2025-2026学年深圳市盐田高级中学高一下学期期末综合练习卷（一）

**基本信息** 以向量、立体几何、概率统计、解三角形为核心模块，通过题型分层与方法提炼构建系统性知识网络，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与立体几何|8题（如2、7、16）|向量平方求模长、面面垂直性质、等体积法|向量运算→空间几何证明→距离与二面角计算，体现几何直观与空间观念| |概率统计|4题（如3、13、18）|独立事件概率加法、分层抽样、古典概型列举|随机事件→数据处理→概率计算，培养数据意识与应用意识| |解三角形|3题（如8、11、19）|正弦定理角化边、余弦定理求周长|边角关系→充要条件判断→面积与周长综合，发展推理能力与运算能力|

2026年深圳市盐田高级中学数学期末综合（一） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知，，则（   ） A．2 B． C． D．3 2．已知单位向量，满足|－|＝，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．假设孕妇生孩子时生男孩的概率是0.51，生女孩的概率是0.49．一位母亲已经生了两个孩子，且均为男孩，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，其中数学、物理、化学为理科书，从中任取1本，取出的是理科书的概率（   ） A． B． C． D． 5．点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 6．已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 7．如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 8．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（    ） A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 D．圆锥的体积与球的体积之比为 10．平面与平面平行，且，下列说法中正确的有（    ） A．a与内的所有直线都平行 B．a与内无数条直线平行 C．a与内的任意一条直线都不垂直 D．a与无公共点 11．对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在中，若，则不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 三、填空题 12．若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为_______． 13．四川的旅游资源丰富，不仅有众多著名的自然景观，还包括许多人文景点.其中，九寨沟以奇幻的山水景观著称；峨眉山以秀丽闻名；青城山以幽静清雅著称；剑门关则以雄险著称.此外，四川还有许多必去的旅游景点，如都江堰、乐山大佛、稻城亚丁、色达佛学院、黄龙景区和四姑娘山等.这些景点既展示了四川的自然美景，还体现了其深厚的文化底蕴和历史价值.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点进行游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙选择相同的景点游玩的概率为__________. 14．已知中，，M为线段BN上的一个动点，若（x、y均大于0），则的最小值为______． 四、解答题 15．如图，在平行四边形中，，与相交于点，设． (1)用分别表示； (2)求的余弦值． 16．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 17．在正方体中，E，F分别是底面和侧面的中心． (1)求证：平面 (2)求证：平面平面． 18．某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 19．已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求的值； (3)若的面积为，求的周长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年深圳市盐田高级中学期末综合（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C C D B D C ABD BD ACD 1．B 【分析】利用，即可求解. 【详解】，故.故选：B. 2．C 【分析】将两边平方求得,再利用向量夹角公式即可求解. 【详解】根据题意得,得,所以,所以.故选：C 3．C 【分析】根据已知条件，结合孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，即可求解． 【详解】孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51， 前面事件发生的概率不会影响后续事件的发生， 故这次生男孩的概率约是0.51． 故选：C． 4．C 【分析】由等可能事件的概率公式计算. 【详解】由题意数学、物理、化学共3本书为理科书，故所求概率为．故选：C. 5．D 【详解】取线段的中点，则， 因为，所以， 则，所以， 则点的轨迹经过的外心. 6．B 【分析】由投影向量的概念求得，从而求出，再利用向量数量积的运算律展开运算即可. 【详解】因为平面向量，是两个单位向量， 故在上的投影向量为,所以, 所以, 故选：B. 7．D 【分析】根据面面垂直性质可得平面，再利用线面垂直判定定理可得平面，即，根据等体积法计算可求得结果. 【详解】由平面平面，平面平面，且平面平面， 所以可得平面； 又平面，所以， 又，所以， 因为，平面，所以平面； 又平面，可得； 又因为，因此； 设点A到平面的距离为，所以三棱锥的体积， 即，解得.故选：D 8．C 【分析】利用正余弦函数的单调性以及大边对大角判断即可得出结论． 【详解】判断： 根据正弦定理，则，因为，等价于； 根据大边对大角，可得：； 因为，余弦函数在上单调递减，故；充分性得证； 判断： 因为余弦函数在上单调递减，，故，根据大角对大边可知； 根据正弦定理，故；必要性得证； 综上，“”是“”的充要条件． 9．ABD 【分析】根据题意，结合条件由圆锥以及球的表面积体积公式代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 对于A，设球的半径为，则如图所示：，所以，故A正确； 对于B，圆锥的表面积为，球的表面积为，所以，故B正确； 对于C，圆锥的母线长为，底面周长为， 所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为，故C错误； 对于D，，，，故D正确.故选：ABD. 10．BD 【分析】如图，借助长方体逐项判断即可； 【详解】如图， 在长方体中，平面平面， 将平面看作平面，将平面看作平面， 平面，平面， 由长方体结构特点易知：与AB不平行，且与AB垂直，所以A，C错误. 易知两平面内由无数条直线平行，同时两平面没有交点，所以B，D正确； 故选：BD. 11．ACD 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由正弦定理判断C；由余弦定理可得，判断出△ABC的形状，判断D． 【详解】A中，，即， 由正弦定理可得 ，由余弦定理可得， 因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确； B中，若，且△ABC有两解，则，即， 即的范围为，所以B错误； C中，在△ABC中，，由大角对大边得，由正弦定理可得成立，所以C正确； D中，若，由余弦定理可得， 即，即，所以，所以△ABC必是等边三角形，故D正确． 12．3 【分析】先设出复数，结合给定条件确定的轨迹，再结合复数的模长公式将问题转化为求原点到圆上点的距离最大值问题，最后利用两点间距离公式结合圆的性质求解即可. 【详解】设，因为，所以， 即，则， 得到在以为圆心，半径为的圆上， 由复数模长公式得，其几何意义是原点到的距离， 由两点间距离公式得到原点的距离为， 则，即的最大值为. 故答案为：3 13． 【分析】根据相互独立事件概率加法计算公式即可求得. 【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为. 故答案为：. 14．9 【分析】由向量的线性运算得出，利用三点共线得，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】∵，∴， ∴，又三点共线，∴， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是9. 故答案为：9.    15．(1)，，； (2). 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则即可得解； （2）法一：由（1）首先求出的模长和，然后再由夹角公式计算可得；法二：建立坐标系，求出相应点坐标，首先求出的模长和，然后再由夹角公式计算可得。 【详解】（1）在平行四边形中，， 又，所以 所以， 又，所以 所以，    过作交于， ，所以 （2）解法1：， ， 且在中， 为等边三角形，， ． 解法2：如图所示建系    则， ， ， ， 16．【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可证，，进而证明平面，即可得面面垂直； （2）分析可知是二面角的平面角，结合长度关系运算求解. 【详解】（1）如图所示，连接，    因为是菱形且知，则是等边三角形， 且是的中点，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：平面，平面，则. 且，可知是二面角的平面角， 在中，，， 故二面角的大小为. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明，，根据线面垂直的判定定理可证； （2）通过证明平面，平面，根据面面平行的判定定理可证. 【详解】（1）根据题意，连接， 由正方体性质，可知面，面，所以， 在正方形中，，又，面， 所以面，面，则，同理， ，面，所以平面； （2）根据题意，E，F分别是底面和侧面的中心， 所以，即平面为平面， 由正方体性质，，，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则平面， 同理平面，，平面， 所以平面平面，即平面平面． 18．(1)30人 (2)①3人，2人，1人；② 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数； （2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率； 【详解】（1）设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． （2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用内角和定理与和角的正弦公式化简得到，即可求得角； （2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式计算即得； （3）由三角形面积公式求出，利用余弦定理变形转化求出，即得的周长. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因， 所以，可得， 为三角形内角，，解得， ； （2）由已知，所以， ， ， . （3）， ， 由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 的周长为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $