精品解析：山东省济南市章丘区2025-2026学年七年级数学学情与素养发展评估

七年级数学学情与素养发展评估 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页．满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 投掷一枚六面体骰子，向上点数为7 B. 对顶角相等 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 内错角相等 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，仍不能说明的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示是地球截面图，其中、分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，已知地球南回归线的纬度是即，该市的纬度是北纬即，冬至正午时，太阳光线直射南回归线（光线的延长线经过地心，则太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 周末，爸爸和小明从家出发骑行前往超市．两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示，根据图象提供的信息，在下列结论中，①家到超市的全程是2000米；②小明先到达超市；③从出发到分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快；④在爸爸出发分钟时，小明追上了爸爸．正确的结论有（ ） A. ①③④ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 9. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 10. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，则_____． 12. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 13. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．当时，与之间的表达式为_____．（结果要化简） 14. 如图，在中，，，点在边上，点在边上，当时，正方形的顶点恰好落在边上，则正方形的面积是_____． 15. 如图，在长方形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知，，求证：． （并在相应的步骤后面写明依据） 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． （1）画出格点三角形关于直线对称的； （2）的形状为_____，其面积为_____； （3）在直线上找出点，使； （4）在直线上找出点，使的周长最小． 20. 如图，已知在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 21. 一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． （1）判断事件：“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是_____，“从口袋中随机摸出4个球，其中至少一个球是白球”是_____； （2）求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率； （3）现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则从口袋中取走了多少个白球？ 22. 习总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动，热爱创造”．某校为促进学生全面发展，健康成长，计划在校园内利用一块四边形空地（如图四边形）建造一个劳动实践基地，已知，，，，． （1）求证：； （2）求这块四边形空地的面积． 23. 如图1，长方形中，，动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度．设运动时间为秒，的面积为，与的关系图象如图2所示． （1）_____，_____； （2）当时，求的值； （3）如图3，连接，当点在线段的垂直平分线上时，求的值． 24. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： （1）正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； （2）若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 25. 【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围：_____； （2）如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； （3）如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学情与素养发展评估 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页．满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项的图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；选项、、的图形找不到一条直线，使图形沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形． 2. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 投掷一枚六面体骰子，向上点数为7 B. 对顶角相等 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 内错角相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．六面体骰子的点数最大为6，不可能出现点数为7的情况，故选项A是不可能事件； B．对顶角相等是恒成立的几何定理，故选项B是必然事件； C．三角形两边之和大于第三边是三角形的基本性质，故选项C是必然事件； D．只有当两条直线平行时，内错角才相等，若两条直线不平行，内错角不相等，因此内错角相等可能发生也可能不发生，故选项 D是随机事件． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式除以单项式，根据运算法则进行计算即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，仍不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理“”，“”，“”逐项判定． 【详解】解： A、由可得，结合，，可根据“”判定，故不符合题意； B、由，，，可根据“”判定，故不符合题意； C、由，，，可根据“”判定，故不符合题意； D、由，，，根据“”不能判定，故符合题意． 故选：D． 6. 如图所示是地球截面图，其中、分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，已知地球南回归线的纬度是即，该市的纬度是北纬即，冬至正午时，太阳光线直射南回归线（光线的延长线经过地心，则太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先算出地心连线夹角，利用太阳光线平行求出同旁内角，再结合半径垂直地面水平线，用减去得到夹角． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 7. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理分别判断各选项是否能判定直角三角形. 本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握这些定理是解题的关键. 【详解】解： 对于A: ∵, ， ∴ ∴ ， ∴是直角三角形. 对于B: ∵, 设, 则 ∴ k = 30° ∴ ∴是直角三角形. 对于C: ∵ ∴ ， ∴是直角三角形（勾股定理逆定理）. 对于D: ∵, 设 则 ∵ ∴不是直角三角形. 故选：D. 8. 周末，爸爸和小明从家出发骑行前往超市．两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示，根据图象提供的信息，在下列结论中，①家到超市的全程是2000米；②小明先到达超市；③从出发到分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快；④在爸爸出发分钟时，小明追上了爸爸．正确的结论有（ ） A. ①③④ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象起点和终点的纵坐标差，确定两地之间的距离，可以判断①的正误；从两人到达终点的时间，可以判断②的正误；根据图象的陡缓可以判断速度的大小，继而判断③正误；确定两人运动的函数图象的解析式，求交点坐标，解答即可． 【详解】解：根据函数图象，超市的纵坐标为2000，小明家的纵坐标为0，故小明家到超市的路程是2000米； 故①正确；根据图象，得小明到达超市用时间分钟，小明爸爸到达超市用时间分钟， 故小明先到达超市；故②正确； 根据图象看出，小明爸爸的运动图象比小明的运动图象更陡些， 故从出发到分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度慢； 故③错误； 设小明爸爸行驶的函数关系式为，把代入，得，解得， 故解析式为，设小明行驶分钟以后的解析式为，把，代入，， 解得， 故小明此时段的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故相遇时间为分钟， 故在爸爸出发分钟时，小明追上了爸爸．故④正确． 9. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 10. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论，过点作于点，证明，得，可判定结论，根据题意可证，得到，从而判断结论，结合上述证明可得，则有，进而得到可判定结论，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故正确，符合题意； 如图，过点作于点，则， 由的证明可得，， ， ， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ，故正确，符合题意； ， ， 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有共3个， 故选：． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】将等式两边化为同底数的幂，根据“底数相同且幂相等时，指数相等”列一元一次方程求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得． 12. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键． 