广东汕尾市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题

2025—2026学年度高一年级第二学期教学质量监测 高中一年级 数学 答案及评分标准（参考） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B C A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AB BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1） （4分：每式2分） 由①+②，得， （5分） 由①-②，得． （6分） （2）依题意，得， （7分） ， （8分） 因为， （9分） 因为， （10分） 所以， （11分） 又因为， （12分） 所以． （13分） 16．（15分）（1）依题意，得， （1分） 解得， （2分） 故的定义域为， （3分） 令，即， 则， （5分） 所以为偶函数，即为偶函数． （6分） （2）因为，所以函数的定义域为R， （7分） 又因为为奇函数，所以， （8分） 即， （9分） 解得． （10分） ，且，则 （11分） ． （13分） 因为，所以，，，故， （14分） 即，所以在R上单调递增． （15分） 17．（15分）（1）依题意，由正弦定理， （1分） 得， （2分） 又因为， （3分） 所以， 即， （4分） 又因为， （5分） 所以，即， （6分） 因为，所以． （7分） （2）由余弦定理，得①，由（1）知，，， （8分） 代入①中，得， （9分） 所以的面积． （10分） （3）法一：由 （11分） 解得， （12分） 又因为，故为等边三角形， （13分） 因为D为的中点， （14分） 所以． （15分） 法二：， （11分） ， （12分） 所以， （14分） 所以，即．（15分） 法三：因为， （11分） 所以， （12分） 化简，得， （14分） 即． （15分） 法四：因为， （11分） 所以， （12分） 化简，得， （14分） 即． （15分） 18．（17分）（1）如图，连接，在平面内过点E作直线l垂直于（或作直线），l即为所求． （2分；有描述到直线即给分） 证明：在长方体中，平面， 因为平面，所以，（3分） 因为，且，平面，平面， （4分） 所以平面， （5分） 又因为平面，所以． （6分） （2）记水面所在的平面为平面． 由E是上的点，且， 故直线l即为的中位线所在的直线． （7分） 如图，令，因为点M在上，且，则有，故平面即为平面， （8分） 延长交延长线于点P，连接，， 故直线即为平面与侧面的交线m， （9分） 所以直线与直线所成的角，即为异面直线l与m所成的角． （10分） 由，， 可得，， 由，得，所以， （11分） 由，得，所以， 又因为，可得，， （12分） 所以， （13分） ， （14分） 连接，， 所以，， （15分） 所以，即， （16分） 所以，故异面直线l与m所成角的余弦值为． （17分） 19．（17分）（1）由，即， （1分） 因为，分别为，同向的单位向量，与的夹角为， 所以， （2分） 因为在方向上投影为2，所以，解得． （3分） （2）已知，，， 由题意知，，，， （4分） ①由，即，得 （5分） 解得 （6分） ②由①，得， 所以， （7分） 若与垂直，则，即，解得． （8分） ，，故不可能与垂直 （9分） （3）因为，所以， 因为， 故， 即①，（10分） （亦可由余弦定理，求得） 由，得，由F为中点，得， 由N为中点，得，由M为中点，得， （11分） 所以，， 故， （12分） 由①，得， （13分） 在中，，由正弦定理：， 记，所以，， （14分） 即，， 故，其中 所以， （15分） 又，，故， 所以，故当时， （16分） 取得最大值，最大值为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一年级第二学期教学质量监测 高中一年级数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为（ ） A． B． C．R D． 2．下列各组物理量中，全部为向量的是（ ） A．质量、位移、温度 B．速度、弹力、加速度 C．路程、重力、压强 D．功、速率、摩擦力 3．对任意的，都有恒成立，则复数是（ ） A．实数 B．纯虚数 C．实部与虚部相等的复数 D．零 4．全集，集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．已知，且，则（ ） A． B． C．2 D． 7．已知定义域为Q的函数满足，且当时，，，若与在的图象有且仅有一个公共点，则以下可以满足要求的k值为（ ） A．1 B． C．2 D． 8．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．复数，，复数，在复平面内对应的向量分别是为，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．对应的点在第二象限 10．如图，在四边形中，E，F分别为，的中点，．设，，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，设，则下列选项中正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．在上有4个零点 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，，，则_________． 13．某长方体工件用斜二测画法得到的水平放置的直观图如图所示．已知在直观图中，，，现要在工件外表面开浅表通槽（槽深忽略不计，槽线贴合工件表面），槽道连通一条体对角线顶点，则槽道的最短长度为_________． 14．平面内不共线的三点O，A，B满足，，且，则的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）已知，，求及的值． （2）在中，已知，是关于x的方程的两个实根，求C． 16．（15分）（1）已知函数，，判断的奇偶性． （2）是奇函数，求a的值，并判断函数的单调性． 17．（15分）如图，已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边， 且． （1）求A． （2）若，且，求的面积． （3）在（2）的条件下，设D为的中点，求的长度． 18．（17分）如图，一个密封长方体形状的容器中盛有水，E为容器上底面内任意一点，在平面内过点E画一条直线l，使得． （1）为使得，请简要写出作图步骤，并证明所作直线． （2）已知，．若点E在上，且，点M在上，且．现将容器倾斜，此时容器内水面恰好同时经过点和M，且水面与直线l平行．设水面与平面的交线为m，求异面直线l与m所成角的余弦值． 19．（17分）如图，设，是平面内相交角为的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）向量在方向上的投影为，在方向上投影为2，求． （2）已知，，存在实数，满足． ①求，． ②记，求证：，不可能与垂直． （3）若，在正半轴上，在正半轴上，，，F为的中点，M为的中点，N为的中点，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $