山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业16解三角形应用

**基本信息** 聚焦解三角形应用，以实际情境、形状判断、范围最值为核心题型，系统覆盖正弦定理、余弦定理及综合应用，突出数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |应用情境|1（塔高测量）|实际测量问题|几何直观结合正弦定理| |形状判断|2（选择2、7）|边边角关系判断|余弦定理推导三角形性质| |范围与最值|4（选择3、4、5、6）|周长/面积/角度最值|定理与不等式结合求范围| |综合计算|3（填空9、10，解答11、12）|中线/角平分线计算|向量或中线定理综合应用|

山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号16 解三角形的应用 1．C 【详解】设塔高为，已知平面，则均为直角三角形， 已知，则，故， 已知，则， 由余弦定理得，即 ，解得． 2．D 【分析】利用同角三角函数的平方关系将转化为，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断角，即可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由正弦定理角化边得，即， 故．因为，所以是钝角，即是钝角三角形． 3．A 【分析】根据正弦定理，结合已知的边a和角A、B的关系，用角A表示边b和边c的长度,因为三角形是锐角三角形，所以确定角A的取值范围；将转化为关于角A的三角函数表达式，利用三角恒等变换化简为单一三角函数形式，再结合角A的取值范围求值域，即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得，得，，又，，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，其中， 所以，所以的周长. 4．A 【分析】借助余弦定理计算可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得， 由点为边的中点，则， 故， 即，即， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 5．D 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理结合得： ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知A为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D 6．C 【分析】由余弦定理求得角，然后利用三角形面积公式和正弦定理，将面积表示为的正弦型函数，根据三角函数的图象性质即可求解． 【详解】由，和余弦定理，可得， ，所以， 又由正弦定理，可得，则， 所以的面积 ， 因为为锐角三角形， 由解得，则，， 故. 7．ACD 【分析】根据，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可. 【详解】对A，因为在中， 所以 ，解得， 所以根据正弦定理知，故A正确； 对B，易知角C为最大角，则， ，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 易角A为最小角，则， 所以，即， 又，所以，所以 ，故C正确； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确； 故选：ACD. 8．BD 【分析】利用正弦定理求得,即可判定A错误；利用正弦定理转化为边的比值，进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对B作出判定；注意到三角形的各个角的情况，周全考虑，即可判定C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可求得角A的值，进而证明D正确. 【详解】对于Ａ，，无解，故A错误； 对于B,根据已知条件，由正弦定理得：, 不妨令,则,最大角的余弦值为：, ∴，故B正确； 对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误； 对于D,,得到, 又 , , 为等腰直角三角形，故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查正余弦定理，熟练掌握并灵活运用正余弦定理是关键. 9． 【分析】由正弦定理得到，化简，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】在中，，，由正弦定理可得， 又由 ， 因为，可得，则，所以， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 10． 【详解】法1：由余弦定理，. 所以. 又， 所以， 所以. 法2：在中，由中线长定理可知， 则，解得． 11．(1) (2)． 【分析】（1）应用余弦定理计算求解； （2）应用面积公式结合角平分线计算求解. 【详解】（1）由余弦定理可得， 又因为，故． （2）因为， 所以， 又因为，，， 所以， 所以． 12．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ，则， . （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即， 又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 答案第6页，共6页 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号16 解三角形的应用 一、单选题 1．为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．在中，角的对边分别是，若，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．在锐角中，角、、所对应的边分别为、、.已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为 8．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（    ） A．当时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，，则为等腰直角三角形 三、填空题 9．在中，，，求的取值范围是__________． 10．在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 四、解答题 11．如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的大小； (2)若，，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长． 12．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $