25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），通过引导学生从已学求根公式出发探索根与系数的内在联系，搭建从方程解法到规律发现的知识支架，明确理解定理及利用定理求两根和与积、代数式变形求值的学习目标。 资料亮点在于练习设计分层递进，涵盖基础应用、代数式变形、含参数问题等类型并附详细参考答案，助力学生自主学习。通过探究过程培养数学眼光中的抽象能力，通过推理变形发展数学思维中的运算能力与推理意识，帮助学生用数学语言精准表达数量关系，有效提升学习效率与核心素养。

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 一、学习目标 1.探索并理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理)，体会数学发现的过程。 2.能不解方程，利用根与系数的关系求两根之和与积，并能进行代数式变形求值。 二、知识梳理 1.韦达定理 定理名称 公式 韦达定理 X+水=-b x水，= 前提条件 a≠0，△=b2-4ac≥0，先化为一般形式 ax2+bx+c=0 2.代数式常见变形 变形公式 x+x=(x1+x22-2x1x2 (x1-x22=(x1+x22-4x1x2 xx+xix2=X1x2(x+X2) 3.注意事项 (1)方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0。 (2)方程必须有实数根，即判别式△=b2-4ac≥0。 (3)使用前必须将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,确定a、b、c的值。 三、课堂练习 一、例5一一根据根与系数的关系，求下列方程两根之和与积 1.x2-6x-15=0 2.3x2+7x-9=0 3.5x-1=4x2 二、牛刀小试一一代数式变形求值 设x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，求下列各式的值： 1.X1X22+X12X2 2.(x1-X2)2 三、随堂练习一一已知一根求另一根及系数 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，则另一根是一，k=一 四、教材练习一一 不解方程求两根和与积 不解方程，求下列方程两个根x1、x2的和与积： 1.x2-3x=15 2.3x2+2=1-4x 3.5x2-1=4x2-x 4.2x2-x+2=3x+1 五、练习一一利用根与系数关系求代数式的值 己知x1+x2=-2,x1x2=-100,求下列各式的值： 1.x12+X22 2.(x1-3)(x2-3) 六、练习一一含参数的韦达定理应用 已知关于x的方程x2-(2m+3)x+m=0的两根之和等于两根之积，求m的值。 四、参考答案 一、例5一一根据根与系数的关系求两根之和与积 1.x2-6x-15=0 解：a=1,b=-6,c=-15 X+X=-b=--6=6 a 1 x%-￡=-15-15 01 2.3x2+7x-9=0 解：a=3,b=7,c=-9 X+x2=-b=-7 a 3 =C=二9 -3 a 3 3.5x-1=4x2 解：化为一般式，得4x2-5x+1=0 a=4,b=-5,c=1 x+X=-b=--5=5 a44 -c_1 X1X2= a 4 二、牛刀小试一一 代数式变形求值 设x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根 解：由韦达定理： X1+X2=-2 -2 -33 x1X2=22 1.X1X22+X12X2 解：利用变形公式： x1x+xix2=x1x2(x1+x2) =(-3×-2=3 所以X1X22+X12x2=3 2.(x1-x2)2 解：利用变形公式： (x1-x22=(x1+x22-4x1x2 -2-4x-》 =4+6=10 新以(x1-x2)2=10 三、随堂练习 一一已知一根求另一根及系数 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2 解：设另一根为x1,由韦达定理： X+2=合x×2=5-日 5,5 由两根之积： x×2=-号 x=一昌 代入两根之和： 7-k 55 k=-7 另一根是-号k=-7 四、教材练习一一不解方程求两根和与积 1.x2-3x=15 解：化为一般式，得x2-3x-15=0 a=1,b=-3,c=-15 *x=-子=3=5-15 2.3x2+2=1-4x 解：移项，得3x2+4x+1=0 a=3,b=4,c=1 1 七1+x2三一7，x1x2=51 3.5x2-1=4x2-x 解：移项合并，得x2+x-1=0 a=1,b=1,c=-1 X+x=-1,8x=-1 4.2x2-x+2=3x+1 解：移项，得2x2-4x+1=0 a=2,b=-4,c=1 X+X会-2，x 2 五、练习一一利用根与系数关系求代数式的值 已知X1+x2=-2,X1X2=-100 1.X12+X22 解：利用变形公式： x+x=(x1+x22-2x1x2 =(-22-2×(-100 =4+200=204 所以x12+x22=204 2.(x1-3)(x2-3) 解：展开得： （x1-3)(x2-3=x1x2-3(x1+X2)+9 =-100-3×(-2)+9 =-100+6+9=-85 所以(x1-3)(x2-3)=-85 六、练习一一含参数的韦达定理应用 己知关于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之和等于两根之积 解：设方程的两根为x1、x2,由韦达定理： X1+x2=2m+3,X1x2=m 根据题意，两根之和等于两根之积： m2=2m+3 m2-2m-3=0 (m-3)(m+1)=0 m1=3,m2=-1 检验判别式： 当m=3时，原方程为x2-9x+9=0,△=81-36=45>0，有实数根。 当m=-1时，原方程为x2-x+1=0,△=1-4=-3<0，无实数根，舍去。 所以m的值为3。