精品解析：河北省滦州市第一中学2025-2026学年第二学期高二期末考试数学试卷

滦州一中2025-2026学年度第二学期期末考试卷 高二年级数学学科试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求解. 【详解】集合，，则． 故选：B. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 3. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 4. 下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 5. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越大 B. 设，且，则 C. 线性回归直线不一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量的线性相关性的性质、正态分布的对称性，结合线性回归方程的性质、二项分布的期望和方差公式逐一判断即可. 【详解】A：因为两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近， 所以本选项说法不正确； B：因为，且， 所以， 所以，因此本选项说法不正确； C：因为线性回归直线一定经过样本点的中心， 所以本选项说法不正确； D：因为随机变量，，， 所以有，所以本选项说法正确. 7. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 90 B. 60 C. 150 D. 140 【答案】A 【解析】 【分析】先确定分配人数只能是2，2，1，分组时注意除以消除重复，最后将3组全排列到3个不同社区 【详解】5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：， 则不同安排方法共有 8. “”是“函数有且只有一个零点”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数有且只有一个零点的等价条件：考察时的情况得到一个零点，于是当时，无零点，根据指数函数的性质求得或.最后结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】在时，令，则，，有一个零点为1， 函数只有一个零点， 在时，无零点，即无解， 当时，，或， ∴“函数有且只有一个零点”等价于“或”， ∵“”是“或”的充分不必要条件， ∴是函数只有一个零点的充分不必要条件， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果. 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 13. 已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得事件与事件相互独立，求出，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得. 【详解】因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立， 又，， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解. 【详解】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出． 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）[方法一]：相似三角形法 由（1）可知． 于是，故． 因为，所以，即． 故四棱锥的体积． [方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法 由（2）知,所以． 建立如图所示的平面直角坐标系，设． 因为，所以，，，． 从而． 所以，即．下同方法一. [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，所以，，，，． 所以，，． 所以． 所以，即．下同方法一. [方法四]：空间向量法 由，得． 所以． 即． 又底面，在平面内， 因此，所以． 所以， 由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义， 得，即． 所以，即．下同方法一. 【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解； 方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长. 16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）5或. 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出. 【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即. （1）∵，结合得， ∴. （2）∵，解得或3， 当时，，此时； 当时，，此时. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值; （2）设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【解析】 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【小问1详解】 因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； 【小问2详解】 ①因为， 所以； ②略； 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）的分布列为 （2）类，理由如下： 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为： （2）小明应选择先回答类问题，理由略 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滦州一中2025-2026学年度第二学期期末考试卷 高二年级数学学科试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 3. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越大 B. 设，且，则 C. 线性回归直线不一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，，则 7. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 90 B. 60 C. 150 D. 140 8. “”是“函数有且只有一个零点”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为__________． 13. 已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则__________． 14. 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值; （2）设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $