暑假作业02 平面向量基本定理及坐标表示、向量的应用（巩固培优，5知识+9题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 以平面向量基本定理为核心，系统梳理坐标表示与运算体系，通过9类题型实现从概念理解到几何应用的递进训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|5个核心知识点|涵盖基底、坐标表示、数量积等基础概念|从基底概念生成坐标表示，构建“几何抽象-代数运算”转化逻辑| |题型训练|9类典型题型|覆盖基底判定、参数求解、平行垂直应用及物理几何情境|以坐标运算为桥梁，形成“概念理解-公式应用-综合建模”能力链，培养运算能力与推理意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 平面向量基本定理及坐标表示、向量的应用 【知识点1 平面向量基本定理】 条件 e1和e2是同一平面内两个不共线的向量 结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2} 正交基正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基. (2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基 【注意】 (1)基e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基. (2)基给定，同一向量的分解形式唯一.(3)如果对于一组基e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 【知识点2 平面向量及运算的坐标表示】 (1)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj.把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y). (2)平面向量运算的坐标表示 ①向量加法、减法、数乘运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1). ②向量坐标的求法 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). 【知识点3 平面向量数量积的坐标表示】 1．平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 2．平面向量垂直的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝ . (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. (4)夹角：cos θ＝ ＝. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 【知识点4 向量平行与垂直的坐标表示】 1．平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 2．平面向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 【知识点5 与平面向量坐标运算有关的二级结论（拓展）】 1.三点共线的充要条件 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. 2.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 3.已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，△ABC的重心为G⇔＋＋＝0⇔G. 【题型1 基底的概念】 1．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，根据基底的定义，不可能有零向量作为基底，错， 对于B，显然，即，共线，故不能作为基底，错， 对于C，显然，即，共线，故不能作为基底，错， 对于D，不存在实数使成立，故，不共线，可作为基底，对. 2．（多选）（24-25高一下·陕西榆林·阶段检测）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【解析】选项，若与共线，则存在，使，即， 则且，矛盾，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底； 选项，若与共线，则存在，使， 所以，无解，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）向量在基底下可以表示为，若在基底下可以表示为，则________，________． 【答案】 / 【解析】已知，， 则，解得． 【题型2 用基底表示向量】 1．（河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版））在中，点满足，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 已知且，所以， 则，故A正确. 2．（2026·山东临沂·二模）已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，则． 因为为与的交点，所以，，三点共线，，，三点共线． 设（为实数），因为是平行四边形，所以，所以． 因为，，三点共线，所以存在实数，使得． 又因为， ，所以． ，解得． 所以． 根据向量减法的三角形法则，，将代入可得： ． 3．(多选)（26-27高三·全国·一轮复习）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A、B：等边三角形中，为中点，外心在中线上， 且满足，因此， 是中点，故. 则 ，故A正确、B错误； 选项C、D：由上述推导过程可得，故C正确、D错误. 【题型3 利用平面向量基本定理求参】 1．（25-26高一下·湖北·期中）设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（     ） A．－2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】 由是平面内一组基底可知，与不共线， 则有 ，联立，故, 解得． 2．（2026·北京朝阳·二模）如图，在中，点为线段的中点，，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】∵ 为中点，∴ . 又， ∴ . 可得，，∴ . 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 4．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，平行四边形的对角线交于O点，线段上有点M满足，线段上有点N满足，设，已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由已知得， ， 又，所以． 5．（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 【答案】1 【解析】设为边的中点，因为是三角形的重心，所以， ， ， ． 【题型3 平面向量线性运算的坐标表示】 1．（2026·湖南·模拟预测）已知向量，，则（    ） A．1 B．8 C． D．2 【答案】C 【解析】，所以. 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为，，则， 且，所以． 3．（2026·甘肃·模拟预测）设向量，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为，所以， 即，解得，所以. 4．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（   ） A．12 B．9 C．6 D． 【答案】D 【解析】 如图，建立平面直角坐标系，设每个小方格的边长为， 所以，，， 因为，所以， 所以，解得， 所以． 5．（25-26高一下·山东·阶段检测）已知，，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】因为，，设， 所以 ， ， 而 ，所以，， 解得，， 因此. 【题型4 向量共线的坐标表示】 1．（2025高二上·北京·学业考试）下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A：因为，故与共线； 对B：因为，故与不共线； 对C：因为，故与不共线； 对D：因为，故与不共线. 故选：A 2．（25-26高一下·上海·期中）与向量方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与方向相同的单位向量为. 3．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点不能构成三角形，故共线， 故，解得. 4．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【解析】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 【题型5 数量积的坐标表示】 1．（2026·河北保定·三模）已知向量在上的投影向量的坐标为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 向量在上的投影向量为，投影向量为，且. 可知投影向量与共线，即，解得. 因此，代入，得. 2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，， 所以，故B正确. 3．（25-26高一下·河北邯郸·期中）若，，且，则x等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，， 由可得 所以. 4．（25-26高一下·北京·期中）向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A．45° B．60° C．120° D．135° 【答案】D 【解析】设小正方形的边长为， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， ， 因为，所以. 【题型6 向量模长、夹角的坐标公式应用】 1．（25-26高一下·吉林·期中）已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】由得，， 所以． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【解析】由向量， 因为，可得，解得， 所以，所以． 3．（多选）（25-26高一下·河南·阶段检测）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与同向的单位向量为 D．若，则 【答案】AC 【解析】若，则，，所以，故A正确； 若，则，解得，故B错误； 若，则，所以与同向的单位向量为，故C正确； ，，由， 得，解得，故D错误. 4．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）已知向量，．若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围______． 【答案】 【解析】因为与夹角为钝角，所以，解得， 当与反向共线，即时，，解得， 综上所述，m的范围为. 【题型7 向量垂直的坐标表示】 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量，满足，且，则的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】设， 由题意可得， 解得或， 所以或. 2．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）已知，，则下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故错误； 对于B，因为，所以，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，，故正确. 3．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】A 【解析】由题设，又，， 所以， 由，所以 4．（25-26高一下·陕西宝鸡·阶段检测）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为， 所以，， 因为且， 所以且，解得. 【题型8 投影向量的坐标表示】 1．（25-26高一下·海南·期中）已知向量,，则向量在方向上的投影向量的模长为（    ） A． B．3 C． D．−3 【答案】B 【解析】由条件可得， 故向量在方向上的投影向量为， 所以模长为. 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由投影向量的性质得向量在向量方向上的投影向量是， 设，则，，得到投影向量是， 而向量在向量方向上的投影向量恰好是，可得， 则，由模长公式得， 因为，所以， 解得或，则或， 当时，，由模长公式得， 当时，，由模长公式得， 综上可得，，故A正确. 3．（25-26高一下·北京延庆·期中）设向量，，. (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值； (3)求的余弦值； (4)求在上的投影数量. 【答案】(1);(2);(3);(4) 【解析】（1）因为， 所以， 因为与平行，所以，所以 （2）因为，， 所以， 又因为与垂直，故，所以 （3）因为，， 所以， 所以 所以的余弦值为 （4）因为，，所以 所以 则在上的投影数量为. 4．（河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版））已知平面向量，，且． (1)求在上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）因为，所以，解得， 所以，，，， 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量的坐标为． （2），， 因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行， 所以，解得， 又与不平行，则，所以， 所以实数的取值范围为． 【题型9 向量在物理、几何中的应用】 1．（2025·广东江门·模拟预测）已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A．向正北方向 B．向正南方向 C．向西北方向 D．向东南方向 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，得进行求解即可． 【解析】建立平面直角坐标系： 则，得， 则向量表示位移：向正北方向． 故选：A 2．（25-26高一下·福建福州·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（ ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【解析】依题意，，， 因此， 所以对该物体所做的功为. 3．（24-25高一下·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【解析】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】三点组成三角形，则，即：， 据此可得：，且：， 则满足题意时有：， 即，解得：. 综上可得，实数的取值范围是或. 5．（2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 【答案】 【解析】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为， 则，，且， 设，由船需要准确到达正北方向的点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 1．（25-26高一下·广西河池·期中）在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 【答案】C 【解析】在中，， 已知点，，， 则， 则. 2．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故； 为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 3．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 4．（25-26高一下·陕西安康·期中）在平面内，质点在三个力，，的作用下恰好处于平衡状态，其中，，现用作用在上产生位移，则力对做功为（    ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】D 【解析】设，因为质点在三个力，，的作用下恰好处于平衡状态， 所以，代入坐标得，， 解得，， 则力对做的功为：. 5．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，已知四边形的四个顶点、、、的坐标分别是、、、.则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A：因为，故A错误； 对B：因为，，，所以不成立，故B错误； 对C：，，所以，故C正确； 对D：，，所以，故D错误. 6．（2026·安徽芜湖·模拟预测）梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】   如图所示，由题意，以为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，设， 则有，，，，由于为的中点，所以， 得，， 所以，故B正确. 7．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知向量，绕原点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图：设与轴的正半轴夹角为， 由题可得， 则， ， 则， ， 所以的坐标为． 8．（2026·广西崇左·二模）某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设无人机主动飞行对应的向量为，则飞行路程为， 因为，由题意可得：， 则，可得，即， 由可得， 则，且，解得，， 所以无人机主动飞行对应的向量为. 9．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，而， 由，得，则， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 10．（多选）（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影数量为 C． D．的最大值为2 【答案】BCD 【解析】选项A，计算两向量的数量积，且两向量不共线， 说明与的夹角为锐角，不是钝角，A错误； 选项B，向量在上的投影数量公式为，代入得，B正确； 选项C，先计算，由， 结合向量共线的坐标性质可得，整理得，C正确； 选项D：已知且，根据基本不等式， 代入得，化简得，当且仅当， 即时取等号，故的最大值为2，D正确。 11．(多选)（2026·湖北·模拟预测）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，，又为公共点，所以三点共线，故A正确. 对于B，，，所以，故B错误. 对于C，，所以，即，故C正确. 对于D，，，所以，故D正确. 12．(多选)（25-26高一下·江西九江·期中）如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．存在点，使得 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】我们先建立平面直角坐标系，根据正八边形边长为2的性质，得到各顶点坐标：    ， ， ， ， ， ， . 选项A： 由  得 ，   解得 ，故A正确； 选项B：取的中点，，故B错误； 选项C：， 当点在上时，，故C正确； 选项D：则，当横坐标为0时其模取得最小值，等于纵坐标的绝对值，故D正确. 13．(多选)（25-26高一下·江西九江·期中）如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．存在点，使得 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】我们先建立平面直角坐标系，根据正八边形边长为2的性质，得到各顶点坐标：    ， ， ， ， ， ， . 选项A： 由  得 ，   解得 ，故A正确； 选项B：取的中点，，故B错误； 选项C：， 当点在上时，，故C正确； 选项D：则，当横坐标为0时其模取得最小值，等于纵坐标的绝对值，故D正确. 14．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则 【答案】 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则．不妨设，则， 所以，，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以，解得， 故． 15．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 【答案】 【解析】已知，则 设，则 因为，所以（*）， 因为，所以， 将其代入（*），可得，解得 16．（25-26高三·全国·一轮复习）如图在直角梯形中，已知，，，．以为圆心，为半径作圆弧，点在图中扇形区域内（包含边界）运动．若，其中，，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】如图2易得， 其中为的靠近的四等分点，． 作直线，过点作的平行线，交直线于点， 因为，又，故，，三点共线， 则， 显然，当点位于点时，为最小值， 当点位于点（圆弧与平行于的切线的切点）时，为最大值． 17．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）由题可知， 则， 最小正周期． （2）当时，， ， 所以值域为； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知， 解得． 1．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）定义一种点对应：任意平面向量，点绕点沿逆时针方向旋转角得到，即将绕点沿逆时针方向旋转角，得到向量．已知点，点，若将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点，点，则， 根据点对应定义可知，， 因为，，代入得， 故点的坐标为. 2．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. ∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形， ∴ ， 设圆上动点，， ∴ ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即的取值范围为. 3．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一： 建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系， 则，设， 所以，则， 又， 则有， 令，，则， 左右同时平方得， 则，整理得， 所以，又，所以， 则，即， 解得，或（舍去）， 又，且， 所以，即， 综上所述. 法二：设，则∠BCP＝， ∵正方形ABCD的边长为2，， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴. 4．（多选）（2026·广东·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A：函数的最小正周期为，为函数的一个周期，选项A正确. 对于B：函数经过点，代入得，显然点位于图象的增区间上，()，又由于，则，，选项B错误. 对于C：由选项B：，，得，，得. ，，则，选项C正确. 对于D：若，即，则，选项D错误. 5．（2026·北京西城·二模）已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________. 【答案】0（答案不唯一，取值范围为） 【解析】设，，即，则， 因为，即，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆， 可得，所以的一个取值为0. 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，现有一块质量均匀的矩形扁平木板立于墙边（木板上边缘紧贴墙面，下边缘紧贴地面），与墙面夹角，墙面与地面垂直，若地面和墙面平整且光滑，根据物理学规律，木板底端会沿垂直于墙面的方向向外滑动，在木板刚开始滑动时，沿墙面滑动的速度的大小和沿地面滑动的速度的大小的比值为___________． 【答案】 【解析】将速度沿木板所在直线和垂直该直线的方向分解， 则速度沿木板所在的直线方向上的分速度为， 将速度沿木板所在直线和垂直该直线的方向分解， 则速度沿木板所在的直线方向上的分速度为， 所以，同样得到. 7.（2026·北京·三模）已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为的长度为___________，的最大值为___________． 【答案】 / 【解析】由题意得，，则， 不妨设，则线段的长度为； 因为， 所以， 所以， 当时取最大值，最大值为. 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以． （2）由，，得，，且， 所以，，                   则， ， 因为与的夹角为，所以， 解得． （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，． 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 平面向量基本定理及坐标表示、向量的应用 【知识点1 平面向量基本定理】 条件 e1和e2是同一平面内两个 的向量 结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使 基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为 正交基正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为 . (2)在正交基下向量的线性表示称为 . (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为 【注意】 (1)基e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基. (2)基给定，同一向量的分解形式唯一.(3)如果对于一组基e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 【知识点2 平面向量及运算的坐标表示】 (1)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj.把 称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为 (2)平面向量运算的坐标表示 ①向量加法、减法、数乘运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ， a－b＝ ， λa＝ . ②向量坐标的求法 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ . 【知识点3 平面向量数量积的坐标表示】 1．平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是 . 2．平面向量垂直的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ (2)模：|a|＝＝ (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝ (4)夹角：cos θ＝ ＝. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ . 【知识点4 向量平行与垂直的坐标表示】 1．平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是 . 2．平面向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是 . 【知识点5 与平面向量坐标运算有关的二级结论（拓展）】 1.三点共线的充要条件 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. 2.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 3.已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，△ABC的重心为G⇔＋＋＝0⇔G. 【题型1 基底的概念】 1．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选）（24-25高一下·陕西榆林·阶段检测）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二·全国·暑假作业）向量在基底下可以表示为，若在基底下可以表示为，则________，________． 【题型2 用基底表示向量】 1．（河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版））在中，点满足，点满足，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·二模）已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（   ） A． B． C． D． 3．(多选)（26-27高三·全国·一轮复习）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参】 1．（25-26高一下·湖北·期中）设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（     ） A．－2 B． C． D．2 2．（2026·北京朝阳·二模）如图，在中，点为线段的中点，，，则（   ） A． B． C． D．2 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，平行四边形的对角线交于O点，线段上有点M满足，线段上有点N满足，设，已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 【题型3 平面向量线性运算的坐标表示】 1．（2026·湖南·模拟预测）已知向量，，则（    ） A．1 B．8 C． D．2 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 3．（2026·甘肃·模拟预测）设向量，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 4．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（   ） A．12 B．9 C．6 D． 5．（25-26高一下·山东·阶段检测）已知，，，则点的坐标为________． 【题型4 向量共线的坐标表示】 1．（2025高二上·北京·学业考试）下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海·期中）与向量方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【题型5 数量积的坐标表示】 1．（2026·河北保定·三模）已知向量在上的投影向量的坐标为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北邯郸·期中）若，，且，则x等于（   ） A．3 B． C． D． 4．（25-26高一下·北京·期中）向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A．45° B．60° C．120° D．135° 【题型6 向量模长、夹角的坐标公式应用】 1．（25-26高一下·吉林·期中）已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 2．（2026·吉林长春·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·河南·阶段检测）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与同向的单位向量为 D．若，则 4．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）已知向量，．若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围______． 【题型7 向量垂直的坐标表示】 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量，满足，且，则的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）已知，，则下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 4．（25-26高一下·陕西宝鸡·阶段检测）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 投影向量的坐标表示】 1．（25-26高一下·海南·期中）已知向量,，则向量在方向上的投影向量的模长为（    ） A． B．3 C． D．−3 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（    ） A． B．4 C． D． 3．（25-26高一下·北京延庆·期中）设向量，，. (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值； (3)求的余弦值； (4)求在上的投影数量. 4．（河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版））已知平面向量，，且． (1)求在上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【题型9 向量在物理、几何中的应用】 1．（2025·广东江门·模拟预测）已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A．向正北方向 B．向正南方向 C．向西北方向 D．向东南方向 2．（25-26高一下·福建福州·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（ ） A． B． C．8 D． 3．（24-25高一下·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____． 5．（2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 1．（25-26高一下·广西河池·期中）在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 2．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高一下·陕西安康·期中）在平面内，质点在三个力，，的作用下恰好处于平衡状态，其中，，现用作用在上产生位移，则力对做功为（    ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 5．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，已知四边形的四个顶点、、、的坐标分别是、、、.则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽芜湖·模拟预测）梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知向量，绕原点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广西崇左·二模）某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影数量为 C． D．的最大值为2 11．(多选)（2026·湖北·模拟预测）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 13．（25-26高一下·天津·期末）已知，，，，若存在非零实数，使得，则的最小值为 __． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则 15．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）如图在直角梯形中，已知，，，．以为圆心，为半径作圆弧，点在图中扇形区域内（包含边界）运动．若，其中，，则的取值范围是_________． 17．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 1．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）定义一种点对应：任意平面向量，点绕点沿逆时针方向旋转角得到，即将绕点沿逆时针方向旋转角，得到向量．已知点，点，若将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·广东·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 5．（2026·北京西城·二模）已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________. 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，现有一块质量均匀的矩形扁平木板立于墙边（木板上边缘紧贴墙面，下边缘紧贴地面），与墙面夹角，墙面与地面垂直，若地面和墙面平整且光滑，根据物理学规律，木板底端会沿垂直于墙面的方向向外滑动，在木板刚开始滑动时，沿墙面滑动的速度的大小和沿地面滑动的速度的大小的比值为___________． 7.（2026·北京·三模）已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为的长度为___________，的最大值为___________． 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． ， 设，则，且， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $