第七周 第5天 对数函数的概念 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过青铜局、黄金局、王者局三层设计，实现从对数函数概念辨析到实际应用再到综合性质探究的渐进式知识巩固，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|对数函数定义、定义域、解析式|多选辨析概念（如第1题），基础运算（如第8题求销售额），夯实数学抽象能力| |黄金局|实际问题建模、综合计算|碳14测定（第11题）、地震震级（第14题），体现数学应用意识，发展逻辑推理| |王者局|函数性质探究、参数范围讨论|“倒负”变换性质判断（第15题）、含参对数函数定义域（第16题），培养创新思维与批判性思维|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第七周 第 5天 对数函数的概念 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A.y=logex B.y=lox C.y=log4x2 D.y=log2(x+1) 答案　AB 解析　A，B项中的函数是对数函数；C，D项中的真数不是x，故不是对数函数. 2.设函数f(x)=则f(f(10))的值为(　　) A.lg 101 B.1 C.2 D.0 答案　C 解析　f(f(10))=f(lg 10)=f(1)=12+1=2. 3.在函数y=log(x-3)(7-x)中，函数的定义域是(　　) A.(-∞，7) B.(3，7) C.(3，4)∪(4，7) D.(3，+∞) 答案　C 解析　由得3<x<7且x≠4， 故函数的定义域为(3，4)∪(4，7). 4.已知对数函数的图象过点M(9，-2)，则此对数函数的解析式为(　　) A.y=log2x B.y=log3x C.y=lox D.y=lox 答案　C 解析　设对数函数为y=logax(a>0且a≠1)， 由题意得loga9=-2， 即a-2=9，解得a=.∴所求解析式为y=lox. 5.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　) A.y=log1.05x B.y=log1.005x C.y=log0.95x D.y=log0.995x 答案　B 解析　由题意得x=(1+0.005)y=1.005y，化为对数函数得y=log1.005x. 6.(多选)若点(a，b)满足对数函数f(x)=ln x的解析式，则下列点中也满足函数f(x)的解析式的是(其中e为自然对数的底数)(　　) A. B.(a+e，1+b) C. D.(a2，2b) 答案　ACD 解析　由题意知b=ln a，则-b=-ln a=ln 故A正确；1-b=1-ln a=ln 故C正确；2b=2ln a=ln a2，故D正确；1+b=1+ln a=ln(ae)，故B错误. 7.满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函数f(x)可以是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=2x C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x 答案　C 解析　f(x)=x2，f(y)=y2，f(xy)=(xy)2=x2·y2=f(x)·f(y)，故A不正确； f(x)=2x，f(y)=2y，f(xy)=2xy≠f(x)+f(y)，故B不正确； f(x)=log2x，f(y)=log2y，f(xy)=log2(xy)=log2x+log2y=f(x)+f(y)，故C正确； f(x)=eln x=x(x>0)，f(y)=y(y>0)，f(xy)=xy≠f(x)+f(y)，故D不正确. 8.(5分)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=2log4x-2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为　　　　万元.  答案　128 解析　由题意得5=2log4x-2， 即7=log2x，得x=27=128. 9.(5分)已知函数f(x)是对数函数，且f =-则f(2=　　　　.  答案　 解析　设f(x)=logax(a>0，且a≠1)， 因为f=-所以loga=- 即解得a=2，所以f(x)=log2x， 所以f(2=log22=log2. 10.(10分)求下列函数的定义域： (1)y=log(3x-1)5；(5分) (2)y=.(5分) 解　(1)由题意得 解得x>且x≠ 所以函数y=log(3x-1)5的定义域是. (2)由题意得 解得x<4，且x≠3， 所以函数y=的定义域是{x|x<4，且x≠3}. 黄金局 提能力·融会贯通 11.考古专家对某遗址出土的文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14年残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5 730年(即每经过5 730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半).则该遗址距今约(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 11≈1.04)(　　) A.3 200年 B.3 262年 C.3 386年 D.3 438年 答案　D 解析　设该遗址距今x年，则=0.66， 两边取对数得·lg =lg 0.66. 所以x=5 730×=5 730× ≈5 730×=3 438. 即该遗址距今约3 438年. 12.已知点P(16，2)，Q(t，log23)都在同一个对数函数的图象上，则t等于(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　设对数函数为y=logax(a>0，且a≠1)， 因为P(16，2)在函数的图象上， 所以loga16=2，解得a=4，则y=log4x. 因为Q(t，log23)也在该函数的图象上， 所以log4t=log23， 解得t=9. 13.设函数f(x)=f ·lg x+1，则f(10)的值是(　　) A.1 B.-1 C.10 D. 答案　A 解析　∵f(x)=f·lg x+1，将式中的x换成 ∴f =f(x)·lg+1=-f(x)lg x+1. 由以上两式，得f(x)= ∴f(10)==1. 14.(10分)20世纪70年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lg A-lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅. (1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；(4分) (2)5级地震给人的震感已比较明显，那么8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？(6分) 解　(1)由题意得M=lg A-lg A0=lg=lg=lg 104=4.即这次地震的震级为4级. (2)由题意得 所以lg A8-lg A5=3，即lg=3. 所以=103=1 000.即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(多选)已知函数f(x)的定义域为D，若对∀x∈D，均有f =-f(x)，则称函数f(x)具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是(　　) A.f(x)=x+ B.f(x)=ln x+ C.f(x)= D.f(x)= 答案　BCD 解析　f(x)=x+x≠0，则≠0，f+x=f(x)≠-f(x)，故A错误； f(x)=ln x+x>0且x≠1，则>0且≠1，f =ln=-ln x-=-f(x)，故B正确； 当0<x<1时>1，则f =-=-x=-f(x)，当x>1时，0<<1，则f =-f(x)，故C正确； 当0<x<1时>1，则f =-=-f(x)，当x>1时，0<<1，则f=x2=-f(x)，故D正确. 16.(12分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0，且a≠1).当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围. 解　设t(x)=3-ax，∵a>0，且a≠1， ∴t(x)=3-ax为减函数， 则当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3-2a. ∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义， 即当x∈[0，2]时，3-ax>0恒成立. ∴3-2a>0，∴a<. 又a>0且a≠1， ∴0<a<1或1<a< ∴实数a的取值范围为(0，1)∪. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第七周 第 5天 对数函数的概念 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A.y=logex B.y=lox C.y=log4x2 D.y=log2(x+1) 2.设函数f(x)=则f(f(10))的值为(　　) A.lg 101 B.1 C.2 D.0 3.在函数y=log(x-3)(7-x)中，函数的定义域是(　　) A.(-∞，7) B.(3，7) C.(3，4)∪(4，7) D.(3，+∞) 4.已知对数函数的图象过点M(9，-2)，则此对数函数的解析式为(　　) A.y=log2x B.y=log3x C.y=lox D.y=lox 5.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　) A.y=log1.05x B.y=log1.005x C.y=log0.95x D.y=log0.995x 6.(多选)若点(a，b)满足对数函数f(x)=ln x的解析式，则下列点中也满足函数f(x)的解析式的是(其中e为自然对数的底数)(　　) A. B.(a+e，1+b) C. D.(a2，2b) 7.满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函数f(x)可以是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=2x C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x 8.(5分)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=2log4x-2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为　　　　万元.  9.(5分)已知函数f(x)是对数函数，且f =-则f(2=　　　　.  10.(10分)求下列函数的定义域： (1)y=log(3x-1)5；(5分) (2)y=.(5分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.考古专家对某遗址出土的文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14年残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5 730年(即每经过5 730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半).则该遗址距今约(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 11≈1.04)(　　) A.3 200年 B.3 262年 C.3 386年 D.3 438年 12.已知点P(16，2)，Q(t，log23)都在同一个对数函数的图象上，则t等于(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 13.设函数f(x)=f ·lg x+1，则f(10)的值是(　　) A.1 B.-1 C.10 D. 14.(10分)20世纪70年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lg A-lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅. (1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；(4分) (2)5级地震给人的震感已比较明显，那么8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？(6分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(多选)已知函数f(x)的定义域为D，若对∀x∈D，均有f =-f(x)，则称函数f(x)具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是(　　) A.f(x)=x+ B.f(x)=ln x+ C.f(x)= D.f(x)= 16.(12分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0，且a≠1).当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $