河北省滦州市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学冲刺卷（一）

河北省滦州市滦州一中2024-2025学年高二期末考试 数学冲刺卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知离散型随机变量Y的分布列如下： Y 0 1 2 P 则数学期望（    ） A． B． C．1 D．2 2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 3．已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．在等差数列中，为前n项和，若，则（    ） A．11 B．19 C．25 D．33 6．若等比数列的前项和，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．若，则（   ） A． B． C． D．0 8．已知正项数列 中，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的有（    ） A．若随机变量X的数学期望，则 B．若随机变量Y的方差，则 C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 10．已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（    ） A．展开式中偶数项的二项式系数之和为16 B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项 C．展开式中没有常数项 D．展开式有理项为第四项、第六项 11．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C．设函数的3个零点分别是，则的取值范围是 D．存在实数，使函数在内有最小值 三、填空题 12．盒子里装有大小相同的1个红球和1个白球，每次从中有放回取1个球，连续取2次，已知有一次取到红球，则两次都是红球的概率是 ． 13．函数在点处的切线方程为 ． 14．函数，若对一切恒成立，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数．讨论的单调性． 16．已知，该展开式二项式系数和为32. (1)求n的值； (2)求的值. 17．甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求： (1)乙投篮次数不超过1的概率； (2)记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列. 18．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到． (1)问这个人迟到的概率是多少? (2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少? 19．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为X，求X的分布列及. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《河北省滦州市滦州一中2024-2025学年高二期末考试数学冲刺卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D D A A A ACD AC 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】根据期望公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 2．D 【分析】根据题意，结合比赛得分规则，分析甲得3分的情况，即可求解. 【详解】由题意知，甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 其中甲得3分，有两种情况： 甲赢一局输两局，甲得分为3分； 甲、乙平局三次，甲得分为3分. 所以{ξ＝3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次. 故选：D. 3．A 【分析】先根据的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等建立关于的方程，求出；再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得：. 所以奇数项的二项式系数和为. 故选：A. 4．D 【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解. 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 5．D 【分析】根据等差数列的性质可得，然后利用等差数列的求和公式即得. 【详解】∵， ∴，即， ∴. 故选：D. 6．A 【分析】由已知条件得，由此即可求出. 【详解】因为等比数列的前项和， 所以当时，， 所以该等比数列的公比, 所以，解得. 故选：A. 7．A 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得， 令，可得， 所以， 故选：A 8．A 【分析】 解法一：由结合累加法得出；解法二：由逐项验证即可. 【详解】 由 及，得，即. 法一: ， 这个式子累加，得 2 )，即， 又当时，，符合上式，所以 . 法二: 由，得，经逐一验证得正确. 故选 ：A. 9．ACD 【分析】根据离散型随机变量的期望，方差的性质，可判断正确，错误；根据二项分布的概念可判断正确；根据超几何分布的概念可判断正确. 【详解】对于，因为，故正确； 对于，因为，故错误； 对于，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故正确； 对于，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故正确. 故选：. 10．AC 【分析】根据题意求得，再结合二项式系数的性质，以及展开式的通项公式，逐项判定，即可求解. 【详解】令，可得二项式的展开式的各项系数和为， 因为各项系数的和比它的二项式系数的和大992，可得，解得， 所以展开式中偶数项的二项式系数的和为，所以A正确； 由二项式系数的单调性知第三项、第四项的二项式系数最大，所以B错误； 由二项展开式的通项公式为，其中 令，解得，所以展开式中没有常数项，所以C正确； 当或时，展开式为有理项，即第三项、第六项的二项式系数最大，所以D错误， 故选：AC 11．BC 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，可判定A错误；令，结合指数函数与二次函数的性质，可判定B正确；设函数的3个零点分别是，得到，令，利用导数求得函数的单调性和最值，可判定C正确；当时，函数，根据二次函数的性质，和指数函数的单调性，列出不等式组，可判定D不正确. 【详解】对于A中，由函数，要使得在上单调递增， 则，即，所以，所以A错误； 对于B中，令，当时，可得， 若函数有3个零点，则需有一个零点，则； 当时，可得，若函数有3个零点， 则需有两个不等的负实根，则满足，解得， 所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确. 对于C中，设函数的3个零点分别是， 则，可得， 令，可得， 则在上单调递减，所以， 当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为， 即的取值范围是，所以C正确； 对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数， 故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，所以， 要使函数在内有最小值，即，即，故无解， 所以不存在，所以D不正确. 故选：BC. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 12． 【分析】求得两次均为红球的概率， 【详解】由题意可得共有（红，红），（红，白），（白，红），（白，白）共四种情况， 记两次均为红球为事件，有一次为红球为事件， 所以，，所以. 故答案为：. 13． 【分析】求出导函数，再求得，从而可求其切线方程． 【详解】由，得， 所以，即函数在点处的切线的斜率为， 所以函数在点处的切线方程为，即. 故答案为：． 14．a=1 【分析】先整理得到，再利用数形结合和切线分析得到a的范围. 【详解】由题得, 表示过定点（1,0）的一条直线，g(x)=lnx表示的是对数函数的曲线， 即直线在x>0时，总是在对数函数的图像的上方， 由题得所以g(x)在(1,0)处的切线方程为y=x-1. 当a=1时，直线在x>0时，总是在对数函数的图像的上方， 当a≠1时，不满足题意， 故答案为a=1 【点睛】（1）本题主要考查不等式的恒成立问题，考查对数函数的图像和性质，考查曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键，其一是整理得到lnx≤a(x-1)，其二是数形结合分析得到a的取值范围. 15．在上单调递减，在上单调递增． 【分析】利用函数的二次求导判断函数的单调性. 【详解】因为，所以， 令，，故单调递增． 又， 所以当时，，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 16．(1)5 (2) 【分析】（1）根据题意，得，解方程即可求解. （2）根据题意，代入即可求解 【详解】（1）由题意，结合二项式系数的性质可得，，解得. （2）在展开式中令，得， 即. 17．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据题意将事件分为三类情况，根据概率乘法公式进行计算即可. （2）根据题意得到投篮次数总和ξ的值为1，2，3，4，根据题意算出各个概率的值进而列出分布列. 【详解】（1）记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B. “乙投篮次数不超过1”包括三种情况： 第一种是甲第1次投篮投中， 第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中， 第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中. 故所求的概率 . 所以乙投篮次数不超过1的概率为 （2）甲、乙投篮次数总和ξ的值为1，2，3，4， ， ， ， . 所以甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 18．(1)0.18 (2) 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合条件概率公式运算求解. 【详解】（1）设D表示“这个人迟到”，A表示“他乘火车”，B表示“他乘轮船”，C表示“他乘飞机”，则． 由全概率公式，得， 由题意可得：，，，， ， 所以这个人迟到的概率． （2）由题意可知：， 所以可得如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是． 19．(1)； (2)分布列见解析； 【分析】（1）根据题意，利用频率分布直方图，概率和为1求a； （2）由分层抽样知，从阅读时间在，，中分别抽取5，4，1人，则的可能取值为0,1,2,3，计算概率，列出分布列，计算期望 【详解】（1）由概率和为1得：， 解得：； （2）由频率分布直方图得： 这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人， 由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人， 从该10人中抽取3人，则的可能取值为0,1,2,3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$