精品解析：山东省滨州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的包含关系得结论. 【详解】，所以， 故选：A 2. 已知都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件定义判断可得答案. 【详解】当时，无意义， 当时，由不等式性质可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 对某地区高二学生数学考试成绩进行数据分析，成绩服从正态分布，则从该地区随机选择一名高二考生，其成绩不低于90分的概率为（ ） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，． A. 0.15865 B. 0.0027 C. 0.02275 D. 0.00135 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】由已知， 故选：D. 4. 若“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出时，的取值范围即得. 【详解】时，， 所以， 故选：C. 5. 已知，则的估算值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数的运算求解. 【详解】设，则， 所以， 故选：D 6. 被8除的余数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 7. 已知函数，若对任意的，满足，则下列结论恒成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的偶函数的定义判断结合单调性得出即可判断A，特殊值法计算判断B，C，D. 【详解】因为定义域为，且， 所以是偶函数， 因为， 所以，且单调递增， 所以，所以，A选项正确； 当时，满足题意，，，B选项错误；C选项错误； 当时，满足题意， ，D选项错误； 故选：A. 8. 由数字0，1，2组成的五位数中，满足“0恰好出现两次”或“1恰好出现两次”的所有五位数的个数为（ ） A. 86 B. 104 C. 128 D. 130 【答案】A 【解析】 【分析】分情况讨论，再利用分步乘法计数原理及容斥原理即可求解. 【详解】（1）“0恰好出现两次”： 万位不能为0，因此两个0的位置只能从剩下的4个位置中选择，有种方法， 剩下的3个位置由1或2填充，每个位置有2种选择，共种方法， 则“0恰好出现两次”的种数有种； （2）“1恰好出现两次”： “万位为1”时：从剩下的4个位置中选择1个位置放1，有种， 剩下的三个位置由0或2填充，每个位置有2种选择，共种方法， 则共有种方法， “万位不为1”时：从剩下的4个位置中选择2个位置放1，有种， 则万位放2，剩下的两个位置由0或2填充，每个位置有2种选择，有种， 则共有种方法， 所以“1恰好出现两次”的种数有种； （3）“0恰好出现两次”且“1恰好出现两次”： 先安排2个0，有种方法，再从剩下的3个位置选择2个放1，有种， 最后一个位置放2即可，则共有种方法； 则“0恰好出现两次”或“1恰好出现两次”的所有五位数的个数为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学经过随机抽样获得的成对样本数据为，，，，数据为其中一对样本数据，经统计分析，变量x和变量y具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，则下列结论正确的为（ ） 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：． A. 若，则 B. 根据所求经验回归方程，数据的残差值为0.1 C. 若将样本数据，，，调整为，，，，则调整数据后所得经验回归方程为 D. 若该同学将样本数据错误的记为，则样本相关系数r将变小 【答案】ACD 【解析】 【分析】由回归直线方程求中心点判断A，计算预估值后得残差判断B，根据数据的变化确定新回归直线中的系数得方程判断C，利用数据点与回归直线的远近变化确定相关系数的变化判断D. 【详解】对A，，因此，A正确； 对B，由回归直线方程知时，，因此残差为，B错； 对C，将样本数据，，，调整为，，，，根据计算公式，回归直线方程中系数不改变，但增加了3，原来是， 所以新的系数为，回归方程为，C正确； 对D，原回归直线中样本点的预估点是，现变为，远离了回归直线，因此线性相关性减弱，相关系数的绝对值变小，原来是3，因此相关系数变小，D正确。 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数图象确定的关系或值，然后再结合不等式的知识判断. 【详解】由图象反映的函数定义域得，， ，B正确； ，所以，所以，A错，从而，C正确， 又，因此，D错， 故选：BC. 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析式为，其中为有理数集，则下列结论正确的为（ ） A. 狄利克雷函数是偶函数 B. 狄利克雷函数是周期函数，无最小正周期 C. 不等式的解集为 D. 函数有四个不同的零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性与周期性判断AB，分类讨论解不等式判断C，分类讨论解方程判断D. 【详解】对A，是有理数时，是有理数，是无理数时，也是无理数，因此总有，A正确； 对B，对任意的有理数，是有理数时，是有理数，是无理数时，也是无理数，因此，所以非零有理数都是其周期，但没有最小正周期，B正确； 对C，当时，不等式为，此时，因此上的所有有理数都是不等式的解，同样当时，不等式为，无实解，C错； 对D，当时，，或， 当时，，， 所以有4个零点，D正确。 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 若正数满足，则的最小值为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为18. 故答案为：. 13. 随机变量X的分布列如下，则_______． X 0 1 2 P 0.3 0.3 【答案】 【解析】 【分析】利用分布列的性质，求出值，再利用期望、方差的定义计算作答. 【详解】依题意：. 所以， 所以. 所以 故答案为： 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，最终质点位置与原点的距离不大于2的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设表示向右移动的次数，表示质点位置与原点的距离，则（表示向左移动的次数），由，可得然后根据二项分布概率公式即得. 【详解】设表示向右移动的次数，设事件表示质点位置与原点的距离，则（表示向左移动的次数）， 若，则， 所以 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高中生每天整理数学错题与数学成绩的关系，我市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了300名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，统计得到部分数据如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人数 90 150 合计 300 （1）完善上面列联表，依据的独立性检验，能否认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； （2）采用分层随机抽样的方法从数学成绩总评优秀的学生中随机抽取6名学生，再从这6名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中不是每天都整理数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附： 0.10 001 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； （2）分布列见解析，期望为1. 【解析】 【分析】（1）由已知数据填写列联表，计算出，与临界值比较可得； （2）由分层抽样得随机抽取的6名学生中，每天都整理数学错题的有4人，不是每天都整理数学错题的有2人，的可能值依次为，计算出概率可得分布列，再由期望公式计算出期望. 【小问1详解】 由已知列联表如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 30 150 不是每天都整理数学错题人数 60 90 150 合计 180 120 300 ， 依据的独立性检验，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关” 【小问2详解】 随机抽取的6名学生中，每天都整理数学错题的有4人，不是每天都整理数学错题的有2人， 所以的可能值依次为， ，，， 的分布列为： 0 1 2 . 16. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若，，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数确定单调性后得最大值； （2）分离参数得，引入函数，然后由导数求得新函数的最大值后可得. 【小问1详解】 ，定义域是， ， 当时，，递增，时，，递减， 所以时，取得极大值也是最大值； 【小问2详解】 ，，则， 设， 则， 时，，递增，时，，递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 17. 已知某产品的一个零件在甲工厂生产，由于设备老化，甲工厂生产的零件次品率为0.1． （1）为了解甲工厂生产情况，从生产的所有零件中随机抽取3件，记这3件产品中正品与次品的个数分别为X，Y，记随机变量，求的分布列及； （2）为降低产品次品率，甲工厂进行了技术改进，从改进后第1个月开始连续收集5个月的观测数据，用表示改进后的第i个月，用（单位：%）表示改进后第i个月的次品率，其中，利用最小二乘法得到经验回归直线方程为，求相关系数r（精确到0.01），并判断该经验回归直线方程是否有价值． 附：①． ②，若，则认为该经验回归直线方程有价值． ③． 【答案】（1）分布列见解析，期望为2.4； （2），该经验回归直线方程有价值. 【解析】 【分析】（1）由，，求出各概率后得分布列，由期望公式计算出期望； （2）根据已知数据求出，再比较可得结论. 【小问1详解】 由已知，所以，， 的取值分别为3，1，，， ， 所以的分布列为 3 1 0.729 0.243 小问2详解】 由已知， ，则， 所以， ，则认为该经验回归直线方程有价值． 18. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若函数存在两个不同的极值点，且，若，求实数取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接求导代入得切线斜率和切点坐标，从而得到切线方程； （2）转化为在区间恒成立，分离参数后求出右边最值即可； （3）转化为有两个不相等的正根，且，分离得，再变形得，最后设新函数，利用导数求出其最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 当时，. 所以，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为函数在区间上单调递增， 所以在区间恒成立， 所以在区间恒成立．令， . 所以的最大值为， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 因为存在两个不同的极值点， 所以有两个不相等的正根，且， 所以，． 因为，所以当函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取极大值， 当时，函数取极小值， 因为，所以由对称性可得． 因为，所以． 又， 令， 则， 因为． 所以， 所以在上垣成立，函数在上单调递增， 所以， 所以． 所以实数取值范围为． 19. 某公司要招聘一名秘书，共有名候选人，他们的能力大小各不相同．面试过程中，n名候选人依次前来面试，面试官只能根据当前和之前的候选人的能力排名做出决策，并且必须在面试完当前候选人后立即决定是否录用．一旦拒绝，该候选人将无法再被录用．为了最大概率选中最优秀的候选人，面试官实行了以下策略： ①拒绝前个候选人，将其作为参考样本． ②从第个候选人开始，如果某个候选人的能力超过了之前所有人，就立即选中他．如果后面没有比前面更优秀的候选人，则录用最后一个候选人． 设面试官选中最优秀的候选人的概率为P． （1）若，，求P； （2）取． (ⅰ)若，求当P取得最大值时，k的取值； (ⅱ)证明：． 【答案】（1）； （2）（i）37；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出满足题意的情况数和总情况数，再利用古典概型公式即可得到答案； （2）（i）利用全概率公式得，再构造函数，求导得其单调性即可证明； （ii）转化为证明，设，再利用同构思想转化证明，最后构造函数，求导再利用其单调性即可证明. 【小问1详解】 4名候选人的面试顺序从第1个到第4个排序，有种情况， 要选中最优秀的侯选人，有以下两类情形： ①最优秀的候选人是第3个，其他使选人位置随意，有种情况； ②最优秀的候选人是最后1个，第二优秀的候选人是第1个或第2个，其他候选人位置随意，有种情况． 故所求概率． 【小问2详解】 （i）记事件表示选中最优秀的候选人，事件表示最优秀的候选人排在第个位置， 因为最优秀的候选人出现在各个位置上的概率相等， 所以. 以最优秀候选人所在位置作为条件， 当时，最优秀饮选人在前个人之中，不会被选中，此时． 当时，最优秀的候选人被选中，当且仅当前个候选人中的最优秀的一个在前个人中，此时． 由全概率公式得： ， 因为，所以. 构造函数．所以． 令，得． 当；当． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以． 因为，所以当时，， 即， 所以取最大值时，的取值约为37． （ii）由（i）知，， 要证，即证，即证. 令，即需证，即证， 即证. 构造函数 因为在上恒成立， 所以在单调递增．． 取，则， 则命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对某地区高二学生数学考试成绩进行数据分析，成绩服从正态分布，则从该地区随机选择一名高二考生，其成绩不低于90分的概率为（ ） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，． A. 0.15865 B. 0.0027 C. 0.02275 D. 0.00135 4. 若“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的估算值为（ ） A. B. C. D. 6. 被8除余数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 7. 已知函数，若对任意的，满足，则下列结论恒成立的为（ ） A. B. C. D. 8. 由数字0，1，2组成的五位数中，满足“0恰好出现两次”或“1恰好出现两次”的所有五位数的个数为（ ） A. 86 B. 104 C. 128 D. 130 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学经过随机抽样获得的成对样本数据为，，，，数据为其中一对样本数据，经统计分析，变量x和变量y具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，则下列结论正确的为（ ） 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：． A. 若，则 B. 根据所求经验回归方程，数据的残差值为0.1 C. 若将样本数据，，，调整为，，，，则调整数据后所得经验回归方程为 D. 若该同学将样本数据错误记为，则样本相关系数r将变小 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析式为，其中为有理数集，则下列结论正确的为（ ） A. 狄利克雷函数是偶函数 B. 狄利克雷函数是周期函数，无最小正周期 C. 不等式的解集为 D. 函数有四个不同的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 若正数满足，则的最小值为_______． 13. 随机变量X的分布列如下，则_______． X 0 1 2 P 0.3 0.3 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，最终质点位置与原点的距离不大于2的概率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高中生每天整理数学错题与数学成绩的关系，我市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了300名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，统计得到部分数据如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人数 90 150 合计 300 （1）完善上面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； （2）采用分层随机抽样的方法从数学成绩总评优秀的学生中随机抽取6名学生，再从这6名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中不是每天都整理数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附： 010 0.01 0.001 2.706 6635 10.828 16. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若，，求实数a的取值范围． 17. 已知某产品的一个零件在甲工厂生产，由于设备老化，甲工厂生产的零件次品率为0.1． （1）为了解甲工厂生产情况，从生产的所有零件中随机抽取3件，记这3件产品中正品与次品的个数分别为X，Y，记随机变量，求的分布列及； （2）为降低产品次品率，甲工厂进行了技术改进，从改进后第1个月开始连续收集5个月的观测数据，用表示改进后的第i个月，用（单位：%）表示改进后第i个月的次品率，其中，利用最小二乘法得到经验回归直线方程为，求相关系数r（精确到0.01），并判断该经验回归直线方程是否有价值． 附：①． ②，若，则认为该经验回归直线方程有价值． ③． 18 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若函数存在两个不同的极值点，且，若，求实数取值范围． 19. 某公司要招聘一名秘书，共有名候选人，他们的能力大小各不相同．面试过程中，n名候选人依次前来面试，面试官只能根据当前和之前的候选人的能力排名做出决策，并且必须在面试完当前候选人后立即决定是否录用．一旦拒绝，该候选人将无法再被录用．为了最大概率选中最优秀的候选人，面试官实行了以下策略： ①拒绝前个候选人，将其作为参考样本． ②从第个候选人开始，如果某个候选人的能力超过了之前所有人，就立即选中他．如果后面没有比前面更优秀的候选人，则录用最后一个候选人． 设面试官选中最优秀的候选人的概率为P． （1）若，，求P； （2）取． (ⅰ)若，求当P取得最大值时，k的取值； (ⅱ)证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$