120° 1 45° 50° 1 ∠1= ∠1= ∠1= 90º 85º 95º 180°-30°-60° 120°-35° 45°+50° 能否找出其中的外角？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°，20°，30°，求∠1的度数. B 3 2 1 A C D E 解：∵∠2 是△ACD 的一个外角， ∴∠2 =∠3+∠C=110°， ∵∠1 是△BDE 的一个外角， ∴∠1=∠B +∠2=130°. 能否找出其中的外角？ 典例精析 DIAN LI JING XI 把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列. 解：∵∠2 是△ACD 的一个外角， ∴∠2 =∠3+∠C， 即有∠2 >∠3， ∵∠1 是△BDE 的一个外角， ∴∠1=∠B +∠2， 即有∠1 >∠2，故∠1 >∠2>∠3. 变式1 B 3 2 1 A C D E 利用三角形的外角求解 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 利用三角形的内角和求解 如图，D是△ABC 的BC 边上一点，∠B＝∠BAD， ∠ADC＝80°, ∠BAC=70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数. 解:（1）因为∠ADC 是△ABD 的外角， 所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°. 又因为∠B＝∠BAD，所以∠B＝80°÷2＝40°. （2）在△ABC 中，因为∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， 所以∠C＝180°－∠B－∠BAC ＝180°－40°－70°＝70° 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 在△ADC中利用外角求出∠BDF. 利用外角进行转化 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1 是△FBE 的外角， ∴∠1 = ∠B + ∠E， 同理∠2 = ∠A + ∠D. 在△CFG 中， ∠C +∠1 +∠2 = 180°， ∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 180°. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数. 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 思考三角形的外角和其不相邻内角的数量关系. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 思考三角形的外角和其相邻内角的数量关系. 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ， ∠CBF +∠2 = 180° ②， ∠ACD +∠3 = 180° ③， 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， ① + ② + ③ 得 ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°. 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 能否利用平行线来转化？ 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解法三：过 A 作 AM 平行于 BC， 则易得∠3＝ ∠4， B C 1 2 3 4 A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3 ＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM = 360°. M D E F 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的外角和 三角形每个顶点处分别有两个外角，如果每个处各取一个外角，那么这三个外角的和就叫做三角形的外角和. 结论：三角形的外角和等于 360°. A B C E F D ( ( ( 2 1 3 和五角星模型一样，利用外角进行转换 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 1 2 3 B A C P N M D E F 如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = . 360° 解：∵∠1 是△ABN 的外角， ∴∠1 = ∠B + ∠A， 同理∠2 = ∠C+ ∠D, ∠3 = ∠E+ ∠F, 根据三角形的外角和为360°， ∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 360°. 3. 如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简 易模型示意图，其中， ，若 ， ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 25 5.母题教材P13练习 如图，从处观测 处的仰角 ，从处观测处的仰角 ，从 处 观测，两处的视角 是____度. 15 返回 中考考法 26 6.如图，的边 的延长线上有 一点，点为边上一点，连接 交于点，若 ， ， ，求 的度 数. 【解】 ， ，是 的外角， . 又 ，是 的外角， . 返回 中考考法 27 7. 如图是可调躺椅示意图，与 的交点 为，且，， 的大小保持不 变.为了舒适，需调整 的大小，使 ，则图中 应( ) A A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. 减少 中考考法 28 【点拨】延长交于点 ，如图， ， ， ， ， . ， ， ，增加 . 返回 中考考法 29 （第8题） 8. 如图，一束平行于主 光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射 光线与一束经过光心的直线交于点 ， 点为焦点，若 ， ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 中考考法 30 课堂小结 QING JING YIN RU 定义 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角于与它不相邻的任意一个内角 三角形的外角 角一边必须是三角形的一边，另一边 必须是三角形另一边的延长线 外角和 三角形的外角和等于 360° 如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F， ∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，求∠CFE的度数. ∵∠A＝70°，∠ACD＝20°， ∴∠BDF＝∠A＋∠ACD＝70°＋20°＝90°. 在△BDF中， ∠BFD＝180°－∠BDF－∠ABE ＝180°－90°－28°＝62°， ∴∠CFE＝∠BFD＝62°. $