第五周 第4天 函数奇偶性的应用 暑假自学配套同步分层练习-2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习（函数奇偶性的应用），通过青铜、黄金、王者三局分层设计，实现从基础概念到综合应用再到抽象推理的知识巩固路径，培养数学抽象、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|函数奇偶性定义、解析式、单调性基础应用|以选择、填空为主，夯实基础（如已知奇偶性求解析式）| |黄金局|奇偶性与零点、不等式恒成立综合|结合定义域、单调性解综合题（如不等式恒成立求参数）| |王者局|抽象函数与复合函数性质探究|通过抽象函数提升逻辑推理（如利用单调性比较大小）|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第五周 第 4天 函数奇偶性的应用 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)=x+1，则当x<0时，f(x)等于(　　) A.x-1 B.x+1 C.-x-1 D.-x+1 答案　A 解析　当x<0时，-x>0，f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1. 2.如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 答案　A 解析　∵f(x)为奇函数， ∴f(x)在[1，3]上的单调性与在[-3，-1]上一致， ∴f(x)在区间[1，3]上单调递增， 又f(x)在区间[-3，-1]上有最大值5， ∴f(x)在区间[1，3]上有最小值-5. 3.(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2+x+a-2，则(　　) A.a=2 B.f(2)=2 C.f(x)是R上的增函数 D.f(-3)=-12 答案　ACD 解析　f(x)是R上的奇函数，故f(0)=a-2=0，得a=2，故A正确；当x≥0时，f(x)=x2+x，所以f(2)=4+2=6，故B错误；当x≥0时，f(x)=x2+x在[0，+∞)上单调递增，由奇函数的图象关于原点对称可知，f(x)在(-∞，0]上单调递增，故f(x)是R上的增函数，故C正确；f(-3)=-f(3)=-(9+3)=-12，故D正确. 4.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系为(　　) A.f(0)>f(-2)>f(1) B.f(-2)>f(0)>f(1) C.f(0)>f(1)>f(-2) D.f(1)>f(0)>f(-2) 答案　C 解析　当m=1时，f(x)=6x+2不符合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称， ∴m=0，∴f(x)=-x2+2， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递增，在[0，+∞)上单调递减. 又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)=f(-2). 5.奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则f(x)在(0，+∞)上有(　　) A.最大值- B.最大值 C.最小值- D.最小值 答案　B 解析　方法一　当x<0时，f(x)=x2+x= 所以f(x)有最小值- 因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值. 方法二　当x>0时，-x<0，所以f(-x)=-x(1-x). 又f(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x)， 所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=- 所以当x>0时，f(x)有最大值. 6.已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则f(x)>0的解集是(　　) A.{x|-3<x<3} B.{x|x<-3或x>3} C.{x|x>3} D.{x|x<-3} 答案　B 解析　因为偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，所以f(x)=f(|x|)>0=f(3)， 则|x|>3，解得x>3或x<-3， 故f(x)>0的解集是{x|x<-3或x>3}. 7.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，则(　　) A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数 B.f(x)=-x C.g(x)=2x2+1 D.g(2)=4 答案　ABC 解析　令F(x)=[f(x)]2-3g(x)， 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以F(-x)=[f(-x)]2-3g(-x)=[-f(x)]2-3g(x)=[f(x)]2-3g(x)=F(x)， 所以F(x)=[f(x)]2-3g(x)是偶函数，故A正确； 因为2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3， ① 所以2f(-x)+3g(-x)=-2f(x)+3g(x)=6x2+2x+3， ② 由①②，得f(x)=-x，g(x)=2x2+1，故B，C正确； 易得g(2)=8+1=9，故D错误. 8.(5分)已知奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，且在[0，5]上的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为　　　　　. 答案　(2，4)，(-4，-2) 解析　根据图象可得f(x)在[0，5]上的单调递增区间为(0，2)，(4，5)，单调递减区间为(2，4)， 又函数f(x)为奇函数，由奇函数在对称的区间上单调性相同得， f(x)在[-5，0]上的单调递增区间为(-2，0)，(-5，-4)，单调递减区间为(-4，-2). 所以f(x)在定义域[-5，5]上的单调递减区间为(2，4)，(-4，-2). 9.(5分)若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式>0的解集为　　　　　　　　　. 答案　(-3，0)∪(3，+∞) 解析　因为f(x)为奇函数，所以=f(x)，因为f(3)=0，所以f(-3)=0.因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以当x>0时，f(x)>0=f(3)，解得x>3；当x<0时，f(x)>0=f(-3)，解得-3<x<0.所以原不等式的解集为(-3，0)∪(3，+∞). 10.(10分) 设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+4x. (1)求f(x)的表达式.(5分) (2)证明f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.(5分) (1)解　当x<0时，-x>0，所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x. 因为f(x)是奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x， 所以f(x)= (2)证明　设任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， 则f(x2)-f(x1)=(+4x2)-(+4x1)=(x2-x1)(x2+x1+4).因为0<x1<x2， 所以x2-x1>0，x2+x1+4>0， 所以f(x2)-f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知函数y=f(x)是偶函数，其图象与x轴有9个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是(　　) A.0 B.3 C.6 D.9 答案　A 解析　因为函数f(x)的图象关于y轴对称，且其图象与x轴有9个交点，所以f(0)=0且其余8个交点关于原点对称，所以方程f(x)=0的所有实根之和是0. 12.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递增，若对于任意的x∈R，不等式f(ax)>f(x2+1)恒成立，则a的取值范围是(　　) A. B. C.(-2，2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 答案　C 解析　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递增， ∴函数f(x)在[0，+∞)上单调递减， ∵不等式f(ax)>f(x2+1)恒成立， ∴|ax|<x2+1恒成立， ∴-x2-1<ax<x2+1， 即的解集为R， ∴Δ=a2-4<0， 解得-2<a<2. 13.(5分)若函数f(x)=(t≠0)在[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为N，且M+N=2 024，则实数t的值为　　　　. 答案　506 解析　由题意，f(x)=2t+x∈[-2 025，2 025]， 设g(x)=x∈[-2 025，2 025]，t≠0， 其定义域关于原点对称， 则f(x)=2t+g(x)，x∈[-2 025，2 025]. 因为g(-x)= =-=-g(x)， 所以g(x)=x∈[-2 025，2 025]为奇函数，其图象关于原点对称， 所以g(x)max+g(x)min=0， 所以f(x)max+f(x)min=2t+g(x)max+2t+g(x)min=4t+0=M+N=2 024， 所以t=506. 14.(11分)已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数g(x)的定义域；(5分) (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.(6分) 解　(1)由题意可知 所以 解得<x< 故函数g(x)的定义域为. (2)由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0， 所以f(x-1)≤-f(3-2x). 因为f(x)为奇函数，所以f(x-1)≤f(2x-3). 而f(x)在(-2，2)上单调递减， 所以解得<x≤2. 所以不等式g(x)≤0的解集为. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函数且f(1)=1，若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=　　　　. 答案　-1 解析　∵y=f(x)+x2是奇函数， ∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2]， ∴f(x)+f(-x)+2x2=0， ∴f(1)+f(-1)+2=0. ∴g(-1)=f(-1)+2=-f(1)=-1. 16.(12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(6分) (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)因为a>b，所以a-b>0， 由题意得>0，所以f(a)+f(-b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-b)=-f(b)， 所以f(a)-f(b)>0，故f(a)>f(b). (2)因为f(1+m)+f(3-2m)≥0， 所以f(1+m)≥-f(3-2m)，又f(x)是奇函数， 所以f(1+m)≥f(2m-3)， 由(1)知f(x)为R上的增函数， 所以1+m≥2m-3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(-∞，4]. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第五周 第 4天 函数奇偶性的应用 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)=x+1，则当x<0时，f(x)等于(　　) A.x-1 B.x+1 C.-x-1 D.-x+1 2.如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 3.(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2+x+a-2，则(　　) A.a=2 B.f(2)=2 C.f(x)是R上的增函数 D.f(-3)=-12 4.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系为(　　) A.f(0)>f(-2)>f(1) B.f(-2)>f(0)>f(1) C.f(0)>f(1)>f(-2) D.f(1)>f(0)>f(-2) 5.奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则f(x)在(0，+∞)上有(　　) A.最大值- B.最大值 C.最小值- D.最小值 6.已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则f(x)>0的解集是(　　) A.{x|-3<x<3} B.{x|x<-3或x>3} C.{x|x>3} D.{x|x<-3} 7.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，则(　　) A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数 B.f(x)=-x C.g(x)=2x2+1 D.g(2)=4 8.(5分)已知奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，且在[0，5]上的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为　　　　　. 9.(5分)若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式>0的解集为　　　　　　　　　. 10.(10分) 设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+4x. (1)求f(x)的表达式.(5分) (2)证明f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.(5分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知函数y=f(x)是偶函数，其图象与x轴有9个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是(　　) A.0 B.3 C.6 D.9 12.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递增，若对于任意的x∈R，不等式f(ax)>f(x2+1)恒成立，则a的取值范围是(　　) A. B. C.(-2，2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 13.(5分)若函数f(x)=(t≠0)在[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为N，且M+N=2 024，则实数t的值为　　　　. 14.(11分)已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数g(x)的定义域；(5分) (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.(6分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函数且f(1)=1，若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=　　　　. 16.(12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(6分) (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的取值范围.(6分) 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $