13.3.1 课时1 三角形的内角和定理 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦三角形内角和定理，通过泰勒斯铺地砖的数学史情境导入，从等边三角形内角和过渡到一般三角形，以“测量→折叠→拼凑→证明”搭建从实验几何到论证几何的学习支架。 特色在于“实验-证明-应用”递进式设计，动手操作培养直观想象，三种证法深化逻辑推理，方向角问题体现数学抽象。助力学生理解转化思想，为教师提供启发式、探究式教学范例，提升课堂效率。

13.3.1 三角形的内角 课时1 三角形的内角和定理 课题 13.3.1 三角形的内角（课时1） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、探究式学习、合作学习 教学用具 多媒体课件、三角板、量角器、纸张、剪刀 教材分析：本节是人教版八年级上册第十三章第三节第1课时，核心内容是三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于180°）及其证明和应用。三角形内角和定理是平面几何中最基础、最重要的定理之一，是后续学习多边形的内角和、外角和以及几何计算的基础。本节课通过"测量→折叠→拼凑→证明"的探究过程，让学生经历从实验几何到论证几何的过渡，培养转化思想和逻辑推理能力。三种证法（过顶点作平行线、延长线作平行线、过边上点作双平行线）都体现了把三角形的三个角转化到同一个平角上的核心思想。 学情分析：学生在小学阶段已通过测量和拼图实验知道"三角形内角和等于180°"，但尚未从严格逻辑推理的角度给出证明。学生已学习了平行线的性质与判定、角的运算等知识，具备用平行线转化角的基础。但如何将三个分散的角通过辅助线"集中"到一个平角上，这种"转化"思维对学生来说有一定难度。三种证法中的辅助线作法（过顶点作平行线）以及内错角、同位角、同旁内角的识别，需要教师逐步引导。 一、核心素养目标 1. 数学抽象 能从"六块等边三角形地砖铺满一点"的具体情境中，抽象出"等边三角形每个内角为60°，三个内角和为180°"的猜想。 能将三角形内角和定理抽象为数学模型：∠A+∠B+∠C=180°，并用数学符号语言进行表述和推理。 2. 逻辑推理 能用平行线的性质（内错角相等、同位角相等、同旁内角互补）和平角的定义，严格证明三角形内角和定理。 能理解三种证法的共同核心——转化思想（将三个角转化到一个平角上），并尝试不同的辅助线作法。 3. 直观想象 通过测量、折叠、拼凑等动手操作，直观感知三角形内角和为180°，建立几何直观。 能借助图形识别辅助线的作用，在方向角问题中构建几何模型，将实际问题转化为三角形内角和的计算。 4. 数学运算 能运用三角形内角和定理进行角度计算，解决"已知两角求第三角"的基本问题。 能结合角平分线、平行线等知识，综合运用内角和定理解决较复杂的角度计算问题。 二、教学重难点 教学重点：三角形内角和定理的证明（三种证法）及其应用。 教学难点：如何添加辅助线将三个角转化到同一个平角上（转化思想）；三种证法的统一理解。 三、教学过程 环节一：情境导入（3分钟） 【教师活动】同学们，请看大屏幕。古希腊有一位著名的哲学家泰勒斯，有一次他家装修房子，从市场上买来了等边三角形地砖。当他铺好地板后，发现了一个非常有趣的事实——六块同样的正三角形地砖，恰好铺满某一点的四周而不重叠，也不留任何缝隙。 【教师活动】从这张图中，你能发现关于等边三角形的三个内角和的什么信息？ 【学生活动】六个等边三角形的内角拼在一起刚好是360°，所以每个内角是60°，三个内角和是180°。 【教师活动】回答得很好！等边三角形三个内角的和是180°。那么，对于一般的等腰三角形和更一般的不等边三角形，是否也有同样的结论呢？今天这节课我们就来探究——三角形的内角和定理。 【设计意图】以泰勒斯铺地砖的数学史故事引入，激发学生的探究兴趣，同时让学生直观感知等边三角形内角和为180°，为一般三角形的探究做铺垫。 环节二：实验探究——三角形内角和（8分钟） 【过渡语】等边三角形的内角和是180°，那一般的三角形呢？我们通过实验来验证一下。 方法一：测量法 【教师活动】请同学们拿出量角器，分别测量自己画出的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三个内角，并计算它们的和。 【学生活动】（动手测量并计算） 【教师活动】大家测量的结果如何？ 【学生活动】我测的锐角三角形三个角分别是45°、79°和56°，加起来是180°。直角三角形三个角是90°、40°和50°，加起来也是180°。钝角三角形三个角是120°、35°和25°，加起来也是180°。但也有同学测出来可能是181°或179°。 【教师活动】确实，测量法会存在一定的误差。这说明仅靠测量不能作为严格的数学证明，我们需要更严谨的方法。 方法二：折叠法 【教师活动】请同学们拿出剪好的三角形纸片，将三个角分别沿虚线折叠，使三个角的顶点重合在底边上。你发现了什么？ 【学生活动】（动手折叠）三个角折叠后拼成了一个平角——180°。 方法三：拼凑法 【教师活动】现在请同学们把三角形纸片的三个角撕下来，然后把它们拼在一起。三个角的顶点重合，观察它们组成了什么角？ 【学生活动】（动手撕拼）三个角拼在一起恰好组成一个平角，也就是180°。 【教师活动】通过测量、折叠和拼凑三种实验方法，我们都得到了一个共同的结论：三角形的三个内角和等于180°。但观测的结果不一定可靠，还需要通过严格的数学推理来证明。 【设计意图】通过三种实验方法（测量、折叠、拼凑），让学生从感性上确认三角形内角和为180°，同时引出"实验不可靠，需要严格证明"的论证需求，自然过渡到定理证明环节。 【过渡语】那么，如何用数学的语言严谨地证明三角形内角和等于180°呢？从刚才的拼凑操作中，你发现了证明的思路吗？ 环节三：定理证明（12分钟） 1. 证法一（毕达哥拉斯学派）——过顶点作平行线 【教师活动】已知：△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。 【教师活动】回顾刚才拼凑的过程，我们实际上是把∠B和∠C"搬"到了∠A的两侧，使三个角拼成一个平角。在几何证明中，"搬角"的操作可以通过作平行线来实现。过点A作直线l平行于BC，我们来看看能发现什么。 证法一：过点A作l∥BC，利用内错角转化 【教师活动】因为l∥BC，∠B和∠1是什么关系？∠C和∠2呢？ 【学生活动】∠B=∠1，∠C=∠2（两直线平行，内错角相等）。 【教师活动】∠1、∠2和∠BAC三个角合起来是什么？ 【学生活动】∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定义）。 【教师活动】因此，∠B+∠C+∠BAC=180°，即∠A+∠B+∠C=180°。证毕。 【教师活动】请同学们思考：证法一中，辅助线的作用是什么？为什么选择在A点作平行线？ 【学生活动】辅助线l∥BC的作用是"搬角"——利用平行线的内错角相等性质，把∠B"搬"到∠1的位置，把∠C"搬"到∠2的位置，这样三个角就在A点周围拼成了一个平角。 【教师活动】理解得很到位！这就是几何证明中重要的"转化"思想——通过作平行线，把分散的角集中到一起。 【知识点】证法一（毕达哥拉斯学派）：过点A作l∥BC，利用"两直线平行，内错角相等"将∠B和∠C转化到∠A两侧，三个角组成一个平角。 2. 证法二（欧几里得）——延长边作平行线 【教师活动】除了过顶点A作平行线，还有其他方法吗？证法二：延长BC到D，过点C作CE∥BA。请同学们观察并思考：∠A和∠1是什么关系？∠B和∠2呢？ 【学生活动】∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）。 【教师活动】∠1、∠2和∠ACB合起来是什么？ 【学生活动】∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义）。 【教师活动】所以∠A+∠B+∠ACB=180°。证毕。 【教师活动】证法一和证法二有什么不同？请同学们对比一下。 【学生活动】证法一是在顶点A处作平行线，把∠B和∠C都"搬"到A点两侧；证法二是延长BC后在C点作平行线，把∠A和∠B"搬"到直线BD上。两种证法的辅助线位置不同，但目的相同——都是把三个角转化到一个平角上。 【知识点】证法二（欧几里得）：延长BC到D，过C作CE∥BA，利用内错角和同位角将∠A和∠B转化到直线BD上，组成一个平角。 3. 证法三——过边上点作平行线 【教师活动】还有第三种证法：在BC边上任取一点D，过D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F。请同学们思考如何证明。 【学生活动】由DE∥AC得∠C=∠EDB（同位角相等）；由DF∥AB得∠B=∠FDC（同位角相等）。由DE∥AC得∠A+∠AED=180°（同旁内角互补）；由DF∥AB得∠EDF+∠AED=180°（同旁内角互补），所以∠A=∠EDF。因此∠A+∠B+∠C=∠EDF+∠FDC+∠EDB=∠BDC=180°。 【教师活动】推理非常精彩！第三种证法虽然复杂一些，但核心思想是相同的。 【教师活动】同学们，现在让我们把三种证法放在一起对比。三种证法都用到了哪些共同的知识？ 【学生活动】都用到了平行线的性质和等量代换。证法一用了"内错角相等"，证法二用了"内错角相等+同位角相等"，证法三用了"同位角相等+同旁内角互补"。 【教师活动】那么它们的共同目标是什么？ 【学生活动】都是把三角形的三个内角转化到同一个平角上，证明三个角之和等于180°。 【知识点】三种证法的共同点：①都利用了平行线的性质；②都运用了"等量代换"；③目标都是将三个角转化到同一个平角上。这就是"转化思想"的核心。 4. 归纳：转化思想 【教师活动】同学们，三种证法的共同核心是什么？ 【学生活动】都是把三角形的三个角转化到一个平角上。 【知识点】多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是转化思想：借助平行线的性质，将三角形的三个角转化到同一个平角（或同旁内角互补）上。 重点强调：证明三角形内角和定理的关键是"如何添加辅助线"。辅助线的作用是"搬角"——通过平行线将角移动到需要的位置，最终拼成一个平角。这也是几何证明中最重要的思想方法之一。 【设计意图】三种证法由浅入深，让学生体会"一题多证"的数学之美，同时抓住"转化思想"这一核心，使不同证法得到统一理解。 【过渡语】定理已经证明，现在我们来正式表述三角形内角和定理，并运用它来解决实际问题。 环节四：定理应用（8分钟） 【知识点】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 例1 【教师活动】例1：如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 【教师活动】题目给了∠BAC=40°和AD是角平分线，我们能得到什么？ 【学生活动】∠BAD = ∠CAD = ½∠BAC = ½×40° = 20°。 【教师活动】在△ABD中，我们已知∠B=75°，∠BAD=20°，如何求∠ADB？ 【学生活动】在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°。 【教师活动】正确！这道题的关键是：先用角平分线的定义求出∠BAD，再利用三角形内角和定理求∠ADB。 【教师活动】同学们回顾一下这道题的解题思路：第一步，利用角平分线定义求出∠BAD；第二步，在△ABD中，已知两个角，用内角和定理求第三个角。这种"两步走"的方法在几何计算中非常常用。 【知识点】例1要点：角平分线→等分角；内角和定理→已知两角求第三角。解题步骤：①由角平分线求∠BAD；②在△ABD中用内角和定理求∠ADB。 例2 【教师活动】例2：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 【教师活动】这是一道方向角问题。首先，我们需要把方向角转化为三角形中的角。由题意，∠CAD=50°，∠BAD=80°，所以∠CAB等于多少？ 【学生活动】∠CAB = ∠BAD - ∠CAD = 80° - 50° = 30°。 【教师活动】接下来，由AD∥BE（都指向正北方向），∠BAD和∠ABE是什么关系？ 【学生活动】∠BAD+∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠ABE=180°-80°=100°。 【教师活动】∠ABC等于什么？ 【学生活动】∠ABC = ∠ABE - ∠EBC = 100° - 40° = 60°。 【教师活动】很好！现在在△ABC中，已知∠CAB=30°，∠ABC=60°，如何求∠ACB？ 【学生活动】∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠CAB = 180° - 60° - 30° = 90°。 【教师活动】所以从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°。AB与AC恰好垂直。 解题思路：方向角问题的一般步骤：①画图，标出方向；②将方向角转化为三角形中的角；③利用平行线的性质求相关角；④运用三角形内角和定理求目标角。 【设计意图】例1是内角和定理与角平分线的综合应用，例2是内角和定理在实际问题（方向角）中的应用，体现了数学建模的思想。 【过渡语】通过两道例题，我们掌握了三角形内角和定理的基本应用方法。下面我们通过练习题来进一步巩固。 环节五：课堂练习（9分钟） 【教师活动】练习1：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E。若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　） A. 44°　　B. 40°　　C. 39°　　D. 38° 【学生活动】选C。在△ABC中，∠A=54°，∠B=48°，所以∠ACB=180°-54°-48°=78°。因为CD平分∠ACB，所以∠DCB=39°。又DE∥BC，所以∠CDE=∠DCB=39°（两直线平行，内错角相等）。 【教师活动】思路清晰！这道题综合了内角和定理、角平分线和平行线的性质。 【教师活动】请同学们注意：这道题中∠CDE和∠DCB是内错角关系，因为DE∥BC。所以求∠CDE就转化成了求∠DCB，而∠DCB是角平分线得到的。这种"等角转化"技巧在几何题中非常重要。 【知识点】练习1关键：利用内角和定理→求∠ACB→角平分线→求∠DCB→平行线内错角→求∠CDE。 【教师活动】练习2：求出下列各图中的x值。 【教师活动】请同学们快速计算，看谁做得又快又准。 【学生活动】第一题：x=70（直角三角形中，x+20°=90°）；第二题：x=60（x+x+x=180°）；第三题：x=30（x+2x+90°=180°）；第四题：x=50（x+x+80°=180°）。 【教师活动】完全正确！这些都是利用内角和定理直接列方程求解的基本题型。 【教师活动】同学们注意，这些题目虽然简单，但体现了内角和定理最基本的应用方式——列方程。三角形的内角和等于180°就是方程中的等量关系。 【学生活动】（理解） 【知识点】内角和定理的基本应用：已知两角求第三角（直接减）；已知角度关系列方程求未知角。 【教师活动】练习3：如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=______。 【学生活动】∠BDC=110°。在△ABC中，∠A=40°，所以∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°。因为D是角平分线的交点，所以∠DBC=½∠ABC，∠DCB=½∠ACB。在△DBC中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-½(∠ABC+∠ACB)=180°-½×140°=180°-70°=110°。 【教师活动】分析得很透彻！这道题的关键是：在△DBC中，不需要单独求出∠ABC和∠ACB，只需要知道它们的和即可。 【教师活动】这种"整体代换"的思维方法在几何中很常见。同学们想一想：如果∠A=70°，那么∠BDC=多少？ 【学生活动】∠BDC=180°-½(180°-70°)=180°-55°=125°。 【教师活动】对！实际上，当D是∠ABC和∠ACB的角平分线交点时，∠BDC=90°+½∠A。这是一个重要的结论，同学们可以记住。 【知识点】两内角平分线夹角公式：若D是∠ABC和∠ACB的平分线交点，则∠BDC=90°+½∠A。 【教师活动】练习4：如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数。 【学生活动】由题意，∠BAD=40°，∠CAD=15°，所以∠BAC=40°+15°=55°。由BE∥AD得∠EBA=∠BAD=40°（内错角相等）。∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°。在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠CBA=180°-55°-40°=85°。 【教师活动】正确！这道题与例2是同类型的，都是方向角问题。关键是把方向关系转化为三角形中的角。 解题思路：综合题常见的解题步骤：①利用内角和定理求未知角；②结合角平分线、平行线等条件进行角的转化；③当需要求"两角平分线夹角"时，利用"∠BOC=90°+½∠A"（内心）、"∠BIC=90°-½∠A"等公式快速求解。 【设计意图】四道练习题由浅入深，覆盖了基本计算、综合应用、角平分线交点（内心）求角、方向角问题等核心题型，全面检验学生对本节课知识点的掌握。 环节六：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了三角形内角和定理。让我们来回顾一下。 【教师活动】三角形内角和定理的内容是什么？ 【学生活动】三角形三个内角的和等于180°。 【教师活动】证明定理的核心思想是什么？ 【学生活动】转化思想——借助平行线将三个角转化到一个平角上。 【教师活动】今天我们学习了哪几种证法？ 【学生活动】三种证法：证法一过顶点作平行线（毕达哥拉斯学派），证法二延长边作平行线（欧几里得），证法三过边上点作双平行线。 【教师活动】很好！三种证法虽然辅助线不同，但核心思想一致——都是把三个角"搬"到一起，组成一个平角。这就是转化思想，也是几何证明中最重要的方法之一。 【教师活动】除了证明，内角和定理还有什么应用？请同学们举例说明。 【学生活动】可以求三角形中未知角的度数：已知两个角，用180°减去它们的和就是第三个角。还可以结合角平分线、平行线等知识综合运用。在方向角问题中，可以把实际方向关系转化为三角形中的角，再用内角和定理求解。 【教师活动】总结得非常全面！内角和定理是三角形中最基础的定理之一，也是后续学习多边形内角和、外角和的基础。请同学们课后认真完成习题，巩固本节课的内容。 【教师活动】最后，给同学们留一道思考题：我们证明了三角形内角和等于180°，那四边形的内角和等于多少？你能用今天学到的转化思想来推导吗？ 【学生活动】可以把四边形分割成两个三角形，每个三角形内角和180°，所以四边形内角和是360°。 【教师活动】非常好！这就是转化思想的又一次应用——把未知问题转化为已知问题。下节课我们正式学习多边形的内角和时，还会用到这个思路。 知识框架：1. 三角形内角和定理：∠A+∠B+∠C=180° 2. 证明方法：三种证法，核心是转化思想（将三个角转化为平角） 3. 应用：基本计算（已知两角求第三角）、综合应用（结合角平分线、平行线等）、方向角问题 【设计意图】通过回顾总结，帮助学生梳理知识脉络，强化"转化思想"这一核心，为后续学习多边形内角和打下基础。 四、板书设计 13.3.1 三角形的内角（课时1） 三角形的内角和定理 一、定理 三角形三个内角的和等于180° 即：∠A+∠B+∠C=180° 二、证明（转化思想） 证法一：过A作l∥BC → 内错角相等 证法二：延长BC，过C作CE∥BA → 内错角+同位角 证法三：过BC上点D作DE∥AC，DF∥AB → 同旁内角互补 核心：将三个角转化到一个平角上 三、例题 例1：∠BAC=40°，∠B=75°，AD平分∠BAC → ∠BAD=20° → ∠ADB=85° 例2：方向角问题 → ∠CAB=30°，∠ABC=60° → ∠ACB=90° 课题：人教版 八年级上册 13.3.1 三角形的内角和定理 五、教学反思 1. "泰勒斯铺地砖"的数学史情境导入是否有效激发了学生的探究兴趣？学生能否自然地从等边三角形内角和推广到一般三角形？ 2. 三种实验方法（测量、折叠、拼凑）的安排是否合理？学生是否通过动手操作建立了充分的直观感知？ 3. 三种证法的讲解层次是否清晰？学生是否真正理解了"转化思想"这一核心，而不只是机械记忆辅助线作法？ 4. 例2的方向角问题，学生是否能将实际问题抽象为几何模型？是否需要更多的方向角变式练习？ 5. 练习3中"两角平分线交点求角"的题型，学生是否能从"求∠ABC+∠ACB的和"这一整体思路出发，而不陷入"分别求∠ABC和∠ACB"的误区？ 6. 本节课的教学时间分配是否合理？证明环节是否给予了学生充足的思考和讨论时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $