山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假5单调性与奇偶性

**基本信息** 以单调性与奇偶性为核心，通过基础单选、综合多选填空、拓展解答三级分层，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|奇偶性定义、单调性简单应用|单选题直接考查定义辨析，如偶函数定义求参数| |综合应用|奇偶性与单调性结合、抽象函数性质|多选题辨析性质关联性，填空题强化单调区间与最值应用| |拓展提升|综合奇偶性、单调性证明及不等式求解|解答题完整考查推理证明与问题解决，体现应用意识|

山西大学附中高中数学（必修一）暑假作业 编号5 函数性质 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D A ABC ABD 1．B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ，， ，， ． 2．B 【分析】整理可得且，根据题意结合偶函数对称性分析函数的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，则， 可得，可得且， 因为在上单调递减，且， 可知在上单调递增，且， 当时，则，故； 当时，则，故；综上：的解集为. 3．D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 4．A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 5．D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 6．A 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以，解得，即实数的取值范围是． 7．ABC 【分析】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为， 对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确； 对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为， 而， 因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确； 对于C：因为，所以， 即的值域为，故C正确； 对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减， 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取， 有，不符合单调递减定义，故D错误. 8．ABD 【分析】对于A选项，因为是奇函数，由判断函数周期；对于B选项，由的周期为4，分别求解，，，即可；对于C选项，由函数对称求解即可；对于D选项，由函数对称的定义求解即可； 【详解】因为是奇函数，所以．因为，所以， 所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确． 因为时，，所以，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以．因为的周期为4，所以．因为，所以， 所以，所以，故B正确． 因为，所以，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 当时，，因为时，，所以， 因为的图象关于直线对称，所以，在上单调递减，故C错误． 9． 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 10．6 【分析】根据关于对称即可求解. 【详解】由于，可得关于点对称， 故. 11．(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 12．(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中（必修一）暑假作业5 单调性与奇偶性 一、单选题 1．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 5．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 6．函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 8．已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（   ） A．是周期为4的周期函数 B． C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 三、填空题 9．设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 10．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 四、解答题 11．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 12．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式 学科网（北京）股份有限公司 $