第六周 第5天 指数函数的图象和性质(一) 暑假自学讲义-2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第六周 第 5天 指数函数的图象和性质(一) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.掌握指数函数的图象和性质. (重点) 2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 指数函数的图象和性质 ❓ 问题1 用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y=2x与y=的图象. x -2 -1 0 1 2 y=2x y= ❓ 问题2 比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？ 💡知识梳理 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 _____________ 最值 __________ 过定点 过定点__________，即x=_____时，y=_____ 函数值的变化 当x<0时，________； 当x>0时，__________ 当x>0时，________； 当x<0时，_____ 单调性 在R上是__________ 在R上是__________ 奇偶性 _______________ 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 ⚠️ 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x=0时，有a0=1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 🎯例1 求下列函数的定义域和值域． (1)y＝；(2)y＝. 函数y＝af(x)的定义域与值域的求法 (1)形如y＝af(x)的定义域就是f(x)的定义域． (2)形如y＝af(x)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． (3)形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 函数y＝3的定义域为________． 🎯跟踪练习 1-2 当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝3x－2的值域为________． 🎯跟踪练习 1-3 函数y＝4x＋2x＋1＋3的值域为________． 知识点2 指数函数的图象识别 🎯例2 已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 识别指数函数的图象问题，应把握三点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大，在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数函数的图象与两坐标轴的交点位置． 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 🎯跟踪练习 2-2若指数函数y＝f(x)的图象过点(2，4)，则f(x)＝________． 知识点3 指数型函数图象过定点问题 🎯例3 　已知函数f(x)＝4＋ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则定点P的坐标是________． 解决指数型函数图象过定点问题的思路： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b). 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 若0<a<1时，则函数f(x)＝ax＋6的图象一定经过(　　) A．第一、二象限　　　　　　 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 🎯跟踪练习 3-2函数y＝3x－4＋b的图象恒过定点(4，6)，则b＝________． 知识点4 指数型函数图象的应用 🎯例4 画出函数y＝2|x＋1|的图象，并根据图象指出函数的单调区间． 指数型函数的图象的变换： (1)平移规律 设b>0， ①y＝ax的图象y＝ax＋b的图象； ②y＝ax的图象y＝ax－b的图象； ③y＝ax的图象y＝ax＋b的图象； ④y＝ax的图象y＝ax－b的图象． (2)对称规律 y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 与y＝a－x的图象关于y轴对称 与y＝－ax的图象关于x轴对称 与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称 反思 归纳 🎯跟踪练习 4在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数y＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围为________． 自学小结 指数函数的图象与性质（一） 1.知识清单： (1)指数函数的图象和性质. (2)指数函数的图象识别. (3)指数型函数图象过定点问题. (4)指数型函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)=0. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．函数y＝2－x的图象是(　　) 2．若函数y＝2x＋m的图象经过第一、三、四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　 B．(－∞，0) C．(－∞，－1] D．(－∞，0] 3．函数f(x)＝a1－x＋5(a>0，且a≠1)的图象必过定点________． 4．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝. 5．已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第六周 第 5天 指数函数的图象和性质(一) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.掌握指数函数的图象和性质. (重点) 2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 指数函数的图象和性质 ❓ 问题1 用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y=2x与y=的图象. x -2 -1 0 1 2 y=2x y= 💬提示　(1)　1　2　4 4　2　1　 (2)y=2x和y=的图象如图所示. ❓ 问题2 比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？ 💬提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=这两个底数互为倒数的函数的图象关于y轴对称. 💡知识梳理 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，+∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 ⚠️ 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x=0时，有a0=1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 🎯例1 求下列函数的定义域和值域． (1)y＝；(2)y＝. 【解】　(1)定义域为R.因为|x|≥0， 所以y＝＝≥＝1. 所以y＝的值域为[1，＋∞). (2)因为1－2x≥0，所以2x≤1. 所以2x≤20，所以x≤0. 又因为0<2x≤1，所以－1≤－2x<0， 所以0≤1－2x<1，所以0≤ ＜1. 所以函数的定义域为(－∞，0]，值域为[0，1). 函数y＝af(x)的定义域与值域的求法 (1)形如y＝af(x)的定义域就是f(x)的定义域． (2)形如y＝af(x)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． (3)形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 函数y＝3的定义域为________． 【解】因为y＝3，所以x2－2x≥0，所以x≤0或x≥2，所以定义域为{x|x≤0或x≥2}． 答案：{x|x≤0或x≥2} 🎯跟踪练习 1-2 当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝3x－2的值域为________． 【解】因为指数函数y＝3x在区间[－1，1]上单调递增，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1. 答案： 🎯跟踪练习 1-3 函数y＝4x＋2x＋1＋3的值域为________． 【解】显然定义域为R. 由题意，得y＝4x＋2x＋1＋3＝(2x＋1)2＋2， 由于2x>0，所以(2x＋1)2>1， 所以y＝4x＋2x＋1＋3的值域是(3，＋∞). 答案：(3，＋∞) 知识点2 指数函数的图象识别 🎯例2 已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 【解】由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C. 【答案】　C 识别指数函数的图象问题，应把握三点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大，在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数函数的图象与两坐标轴的交点位置． 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 【解】作直线x=1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. 答案　B 🎯跟踪练习 2-2若指数函数y＝f(x)的图象过点(2，4)，则f(x)＝________． 【解】设y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由题意得a2＝4，所以a＝2或a＝－2(舍)，则f(x)＝2x. 答案：2x 知识点3 指数型函数图象过定点问题 🎯例3 　已知函数f(x)＝4＋ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则定点P的坐标是________． 【解】　令x＝1，y＝4＋a0＝4＋1＝5，故函数f(x)的图象恒过定点P(1，5).即点P的坐标为(1，5). 【答案】　(1，5) 解决指数型函数图象过定点问题的思路： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b). 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 若0<a<1时，则函数f(x)＝ax＋6的图象一定经过(　　) A．第一、二象限　　　　　　 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【解】选A.当0<a<1时，由于函数y＝ax经过第一、二象限，函数f(x)＝ax＋6的图象可由y＝ax的图象向上平移6个单位得到，故函数f(x)＝ax＋6的图象一定过第一、二象限． 🎯跟踪练习 3-2函数y＝3x－4＋b的图象恒过定点(4，6)，则b＝________． 【解】当x＝4时，y＝6，即34－4＋b＝6，化简，得30＋b＝6，b＝5. 答案：5 知识点4 指数型函数图象的应用 🎯例4 画出函数y＝2|x＋1|的图象，并根据图象指出函数的单调区间． 【解】作出函数y＝2|x＋1|的图象如图所示． 单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]. 指数型函数的图象的变换： (1)平移规律 设b>0， ①y＝ax的图象y＝ax＋b的图象； ②y＝ax的图象y＝ax－b的图象； ③y＝ax的图象y＝ax＋b的图象； ④y＝ax的图象y＝ax－b的图象． (2)对称规律 y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 与y＝a－x的图象关于y轴对称 与y＝－ax的图象关于x轴对称 与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称 反思 归纳 🎯跟踪练习 4在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数y＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围为________． 【解】画出y＝|2x－1|的图象(如图)，则y＝m与y＝|2x－1|的图象只有1个交点满足m≥1或m＝0. 答案：{m|m≥1或m＝0} 自学小结 指数函数的图象与性质（一） 1.知识清单： (1)指数函数的图象和性质. (2)指数函数的图象识别. (3)指数型函数图象过定点问题. (4)指数型函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)=0. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．函数y＝2－x的图象是(　　) 【解】选B.y＝2－x＝是(－∞，＋∞)上的减函数，过定点(0，1). 2．若函数y＝2x＋m的图象经过第一、三、四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　 B．(－∞，0) C．(－∞，－1] D．(－∞，0] 【解】选A.由题意，得当x＝0时，y＝1＋m<0，得m<－1. 3．函数f(x)＝a1－x＋5(a>0，且a≠1)的图象必过定点________． 【解】由1－x＝0，得x＝1.此时f(x)＝6. 所以函数f(x)＝a1－x＋5(a>0，且a≠1)的图象必过定点(1，6). 答案：(1，6) 4．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝. 【解】(1)要使函数有意义， 则x－4≠0，解得x≠4. 所以函数y＝2的定义域为{x|x≠4}． 因为≠0， 所以2≠1， 即函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)要使函数有意义， 则－|x|≥0，解得x＝0. 所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}． 因为x＝0，所以＝＝1，即函数y＝的值域为{y|y＝1}． 5．已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 【解】函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1，故实数a的取值范围为(0，1). 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $