山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业15解三角形

**基本信息** 聚焦解三角形核心定理应用，通过分层题型构建“定理应用—性质判断—动态范围”的逻辑链条，培养数学推理与模型构建能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6|涵盖基础应用与综合判断，如已知边角求角、三角形解的个数、形状判断|从正弦定理/余弦定理直接应用（1-2题）到解的个数与形状判断（3-4题），再到周长范围探究（5题），形成递进逻辑| |多选题|2|多维度性质辨析，涉及外接圆、解的个数、面积与周长最值|整合定理应用与不等式性质，考查综合分析能力（7题）；结合中线条件深化三角形性质理解（8题）| |填空题|2|聚焦关键量计算，如已知边角求边、角平分线长度|强化定理在特殊量求解中的精准应用，体现数学语言表达的简洁性| |解答题|2|综合应用与范围探究，如求边、角及周长最大值，面积取值范围|从静态计算（11题(1)）到动态范围分析（11题(2)、12题），培养数学思维的逻辑性与严谨性|

山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号15 解三角形 1．A 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以. 2．D 【详解】因为，为内角，则， 则. 3．A 【详解】若三角形有两解，则，即， 所以的取值范围是. 4．C 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 5．C 【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，再结合三角函数性质求三角形周长的取值范围. 【详解】由余弦定理可得，由正弦定理可得，， 得到， 所以，化简可得，即， 又因为为锐角三角形，得，， 已知，由正弦定理可得，则， 而， 所以， ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 则，，所以， 所以. 6．C 【分析】对于A选项，使用正弦定理即可求解；对于B选项，使用余弦函数单调性即可判断；对于C选项，使用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可判断；对于选项D，使用正弦定理边化角，再使用诱导公式即可判断； 【详解】对于A选项，若，则的外接圆半径满足，，圆面积为,故选项A错误; 对于B选项，若，由于在中，,函数在上单调递减，故，选项B错误； 对于C选项，由正弦定理可得，， ， 所以C为钝角，故为钝角三角形，选项C正确； 对于选项D,由可得 ，即， 则为等腰三角形，故选项D错误; 7．ACD 【分析】利用正弦定理求解判断AB；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】对于A，外接圆半径，该圆面积为，A正确； 对于B，由正弦定理得，而，因此有两解，B错误； 对于C，由余弦定理，得， 当且仅当时取等号，因此面积的最大值为，C正确； 对于D，由选项C得，， 当且仅当时取等号，则，因此周长的最大值为. 8．AC 【分析】计算角判断三角形形状判断A；根据余弦定理及正弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；求解周长判断D. 【详解】对于A，因为，所以或， 因为，所以， 则，则是等腰三角形，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理可得， 即，则， 由正弦定理可得，故B错误. 对于C，的面积为，故C正确， 对于D，周长为，故D错误. 9．2 【详解】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， ． 10．/ 【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长. 【详解】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 11．(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将化角为边求，再由正弦定理及求得，即可得； （2）由余弦定理、基本不等式有，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由，则， 所以， 由，而，即， 所以，而，故； （2）由（1）知，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号， 所以周长的最大值为. 12．(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 答案第6页，共6页 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学暑假作业 编号15 解三角形 一、单选题 1．中内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．满足，，的三角形恰有两解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 5．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 二、多选题 7．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，下列结论正确的是（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则满足条件三角形只有1个 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 8．在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（   ） A．是等腰三角形 B． C．的面积为 D．的周长为 三、填空题 9．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 10．中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 四、解答题 11．已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 12．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $