13.3.1.1三角形的内角和-课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及应用，从复习小学度量法入手，通过拼合法引出证明必要性，再用多种推理方法（作平行线“移角”）验证定理，构建从直观到逻辑的学习支架。 其亮点在于多样证明方法培养转化思想，典例中的八字、角平分线模型发展几何直观，练习题从基础到综合，用方程解决几何问题提升模型意识。学生能提升推理能力，教师可获得系统教学资源与实用教法。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 13.3.1.1三角形的内角和 第十三章 三角形 人教版八年级上册13.3.1.1三角形的内角和同步练习题 知识点核心：三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于180°）、定理的简单证明、利用内角和定理求未知角度、直角三角形两锐角互余、三角形角度的综合计算 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 任意三角形的内角和为（） A. 90° B. 120° C. 180° D. 360° 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C的度数为（） A. 50° B. 70° C. 80° D. 90° 3. 直角三角形的一个锐角为35°，则另一个锐角的度数是（） A. 55° B. 65° C. 45° D. 35° 4. 若三角形的三个内角之比为1:2:3，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 下列说法错误的是（） A. 三角形内角和恒为180° B. 直角三角形两锐角互余 C. 任意两个内角和一定大于第三个内角 D. 钝角三角形只有一个钝角 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 在△ABC中，∠A=25°，∠C=75°，则∠B=________°。 2. 等腰三角形的一个顶角为80°，它的底角度数为________°。 3. 一个三角形中，最大内角为89°，这个三角形是________三角形。 4. 在直角三角形中，若两锐角的度数之比为2:3，则较小锐角为________°。 5. 在△ABC中，∠A=∠B，∠C=100°，则∠A=________°。 三、解答题（共60分） 1.（15分）根据三角形内角和定理，求解下列三角形未知内角的度数。（1）△ABC中，∠A=72°，∠B=38°，求∠C；（2）△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠A=47°，求∠B。 2.（15分）已知一个三角形的三个内角度数比为2:3:4，求这个三角形三个内角的度数，并判断三角形的类型。 3.（15分）在△ABC中，∠A比∠B大10°，∠C比∠B小40°，求△ABC三个内角的度数。 4.（15分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=28°，∠CAD=42°，求∠BAC的度数。 参考答案与解析 一、选择题：1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 解析：三角形内角和固定为180°，据此可推导直角三角形两锐角和为90°；内角比例可通过设未知数求解角度，判断三角形类型，钝角三角形中两个锐角和小于钝角。 二、填空题：1.80 2.50 3.锐角 4.36 5.40 解析：结合内角和定理、等腰三角形角度性质计算，三个角均小于90°为锐角三角形，利用比例分配可快速求解角度。 三、解答题：1.（1）∠C=180°−72°−38°=70°；（2）∠B=90°−47°=43°。 2. 设三个内角为2x、3x、4x，2x+3x+4x=180°，解得x=20°，三个角为40°、60°、80°，是锐角三角形。 3. 设∠B=x，则∠A=x+10°，∠C=x−40°，列方程解得x=70°，最终∠A=80°，∠B=70°，∠C=30°。 4. AD为高，∠ADB=90°，可得∠BAD=62°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=62°+42°=104°。 复习回顾 FU XI HUI GU 三角形的内角和是多少？我们怎么证明呢？ 我们在小学学习过三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关. 30° 45° 45° 60° 90° 90° 思考 证明方法一：度量法 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 证明方法二：拼凑法 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180° 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的内角和为180°. 求证 证明方法三：推理验证法（1） 求证：∠A+∠B+∠C=180° 已知：△ABC. 证明：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° 1 2 A B C 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的内角和为180°. 求证 证明方法三：推理验证法（2） 求证：∠A+∠B+∠C=180° 已知：△ABC. 证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA ∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° C B A E D 1 2 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的内角和为180°. 求证 证明方法三：推理验证法（3） 证明：过D作DE∥AC,作DF∥AB ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180° (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180° ∴∠A+∠B+∠C=180° C B A E D F 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 数学文化 QING JING YIN RU 三角形的内角和定理 即∠A+∠B+∠C=180°. 三角形内角和等于180°. C B A 帕斯卡：（1623—1662）是法国著名的数学家、物理学家.早在300多年前，他12岁时，就独立发现了任何三角形的内角和都是180°. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 求出下列各图中的 x 值. x = 70 x = 60 x = 30 x = 50 3x=180 20+x=25+45 70+40+x=180 3x=180-90 先利用三角形的内角和求出∠BAC 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 如图，在△ABC 中，∠B = 42°，∠C = 78°，AD 平分∠BAC． 求∠ADC 的度数. 解：∵∠B = 42°，∠C = 78°， ∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 60°. ∵ AD 平分∠BAC， ∴∠CAD =∠BAC = 30°. ∴∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 72°. （第1题） 1. 母题教材P12例1 如图，在 中， ， ，平分 ， 交于点，则 的大小是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 11 （第2题） 2. 如图，点，分别在， 上，若 ， ， 则 的度数为( ) A. B. C. D. A 3. 在中，，则 ( ) B A. 是锐角三角形 B. 是直角三角形 C. 是钝角三角形 D. 不存在 返回 中考考法 在△EFC中求出∠D 在△AEF中求出∠EFA 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 典例精析 DIAN LI JING XI 归纳总结 事实上，在△AEF 中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°, 在△CDF 中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°, 而∠AFE=∠CFD， 故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD. 由三角形的内角和定理 易得∠A +∠B =∠C +∠D. 这样的模型我们称之为“八字模型”. 典例精析 DIAN LI JING XI 常见模型 由三角形的内角和定理易得，∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 见比例，设未知数 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，求∠B 和∠C. 解：设∠C 为 x°，则∠B 为 2x°， 从而有 x + 2x + 60＝180. 解得 x＝40. ∴ 2x＝80. 答：∠C，∠B的度数分别为 40°，80°. 几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想. 能否求出三角形ABC的所有内角？ 典例精析 DIAN LI JING XI 变式1 在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． O E B D C A 1 2 同理∠2=20° ∴∠AOC=130°. ∵∠BAC=60°(已知)， ∴ ∠1=30°(等式的性质). 在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180°（三角形的内角和等于180°）. 解： ∵AD是△ABC的角平分线(已知)， ∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义). 记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， 提示：可以用整体思想！ 典例精析 DIAN LI JING XI 在△ABC中，已知∠BAC+∠BCA=110°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． O E B D C A 1 2 同理∠2= ∠BCA, ∴∠AOC=125°. 在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180° 解： ∵AD是△ABC的角平分线(已知)， ∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义). 记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， ∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）=55° 变式2 如果将条件换成∠B=70°，你还会解答吗？ 和变式2互为逆向应用！ 典例精析 DIAN LI JING XI 在△ABC中，已知∠AOC=120°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠B 的度数． O E B D C A 1 2 同理∠2= ∠BCA,且∠AOC=120° ∴∠1+∠2=60°， 解：记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， ∵AD是△ABC的角平分线(已知)， 而在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180° ∴∠BAC+∠BCA=2(∠1+∠2)=120°， ∴∠B=60°. 而在△ABC 中， ∠BAC+∠BCA+∠B=180° 变式3 ∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义). 典例精析 DIAN LI JING XI 在△ABC中，已知∠B=x°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． O E B D C A 1 2 同理∠2=∠BCA, ∴∠AOC=180°- （180°- x°）=90°+ x° . 解：记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， ∵AD是△ABC的角平分线(已知)， ∴∠1=∠BAC(角平分线的意义). 在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180° ∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）= （180°- x°）， 变式4 从特殊到一般 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，B 岛在 A 岛的南偏西 40° 方向，C 岛在 A 岛的南偏东 15°方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80°方向，求从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 的度数. 解：如图，由题意得 BE∥AD，∠BAD = 40°， ∠CAD = 15°，∠EBC = 80°， ∴∠EBA =∠BAD = 40°， ∠BAC = 40° + 15° = 55°. ∴∠CBA =∠EBC -∠EBA = 80° - 40° = 40°. ∴∠ACB = 180° -∠BAC -∠ABC = 180° - 55° - 40° = 85°. D E （第4题） 4. 母题教材P17习题 如图， ，，分别平分 和 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 中考考法 22 （第4题） 【点拨】，分别平分 和 ， ， .在 中， 中考考法 23 ， ， . （第4题） 中考考法 两内角平分线的夹角公式：如图，在 中， ，分别平分和，则 . 返回 中考考法 25 （第5题） 5. 如图，考古学家发 现在地下 处有一座古墓，古墓上方是 燃气管道，为了不影响管道，准备在 处和处开工挖出“ ”字形通道.若 ， ，则 的度数是____. 【点拨】 ， ， ， ， . 返回 中考考法 26 6.母题教材P17习题 如图，点在点 的 北偏西 方向上，点在点的北偏西 方向上，点在点的北偏东 方向上. 中考考法 27 （1）求 的大小； 【解】如图，根据题意可得 , ., , . 中考考法 （2）求 的大小. , , , . 返回 中考考法 29 （第7题） 7. 如图，两面镜子 ，的夹角为 ，当光线经过镜子反 射后，，.若 ， 则 的度数是( ) A A. B. C. D. 中考考法 30 课堂小结 QING JING YIN RU 内容 常见模型 八字模型 角平分线模型 三角形的内角和 证明方法 三角形的内角和为180° 推理验证 转化思想 O E B D C A 1 2 $