13.3.1.2直角三角形的性质与判定-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的定义、两锐角互余性质及两角互余判定定理，通过复习三角板两锐角之和搭建学习支架，引导学生从已知过渡到新知探究，构建前后知识脉络。 其亮点在于结合几何直观与推理意识，通过双垂直、双高模型等典例精析培养逻辑思维，如分类讨论题训练全面思考能力。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建体系，既提升数学思维与应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 13.3.1.2直角三角形的 性质与判定 第十三章 三角形 人教版八年级上册13.3.1.2直角三角形的性质与判定同步练习题 知识点核心：直角三角形定义、直角三角形性质（两锐角互余）、直角三角形判定定理（有两个角互余的三角形是直角三角形）、利用性质与判定进行角度计算和三角形类型判断、几何简单推理 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形的两个锐角的关系是（） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 无法确定 2. 在△ABC中，∠A=42°，∠B=48°，则△ABC是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知直角三角形的一个锐角为26°，则另一个锐角为（） A. 64° B. 74° C. 54° D. 26° 4. 下列条件中，不能判定三角形为直角三角形的是（） A. 三个内角比为1:2:3 B. 两内角和等于第三个内角 C. 三个内角都相等 D. 一个内角为90° 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A−∠B=20°，则∠A的度数为（） A. 35° B. 55° C. 70° D. 45° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 有一个角是________的三角形叫做直角三角形。 2. 直角三角形的两个锐角________，这是直角三角形的重要性质。 3. 在△ABC中，∠A=37°，∠B=53°，则△ABC是________三角形。 4. 直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，则较小锐角为________°。 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则△ABC是________直角三角形。 三、解答题（共60分） 1.（15分）根据条件判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由。（1）∠A=60°，∠B=30°；（2）∠A=25°，∠B=65°；（3）∠A=40°，∠B=55°。 2.（15分）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A与∠B的度数之比为2:7，求∠A、∠B的度数。 3.（15分）在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B=35°，∠CAD=55°，求证：△ABC是直角三角形。 4.（15分）已知一个三角形三个内角的度数比为1:1:2，求各角度数，并判断三角形的形状。 参考答案与解析 一、选择题：1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 解析：直角三角形核心性质为两锐角互余；判定核心依据为三角形中有一个角为90°，或两个内角互余，即可判定为直角三角形，三个内角相等的三角形为等边三角形。 二、填空题：1.90° 2.互余 3.直角 4.30 5.等腰 解析：结合直角三角形定义、性质与判定计算，两锐角和为90°即互余，两角相等的直角三角形为等腰直角三角形。 三、解答题：1.（1）是，∠C=180°−60°−30°=90°；（2）是，∠A+∠B=90°，两角互余；（3）不是，三角度数均小于90°，为锐角三角形。 2. 设∠A=2x，∠B=7x，由互余得2x+7x=90°，解得x=10°，故∠A=20°，∠B=70°。 3. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∠BAD=90°−35°=55°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=110°？修正：∠CAD=55°，∠C=90°−55°=35°，∠B+∠C=70°？正确推导：∠ADC=90°，∠C=90°−55°=35°，∠B=35°，∠BAC=110°舍去，正确逻辑：∠BAD=55°，∠CAD=35°，∠BAC=90°，可证直角三角形。 4. 设角度为x、x、2x，x+x+2x=180°，解得x=45°，三角度数为45°、45°、90°，该三角形为等腰直角三角形。 复习回顾 FU XI HUI GU 如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度? 30° 45° 45° 60° 90° 90° 思考 三角板的两锐角之和 30° + 60° = 90° 45° + 45° = 90° 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 直角三角形的两锐角之和 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ A B C 解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°， 由三角形内角和定理， 可得：∠A+∠B=90°. 由此可得：直角三角形的两个锐角互余. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU A B C 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°．　 应用格式： 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC． 在△ABC中可利用内角和求出∠B. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°， 求∠BCD . 在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠B=50°, 在Rt△BDC中，∠B+∠BCD+∠BDC=180° ∴∠BCD=40°. A C D B 你还有其他解法吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 双垂直模型 思考 从以上例题中我们能得到什么启发？ A C D B 事实上， 在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， 在Rt△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180° 因此，∠B=∠ACD， 同理可得，∠A=∠BCD. 能否找出双垂直模型？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 A C B D H E 如图,在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，求∠AHC. 在 Rt△EBC 中， ∠B+ ∠BCH= 90°. ∴∠CHD= ∠B=50°， 解：∵AD、CE是△ABC 的高， ∴∠CEB=∠CDA=90°， 在 Rt△HDC 中， ∠CHD+ ∠BCH= 90°. ∴∠AHC=180°-∠CHD= 130°. 典例精析 DIAN LI JING XI 思考 从以上例题中我们能得到什么启发？ 证明：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E， ∴∠BEA =∠BDF = 90°. ∴∠ABE +∠A = 90°， ∠ABE +∠DFB = 90°. ∴∠A =∠DFB. ∵∠DFB +∠BFC = 180°， ∴∠A +∠BFC = 180°. 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F， ∠A 与∠BFC 有如下关系：∠A +∠BFC = 180°. 1. 在中， ，，则 等于( ) A A. B. C. D. （第2题） 2. ［2025重庆八中月考］如图，已知直 线，直线与直线， 分别交于点 ，，交直线于点 .若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 9 3. 将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ， 则 的度数是( ) B （第3题） A. B. C. D. 返回 中考考法 10 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ A B C D E 在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° - ∠AEC. 在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° -∠BED. ∵∠AEC = ∠BED， ∴∠CAE = ∠DBE. 解：∠CAE = ∠DBE. 理由如下： 典例精析 DIAN LI JING XI 双垂八字型 证明： ∵∠B = ∠D = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠C. 如图，∠B =∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，则∠A =∠C . 事实上，这是一个条件更多的“八字型”. 利用三角形的内角和求解 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么△ABC直角三角形吗？ 解：△ABC 是直角三角形，理由如下： 在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 而∠A +∠B = 90°， 所以∠C = 90°， 即△ABC 是直角三角形. 典例精析 DIAN LI JING XI 归纳总结 直角三角形的判定 A B C 应用格式： 在△ABC 中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 你还记得平行线的性质吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？ 解：△AHC是直角三角形，理由： ∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°. ∵AH，CH分别为∠CAB，∠ACD的平分线， ∴∠CAH+∠ACH=90°. ∴∠AHC=90°，即△AHC是直角三角形. 利用三角形内角和进行等量代换 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 如图，∠C = 90°，∠1 = ∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 在 Rt△ABC 中，∠2 + ∠A = 90°. ∵∠1 = ∠2， ∴∠1 + ∠A = 90°， 即 △ADE 是直角三角形. 解：△ADE 是直角三角形. 理由如下： （第4题） 4. 如图，点，分别在线段， 上，于点，于点 ， 若，则图中与 互余的角有 ( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 中考考法 17 （第5题） 5. 如图，是的高，是 的 角平分线，，相交于点 ，已知 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 18 6. 在中， ， 则 的值是______. 2或6 【点拨】设,,的度数分别为,,.当 为直角 时，,解得；当 为直角时， ,解得.故 的值为2或6. 在没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论 作答，做到不漏解不错解. . . 返回 中考考法 19 7.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个 , ,并画出了两锐角的平分线,及其交点 .小明 发现，无论怎样改变的形状和大小， 的度数 是定值.这个定值为______. 中考考法 20 【点拨】 , . 平分 ,平分,, , , . 返回 中考考法 21 8.如图，在中，是边上的高，点 是上一点，连接交于点 ，且 ，求证： 是直角三角形. 【证明】是边上的高， . ， ， ， 是直角三角形. 返回 中考考法 22 课堂小结 QING JING YIN RU 分类 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形 性质 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形. 直角三角形两锐角互余. $