分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可。 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5， ∵， ∴不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2， ∵， ∴能构成三角形； ∴等腰三角形的周长． 综上所述：等腰三角形的周长为12. 故答案为：12． 13. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．当时，与之间的表达式为_____．（结果要化简） 【答案】 【解析】 【分析】当时，总煤气费为不超过50立方米的费用与超过50立方米部分的费用之和，据此列式化简即可得到结果． 【详解】解：根据题意，当时，可得 ． 14. 如图，在中，，，点在边上，点在边上，当时，正方形的顶点恰好落在边上，则正方形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设，则，结合图形及各边之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，则， ， 正方形， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ，， 正方形的面积为． 15. 如图，在长方形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】设运动时间为，，，分和两种情况求解即可； 【详解】解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动． 设运动时间为， ∴，， 与全等， 当时，得， ， 解得； 当时，得， ， 解得； 综上所述，的值为或； 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次运用同底数幂的乘法与除法、积的乘方运算法则，再合并同类项； （2）先用平方差公式，再展开完全平方计算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；0 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值、平方差公式、完全平方公式和单项式乘以多项式，正确计算是解题的关键． 先根据平方差公式、完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并同类项，最后算除法运算，并代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， ． 18. 如图，已知，，求证：． （并在相应的步骤后面写明依据） 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．先证明，则，利用等量代换得到，即可得到． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． （1）画出格点三角形关于直线对称的； （2）的形状为_____，其面积为_____； （3）在直线上找出点，使； （4）在直线上找出点，使的周长最小． 【答案】（1）解：如图：即为所求； （2）等腰直角三角形，5． （3）如图：点M即为所求． （4）点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）先根据轴对称的定义确定的对应点，然后再顺次连接即可； （2）利用勾股定理及其逆定理即可判断的形状；然后利用面积公式求解即可； （3）取格点F，使得，连接所在直线与的交点M即为所求； （4）取点C关于对称的格点，连接与的交点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由网格以及勾股定理可得：， ∴，，即为等腰直角三角形． ∴的面积为． 【小问3详解】 解：作图：略 ∵，， ∴是的垂直平分线， ∵点M是与的交点， ∴，即点M即为所求． 【小问4详解】 解：作图：略 连接， ∵点是点C关于对称的格点， ∴， ∴当共线时，最小， ∵为定值， ∴当共线时，最小，即的周长最小，故点P即为所求． 20. 如图，已知在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，则可计算出∠PMQ＝（∠AMB＋∠AMQ）＝90°，从而得到结论； （2）先证明BP∥QM得到∠PBM＝∠QMC，根据根据“AAS”可判断△BMP≌△MCQ． 【详解】（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC， ∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC， ∴∠PMQ＝∠AMP＋∠AMQ＝∠AMB＋∠AMC ＝（∠AMB＋∠AMQ） ＝×180° ＝90°， ∴MP⊥MQ； （2）∵BP⊥MP，CQ⊥MQ， ∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°， ∴∠PBM＝∠QMC， ∵AM是△ABC的中线， ∴BM＝MC， 在△BMP和△MCQ中 ， ∴△BMP≌△MCQ（AAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 21. 一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． （1）判断事件：“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是_____，“从口袋中随机摸出4个球，其中至少一个球是白球”是_____； （2）求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率； （3）现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则从口袋中取走了多少个白球？ 【答案】（1）不可能事件，必然事件 （2） （3）个 【解析】 【分析】（1）口袋中根本没有蓝球，“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件，“从口袋中随机摸出4个球，3个红球，故至少一个球是白球，这是一个必然事件，解答即可； （2）利用简单的概率公式，求随机摸出一个球是白球的概率即可； （3）设取走了x个白球，白球的数量为个，红球的数量为个，根据从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，建立方程求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意，得“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件，“从口袋中随机摸出4个球，其中至少一个球是白球“是必然事件； 【小问2详解】 解：根据题意，一共有种等可能的情况，其中白球有个，则从口袋中随机摸出一个球是白球的概率为； 【小问3详解】 解：设取走了x个白球，白球的数量为个，红球的数量为个，口袋中球的总数量为， 根据题意，得， 去分母，得， 解得， 故从口袋中取走了5个白球． 22. 习总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动，热爱创造”．某校为促进学生全面发展，健康成长，计划在校园内利用一块四边形空地（如图四边形）建造一个劳动实践基地，已知，，，，． （1）求证：； （2）求这块四边形空地的面积． 【答案】（1） （2）这块四边形空地的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积等知识点，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）如图：连接，由勾股定理可得， 再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可证明结论； （2）根据列式计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图：连接， 在中，，，， ， ，，， ， 为直角三角形，. 【小问2详解】 解：在中，，，在中，，， ， ∴这块四边形空地的面积为． 23. 如图1，长方形中，，动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度．设运动时间为秒，的面积为，与的关系图象如图2所示． （1）_____，_____； （2）当时，求的值； （3）如图3，连接，当点在线段的垂直平分线上时，求的值． 【答案】（1）， （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象进行解答即可； （2）分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，根据三角形的面积公式列方程求解即可； （3）连接，，利用垂直平分线的性质、勾股定理列方程进行解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，点在边上运动时， 面积为， 解得， 点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度． ； 【小问2详解】 当时，有两种情况： 当点在边上时，， 解得， 当点在边上时，， 解得， 综上可知，的值为或； 【小问3详解】 如图，连接，， 点在线段的垂直平分线上， ， 设，则， ， ， ， 解得， ． 24. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： （1）正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； （2）若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 【答案】（1），， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式，以及勾股定理求解即可； （2）由题意得，正方形的面积是，正方形的面积是，两式相加得到，即可得解； （3）设，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （4）设的两直角边分别为，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设，，则， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 25. 【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围：_____； （2）如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； （3）如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见详解 （3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【小问1详解】 解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； 【小问3详解】 如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $