山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业14平面向量应用

**基本信息** 聚焦平面向量在几何问题中的综合应用，通过多样化题型整合向量线性运算、数量积与三角形、四边形等图形性质，渗透几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|三角形形状判断、数量积范围、长度计算、面积比|向量运算→几何性质推导，体现从代数到几何的转化| |多选题|2题|外心性质、基底判断、中点向量、等腰三角形|向量基本概念与几何性质的综合辨析，强化概念联系| |填空题|2题|四边形面积、扇形向量关系（折扇背景）|实际情境中向量模与夹角的应用，培养模型观念| |解答题|2题|重心分点、向量证明与计算|综合运用向量方法解决几何证明与最值问题，提升推理能力|

山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号14 平面向量的应用 一、单选题 1．在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 2．已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是 A． B． C． D． 3．在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．中，，是边的中点．若，，则的长等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．在中，，， ，则（    ） A．1 B． C．2 D． 6．在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知点为外接圆的圆心，，，则（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．中，D为BC的中点，则 B．向量，可以作为平面向量的一组基底 C．若非零向量与满足，则为等腰三角形 D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 三、填空题 9．在四边形中，，，，若四边形的面积为，则. 10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形，其中，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的有_____ ①若，则    ②若，则 ③    ④ 四、解答题 11．如图,已知点是的重心,过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合）,设. (1)求的值； (2)求的最小值,并求此时的值. 12．在中，，，，分别为边、上的点，且，. (1)用向量方法求证：； (2)求. 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号14 平面向量的应用 1．A 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【详解】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 2．C 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可. 【详解】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C 3．A 【分析】应用向量数量积的运算律得，即，即可得三角形的形状. 【详解】由题设，则， 而的数量关系无法确定，所以一定是直角三角形，且. 故选：A 4．C 【分析】结合三角形中线性质和平面向量基本定理用表示，再对等式平方运算求解即可. 【详解】由，可得， 则 ， 所以，即的长为. 5．C 【详解】因为，又因为，所以， 设，则是的角平分线，因为，所以 与垂直， 所以，又因为，所以为等边三角形，则. 6．A 【详解】∵， ∴， ∴， 设AC中点为D，如图所示， 所以，， 因为、、、四点不共线，连接， ∴四边形为平行四边形， 所以 ∴. 7．BD 【分析】根据垂径定理先求出，再求即可. 【详解】令，则，所以（舍）或， 所以， 所以. 故选：BD. 8．AC 【分析】对于A，根据平面向量的运算即可判断；对于B，根据平面向量的基本定理即可判断；对于C，根据平面向量的运算及三角形性质即可判断；对于D，根据平面向量的运算即可判断. 【详解】对于A，在中，因为D为BC的中点，所以， 所以， 故选项A正确； 对于B，因为向量，，所以， 可知与共线，不能作为平面向量的一组基底，故选项B错误； 对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量， 所以以和为邻边的平行四边形是菱形， 根据平行四边形法则可知在的平分线上， 又因为，所以的平分线垂直于，所以， 即为等腰三角形，故选项C正确； 对于D，若点P是线段AB的三等分点，则或， 因为，，所以， 所以或， 即点P的坐标可以为或，故选项D错误. 故选：AC. 9． 【分析】根据题目条件得出四边形为梯形，利用向量夹角的余弦公式求出梯形的高，再利用梯形的面积计算得出梯形为直角梯形，从而求出的余弦值. 【详解】由题意知，，故， 即，如图，过作，则， 故四边形的面积，解得， 即，所以，故，即，所以. 故答案为： 10．①②④ 【分析】根据条件建立平面直角坐标系，再设 ，根据同角三角函数关系可判断①；表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断②③④． 【详解】作 ，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则 ，设 ，则， 由可得 ，且 ， 对于①，若，由， 解得或（舍去），故，①正确； 对于②，若，由，则，所以，故②正确； 对于③，， 所以， 由于，故，所以，故，故③错误； 对于④，由于， 故 ， 而，所以， 故（当取等号），故④正确， 11．(1) (2)最小值为, 【分析】（1）是的重心,所以，结合性质得解. （2）“乘1法”，再将1进行代换，用基本不等式解决. 【详解】（1）因为是的重心, 所以, 因为,所以,因为三点共线, 所以,则. （2）由⑴得,,则, 所以,当且仅当且,即, 所以的最小值为,此时. 12．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证，只需证. （2）由向量数量积的变形公式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 因为，，所以， 所以， 即，所以. （2）由题意， ， 由勾股定理可得， 所以. 答案第4页，共7页 答案第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $